剛體力學基礎

第3章

Dynamics

ofRigidBody(6)

剛體力學基礎1剛體—運動中形態(tài)和大小都保持不變的物體。(a)剛體上各質(zhì)點之間的距離保持不變。(b)剛體有確定的形態(tài)和大小。(c)剛體可看作是由很多質(zhì)點(質(zhì)元)組成的質(zhì)點系。一.剛體的平動和轉(zhuǎn)動假如剛體在運動中,剛體內(nèi)任何兩點的連線在空間的指向始終保持平行,這樣的運動就稱為平動。在平動時,剛體內(nèi)各質(zhì)點的運動狀態(tài)完全相同,因此平動剛體可視為質(zhì)點。通常是用剛體質(zhì)心的運動來代表整個剛體的平動?！?-1剛體運動學2剛體的一般運動比較困難。但可以證明,剛體一般運動可看作是平動和轉(zhuǎn)動的結合。假如剛體內(nèi)的各個質(zhì)點都繞同始終線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運動,這種運動便稱為轉(zhuǎn)動。假如轉(zhuǎn)軸是固定不動的,就稱為定軸轉(zhuǎn)動。

剛體在作定軸轉(zhuǎn)動時,由于各質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離不同,所以各質(zhì)點的線速度、加速度一般是不同的。但由于各質(zhì)點的相對位置保持不變,所以描述各質(zhì)點運動的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。二.定軸轉(zhuǎn)動的描述r圖5-13若角加速度=c(恒量)，則有r圖5-1定軸轉(zhuǎn)動剛體的運動,用角量描述。4一.剛體的角動量

剛體的角動量=剛體上各個質(zhì)點的角動量之和。

§5-2剛體的定軸轉(zhuǎn)動圖5-2ZLmiirio式中:

J=Δmiri2稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

Li=Δmiiri=Δmiri2

剛體對z軸的角動量就是

Lz=(Δmiri2)

設剛體以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動(見圖5-2),質(zhì)量為Δmi的質(zhì)點對o點的角動量為

=J5問題：為何動量的概念對剛體已失去意義？P=0圖5-2ZLmiirio剛體對z軸的角動量：Lz=J

(5-1)顯然，剛體的角動量的方向與角速度的方向相同，沿z軸方向(見圖5-2),故也稱為剛體對固定軸z的角動量。6對各質(zhì)點求和，并留意到二.剛體定軸轉(zhuǎn)動定理按質(zhì)點角動量定理(4-11)式，有

設有一質(zhì)點系,第i個質(zhì)點的位矢為ri,外力為Fi,內(nèi)力為,mi：得7=M質(zhì)點系所受的合外力矩=L質(zhì)點系的總角動量于是得(5-2)式(5-2)的意義是:質(zhì)點系所受的合外力矩等于質(zhì)點系的總角動量對時間的變更率。這個結論叫質(zhì)點系角動量定理。明顯它也適用于定軸轉(zhuǎn)動剛體這樣的質(zhì)點系。8上式稱為物體定軸轉(zhuǎn)動方程。

對定軸轉(zhuǎn)動的剛體,J為常量,d/dt=,故式(6-16)又可寫成

上式是一矢量式,它沿通過定點的固定軸z方向上的重量式為這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動定理。

M=J(5-4)(5-3)(5-2)(Lz=J)9

應當指出，這里我們雖然借用上式來計算力矩，但對定軸轉(zhuǎn)動剛體來說,平行于轉(zhuǎn)軸的力是不產(chǎn)生力矩的，因此，這里力矩公式中的力應理解為外力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)的分力。

(5-4)表明,剛體所受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積。以上內(nèi)容的學習要點：駕馭剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及用隔離體法求解(剛體+質(zhì)點)系統(tǒng)問題的方法。

M=J(5-4)10質(zhì)量m—物體平動慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動慣量J—物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。

§5-3轉(zhuǎn)動慣量

動量:p=m角動量:L=J一.轉(zhuǎn)動慣量的物理意義11J=Δmiri2(5-5)即：剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點的質(zhì)量乘以它到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。(2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體(5-6)式中:r為剛體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。(1)質(zhì)量離散分布剛體二.轉(zhuǎn)動慣量的計算12

三.平行軸定理Jo=Jc+Md2

(5-7)Jc通過剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量;M

剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量;d

兩平行軸(o,c)間的距離。JoJcdCMo圖5-313o

通過o點且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為

JO=

(1)正三角形的各頂點處有一質(zhì)點m，用質(zhì)量不計的細桿連接,如圖5-4。系統(tǒng)對通過質(zhì)心C且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為3+ml2=2ml2=ml2+(3m)r2=2ml2例題5-1質(zhì)量離散分布剛體:J=Δmiri2ml2lll·cr圖5-4mmm14

(2)用質(zhì)量不計的細桿連接的五個質(zhì)點,如圖5-5所示。轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點所在平面且通過o點,轉(zhuǎn)動慣量為JO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll圖5-515記住！

(1)質(zhì)量為m、長度為l的細直棒，可繞通過質(zhì)心C且垂直于棒的中心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量。例題5-2質(zhì)量連續(xù)分布剛體:

若棒繞一端o轉(zhuǎn)動，由平行軸定理，則轉(zhuǎn)動慣量為

圖5-6Cdxdmxxo解方法：將細棒分為若干微元dm=(m/l)dx,然后積分得o16R

(3)均質(zhì)圓盤(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動時，可將圓盤劃分為若干個半徑r、寬dr的圓環(huán)積分：

(2)均質(zhì)細圓環(huán)(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動慣量為

dm圖5-7rdr17

解由M=J,=o+t有外力矩時,例題5-3以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速勻整地由零增大到100rev/min。此時撤去該力矩,轉(zhuǎn)輪經(jīng)100s而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪對該軸的轉(zhuǎn)動慣量。撤去外力矩時,-Mr=J2,

2=-/t2(2)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得

J=17.3kg.m2。20=J1，1=/t1(因o=0)20-Mr=J1，1=/t1(因o=0)(1)18

解

對柱體,由轉(zhuǎn)動定律M=J有

mg.R=J這式子對嗎？錯！此時繩中張力Tmg。正確的解法是用隔離體法。

例題5-4質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動；柱體邊緣繞有一根不能伸長的細繩，繩子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。mgT圖5-8mMR對m:mg-T=ma對柱：TR=J

a=R解得=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。19

m:

mg-T2=maa=R1=r2,2=2ah求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得

=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R21

m2:T2r-T1r=m2r22例題5-5兩勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)量m1=24kg，m2=5kg。一輕繩纏繞于盤m1上，另一端通過盤m2后掛有m=10kg的物體。求物體m由靜止起先下落h=0.5m時，物體m的速度及繩中的張力。解各物體受力狀況如圖所示。T1T1圖5-9m1R1m22rT2mgm20例題5-6一根質(zhì)量為m、長為l的勻整細棒AB，可繞一水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，Ao=l/3。今使棒從水平位置由靜止起先轉(zhuǎn)動，求棒轉(zhuǎn)過角時的角加速度和角速度。CmgABo圖5-10

解細棒AB受的重力可集中在質(zhì)心，故重力的力矩為21完成積分得探討:(1)當=0時，=3g/2l，=0；(2)當=90°時，=0，又因CmgABo圖5-1022

例題5-7勻質(zhì)圓盤：質(zhì)量m、半徑R，以o的角速度轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數(shù)為μ，求圓盤經(jīng)多少時間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？

解將圓盤分為無限多個半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，用積分計算出摩擦力矩。o圖5-11水平桌面rdr23于是得由=

o+t=0得

又由2-o2=2，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為o圖5-11水平桌面rdr24

§5-4定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律

(5-8)

上式的物理意義是：合外力矩的沖量(沖量矩)等于物體角動量的增量。

若物體所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時，則

J=常量

(5-9)這表明：當合外力矩為零時，物體的角動量將保持不變，這就是定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律。定軸轉(zhuǎn)動方程:25

當系統(tǒng)所受的合外力力矩為零時，系統(tǒng)的總角動量的矢量和就保持不變。

對比：

系統(tǒng)角動量守恒是：

系統(tǒng)動量守恒是：在日常生活中,利用角動量守恒的例子也是很多的。

系統(tǒng)角動量守恒定律：時,時,

(4-6)(5-10)26圖5-1227角動量守恒在現(xiàn)代技術中有著特殊廣泛的應用。例如直升飛機在未發(fā)動前總角動量為零,發(fā)動以后旋翼在水平面內(nèi)高速旋轉(zhuǎn)必定引起機身的反向旋轉(zhuǎn)。為了避開這種狀況,人們在機尾上安裝一個在豎直平面旋轉(zhuǎn)的尾翼,由此產(chǎn)生水平面內(nèi)的推動力來阻礙機身的旋轉(zhuǎn)運動。與此類似,魚雷尾部接受左右兩個沿相反方向轉(zhuǎn)動的螺旋漿來推動魚雷前進,也是為了避開魚雷前進中的自旋。安裝在輪船、飛機、導彈或宇宙飛船上的回轉(zhuǎn)儀(也叫“陀螺”)的導航作用，也是角動量守恒應用的最好例證。以上內(nèi)容的學習要點：駕馭角動量守恒的條件及用角動量守恒定律求解問題的方法。28

解(1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動量守恒：

解得例題5-8勻質(zhì)桿：長為l、質(zhì)量M，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動，起先時桿豎直下垂。質(zhì)量為m的子彈以水平速度o射入桿上的A點，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度。mooA圖5-1329由此得：(2)桿在轉(zhuǎn)動過程中明顯機械能守恒：mooA圖5-13由前轉(zhuǎn)動動能零勢面平動動能30

解

(1)碰撞過程角動量守恒:

例題5-9長為2L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細桿，靜止在粗糙的水平桌面上，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為μ。兩個質(zhì)量、速率均為m和的小球在水平面內(nèi)與桿的兩端同時發(fā)生完全非彈性碰撞(設碰撞時間極短),如圖5-14所示。求:(1)兩小球與桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？(2)桿經(jīng)多少時間停止轉(zhuǎn)動？(不計兩小球的質(zhì)量）圖5-14mm.o31解得

(2)摩擦力矩為由=o+t得：圖5-14mm.odmdxfr.xo32

例題5-10勻質(zhì)園盤(M、R)與人(m,視為質(zhì)點)一起以角速度o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動，如圖5-15所示。當此人從盤的邊緣走到盤心時，圓盤的角速度是多少？

解(1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？系統(tǒng)角動量守恒：o圖5-1533例題5-11兩個同樣的子彈對稱地同時射入轉(zhuǎn)盤中，則盤的角速度將。(填：增大、減小或不變)減小.oo圖6-25mmrrJo=(J+2mr2)34

解(1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？系統(tǒng)角動量守恒：上式正確嗎？

例題5-12勻質(zhì)園盤(m、R)與一人(,視為質(zhì)點)一起以角速度o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動,如圖5-17所示。如果此人相對于盤以速率、沿半徑為的園周運動(方向與盤轉(zhuǎn)動方向相反),求:

(1)圓盤對地的角速度;(2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？o圖5-1735錯！因為角動量守恒定律只適用于慣性系。所以應代入人相對于慣性系(地面)的角動量。人對地=人對盤+

盤對地人對地=o圖5-17+

正確的角動量守恒式子是：36解出：o圖5-17人對地=+

37(2)欲使盤靜止，可令得式中負號表示人的運動方向與盤的初始轉(zhuǎn)動(o)方向一樣。o圖5-1738

解系統(tǒng)(小球和環(huán))在運動過程中哪些量守恒？對固定軸AC角動量守恒:(1)

例題5-13空心園環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為Io,半徑為R，初始角速度為o

。小球m靜止在A點，由于某種擾動，小球沿環(huán)向下滑動，求小球滑到與環(huán)心o在同一高度的B點時，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多少。(設環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，環(huán)截面很小)ABoRo圖5-18C機械能守恒:

(2)39

由相對運動，對小球有

B表示小球在B點時相對于地面的豎直分速度(即相對于環(huán)的速度)。

由(2)得由(1)得環(huán)的角速度為(1)

(2)ABoRo圖5-18CB40剛體的轉(zhuǎn)動動能為一.剛體的轉(zhuǎn)動動能=剛體上各質(zhì)點動能之和。設剛體繞確定軸以角速度轉(zhuǎn)動，第i個質(zhì)點Δmi到轉(zhuǎn)軸的距離為ri,Δmi的線速度i=ri,(各質(zhì)點的角速度相同)；相應的動能質(zhì)點的平動動能為對比！(5-11)§5-5定軸轉(zhuǎn)動中的功和能41

設物體在力F作用下，繞定軸oz轉(zhuǎn)動，則力F的元功是

dA=Fdscos(90o-)(5-13)力矩的功率是二.力矩的功(5-14)ZF圖5-19dsdopr即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘積。=Frsind=Md(5-12)42

上式說明：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。這便是定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。

(5-15)三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理對比:質(zhì)點動能定理：（J=恒量）43一個包括有剛體在內(nèi)的系統(tǒng),假如只有保守內(nèi)力作功,則這系統(tǒng)的機械能也同樣守恒。在計算剛體的重力勢能時，可將它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心。剛體的機械能為(5-16)式中,hc為剛體質(zhì)心到零勢面的高度。

四.機械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應用44