高三復習-直線與平面垂直的判定和性質(公開課)

直線與平面垂直的判定和性質教學目標：理解線面垂直的定義，總結線面垂直的判定方法和性質，形成系統(tǒng)的知識結構；樹立數(shù)學定理即數(shù)學模型的意識，能從實際問題情境中找到符合定理模型的基本元素，從而解決問題，提高數(shù)學建模和直觀想象素養(yǎng)；通過應用定理解決實際問題，進一步強調(diào)等價轉換和“降維”思想，體會數(shù)學定理作為一種基本模型的應用價值，提高邏輯推理素養(yǎng)；通過“鱉臑”的引入，體會我國古代數(shù)學家對人類的數(shù)學貢獻，增強民族自信和民族自豪感。教學重點與難點：從具體幾何問題中分離出定理模型并找到符合定理模型的基本元素，解決問題；在解決問題時，滲透“立體問題平面化”的“降維”處理，培養(yǎng)學生的等價轉換思想。教學內(nèi)容與過程：一、構建知識框架線面垂直的定義什么樣的直線和平面是垂直關系呢？直線l與平面?內(nèi)的任一條直線都垂直，則直線l與平面?垂直，此時直線l叫做平面?的垂線，平面?叫做直線l的垂面。2?判定直線和平面垂直的方法（文字語言、符號語言、圖形語言三種形式表達）性質文字語言圖形語言符號語言①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線.ll丄a'mua>nl丄m

②如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直土l丄aluB,oa丄B垂直于同一個平面的兩條直線平a山/\~7a丄a③行.b丄a=a〃b丿/~l丄a'?na//P④垂直于同一直線的兩平面平行.乙0l丄其實，能夠判定線面垂直的方法遠不止這么多，線面垂直的性質也不只這幾個，那么我們?yōu)槭裁催x定了這些作為定理呢？其實他們都是立體幾何問題中的基本模型，我們在遇到復雜的幾何問題時，都可以分離出這些基本的定理模型。我們通過這節(jié)課的學習，就是要能夠在具體問題中，確定需要的定理模型，并找到符合定理模型的基本元素，從而得到我們需要的結論。C4.牛刀小試C我們掌握了那么多線面垂直的判定方法，現(xiàn)在就試著在圖形中找找互相垂直的直線和平面有哪些吧。如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD丄底面ABCD,且PD=CD,點E是PC的中點.你還能發(fā)現(xiàn)哪些線面垂直關系？對于這樣簡單的幾何體，我們很快就可以從中看出定理模型，找到模型中所需的元素，得到想要的結論，那么我們在這個圖上繼續(xù)構造,讓圖形復雜起來，繼續(xù)探究其中的垂直關系。例題分析例.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD丄底面ABCD，且PD=CD，ABCE是PC的中點，EF丄PB,垂足為F,連接DE,DF,BD,BE.ABC（1）求證：PB丄平面DEF；（2）試判斷：四面體BDEF中有幾個面是直角三角形，并指出其中的直角；（3）設M、N分別為AD、PB的中點，連接MN，MC，NC,求證：平面CMN丄平面PBC.引導分析：（1）要證明PB丄平面DEF,你選擇哪個模型？“線面垂直判定定理”模型）模型中已經(jīng)有哪個條件具備了？（已經(jīng)有“F丄PB”）還缺的條件應該從哪里找？“DF丄PB”（共面垂直：從邊長關系，中線長度等平面幾何辦法入手））或者“DE丄PB”（異面垂直：從平移成共面或線面垂直入手））。.PB丄面DEF.證明：...PD丄面ABCD，且BCu面ABCD，:.PD丄BC,又VBC丄CD,CDAPD=D,CD,PDu面PCD,；?BC丄面PCD.TDEu面PCD,；?BC丄DE.又TDE丄PC,BCAPC=C,BC,PCu面PBC,?：DE丄面PBC.VPBu面PBC,；?DE丄PB.又?：EF丄PB,DEAEF=E,DE,EFu.PB丄面DEF.C（2）找直角就是找線線垂直，線線垂直可以由“線面垂直性質定理模型”先找線面垂直關系。（PB丄平面DEF可以得到PB丄DF,PB丄EF，還有沒有其他的線面垂直關系？DE丄面PBC,所以DE丄EF,DE丄EB,四個面都是直角三角形。）C（3）要得到面面垂直，要利用線面垂直的性質定理模型，先找線面垂直關系。對于平面CMN和平面PBC來說，第一問已經(jīng)找到面PBC的垂線DE了，可以考慮線面垂直的性質模型，在平面CMN中能找到DE的平行線即可。課堂小結處理空間中線面垂直相關問題的一般方法：通過邏輯分析和空間想象，分離出具體問題中包含的定理模型尋找定理模型所需的基本元素，完成邏輯推理的過程；對照定理模型，嚴謹?shù)乇硎鲎C明的過程。解決具體問題的過程中，注意“轉化”和“降維”思想。四、數(shù)學文化——“鱉臑”與“陽馬”在今天上課的例題中，有兩個幾何體中國很早就有研究，而且他們還擁有自己的名字一個是底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐，它的名字叫“陽馬”，另一個四個面都為直角三角形的四面體叫“鱉臑”。這兩個名稱還曾經(jīng)出現(xiàn)在高考卷上，今天我們上課這道例題就是2015年湖北高考題改編的。原題是這樣的：《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．C如圖，在陽馬P-ABCD中，側棱PD丄底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF丄PB交PB于點F，連接DE,DF,BD,BE.C⑴證明：PB丄平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（H）若面def與面ABCD所成二面角的大小為n，求DC的值.大家可以看出，我們例題的（1）（2）兩個小題就改編自這題，只是沒有用它的名稱，實際上，“陽馬”和“鱉臑”怎么來的，《九章算術》里是這樣描述的：《九章算術?商功》：“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵.

再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個?以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬?余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑.我們可以看出來，“陽馬”和“鱉臑”是截長方體所得，那么如果有需要也可以補形回去。而且“陽馬”和“鱉臑”的最長的棱就是對應長方體的體對角線。TOC\o"1-5"\h\z關于“鱉臑”這個幾何體，浙江省也考過一個相關的題目，不過沒有提出這個名稱：（2008浙江14）如圖，已知球O的面上四點A，B，C，D，DA丄平面一.H