2021北京北大附中石景山學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)（教師版）

17/172021北京北大附中石景山學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分：100分）一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分.1.下列各角中，與角終邊相同的是（）A. B. C. D.2.，是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.3.在中，D是BC的中點(diǎn)，如果，那么（）A.， B.， C.， D.，4.要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度5設(shè)，且，則（）A.或 B.或 C.或 D.或6.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.7.已知A，B，C，D是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.若，則的值為（）A. B. C. D.9.已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有，那么的最小值為（）A. B. C. D.10.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的部分圖象如圖所示,則f(1)+f(2)+f(3)++f(11)的值等于A.2 B. C. D.二.填空題11.已知圓的半徑為2，則的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____.12.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若，則______.13.設(shè)向量?的長(zhǎng)度分別為4和3，夾角為，則______.14.已知，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若向量與共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)__________．15.若θ是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且，則sinθ﹣cosθ的值為．16.已知函數(shù)給出下列三個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；③的值域是.其中，正確結(jié)論序號(hào)是______.三、解答題17.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，(1)求值;(2)寫(xiě)出角的集合.18.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，（1）求與的夾角;（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與互相垂直?19.已知，求的值．20.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期及的圖象的對(duì)稱(chēng)軸；（2）完成表格，并在給定的坐標(biāo)系中，用五點(diǎn)法作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

21.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；（3）求函數(shù)在的區(qū)間上的最大值和最小值.22.已知向量，設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間;（2）若函數(shù)，其中，試討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分.1.下列各角中，與角終邊相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】寫(xiě)出與終邊相同角的集合，取k值得答案.【詳解】與角終邊相同的角的集合為，取，可得.∴與角終邊相同的是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.2.，是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A．分析方向；B．分析夾角；C．根據(jù)數(shù)量積計(jì)算結(jié)果進(jìn)行判斷；D．根據(jù)模長(zhǎng)運(yùn)算進(jìn)行判斷.【詳解】A．可能方向不同，故錯(cuò)誤；B．，兩向量夾角未知，故錯(cuò)誤；C．，所以，故錯(cuò)誤；D．由C知，故正確，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積運(yùn)算以及向量相等的概念，主要考查學(xué)生對(duì)向量的綜合理解，難度較易.3.在中，D是BC的中點(diǎn)，如果，那么（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則可知，再將用的形式表示出來(lái)，則的值可求.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋?，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形中向量的線(xiàn)性運(yùn)算，涉及向量三角形法則的運(yùn)用，難度較易.4.要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.【詳解】解：只要將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題5.設(shè)，且，則（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】由已知角及范圍，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】因?yàn)椋遥瑒t或.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.6.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】解：在區(qū)間上，，沒(méi)有單調(diào)性，故排除A.在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，故排除B.在區(qū)間上，單調(diào)遞增，且其最小正周期為，故C正確；根據(jù)函數(shù)以為最小正周期，的周期為，可排除D.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.已知A，B，C，D是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要條件、充分條件的定義即可判斷.【詳解】解：由可不一定推出四邊形為平行四邊形，但由四邊形為平行四邊形一定可得，故“”是“四邊形為平行四邊形”的必要而不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查充分條件和必要條件的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題8.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式、兩角差的正弦進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到答案.【詳解】，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換求值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.9.已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有，那么的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意分析可知為的最小值，為的最大值，故最小時(shí)為半個(gè)周期.【詳解】的周期，由題意可知為的最小值，為的最大值，的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題，分析清楚題目意思是關(guān)鍵.10.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的部分圖象如圖所示,則f(1)+f(2)+f(3)++f(11)的值等于A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由圖可知，，函數(shù)的周期為所以.φ=.所以.所=======.所以.故選C.二.填空題11.已知圓的半徑為2，則的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可直接求解.【詳解】由弧長(zhǎng)公式可得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.12.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】由題意可得點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)（不是原點(diǎn)），則一定在角的終邊上，因?yàn)?，所?故答案為：.13.設(shè)向量?的長(zhǎng)度分別為4和3，夾角為，則______.【答案】【解析】【分析】對(duì)要求的向量的模平方，得到，然后再對(duì)求得的結(jié)果開(kāi)方.【詳解】∵?的長(zhǎng)度分別為4和3，夾角為，∴∵，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及模的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若向量與共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的共線(xiàn)定理表示出與的關(guān)系，然后列出關(guān)于的方程組求解出的值即可.【詳解】因?yàn)榕c共線(xiàn)，設(shè)，又因?yàn)椴还簿€(xiàn)，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量共線(xiàn)求解參數(shù)值，難度較易.向量與非零向量共線(xiàn)時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)使得.15.若θ是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且，則sinθ﹣cosθ的值為．【答案】【解析】【分析】先由條件判斷sinθ＞0，cosθ＜0，得到sinθ﹣cosθ，把已知條件代入運(yùn)算，可得答案．【詳解】∵θ是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，把sinθ﹣cosθ換成是解題的關(guān)鍵．16已知函數(shù)給出下列三個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；③值域是.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】②③【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性判斷①；求出函數(shù)的零點(diǎn)判斷②；函數(shù)的值域判斷③.【詳解】函數(shù)，①由于，所以是非奇非偶函數(shù)，所以①不正確；②，可得，，，所以函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；所以②正確；③函數(shù)，的值域是，正確；正確結(jié)論的序號(hào)是：②③.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、零點(diǎn)、值域.三、解答題17.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，(1)求的值;(2)寫(xiě)出角的集合.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求得到原點(diǎn)的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得的值，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，由此求得表達(dá)式的值.（2）根據(jù)三角函數(shù)值以及終邊所在象限，確定角的集合.【詳解】（1）點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故，所以.（2）由（1）知，在內(nèi)，滿(mǎn)足條件的角為，所以角的集合為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，考查誘導(dǎo)公式，考查終邊相同的角的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.18.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，（1）求與的夾角;（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與互相垂直?【答案】（1），（2）【解析】【分析】如圖建立直角坐標(biāo)系，從而可得，（1）利用向量的夾角公式求解即可，（2）求出的坐標(biāo)，由與互相垂直，可得，化簡(jiǎn)計(jì)算可求出的值【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則，（1）設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c互相垂直，所以，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，與互相垂直

19.已知，求的值．【答案】－3．【解析】【詳解】試題分析：本題考察的是三角函數(shù)齊次式的化簡(jiǎn)求值，觀察后可以發(fā)現(xiàn)需先通過(guò)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)然后分子分母同時(shí)除以化成跟相關(guān)的式子，代入化簡(jiǎn)后的式子即可得到答案．試題解析：原式=，又原式考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值20.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期及的圖象的對(duì)稱(chēng)軸；（2）完成表格，并在給定的坐標(biāo)系中，用五點(diǎn)法作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.【答案】（1）最小正周期為，對(duì)稱(chēng)性，；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，求得的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸.（2）利用五點(diǎn)法作圖，結(jié)合題意即可列表，進(jìn)而作出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.【詳解】解：（1）∵，故它的最小正周期為，令，，，（2）由題意可得表格如下：00200圖象如下：【點(diǎn)睛】本題考查求正弦型函數(shù)的周期與對(duì)稱(chēng)性，考查“五點(diǎn)法”畫(huà)圖，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；（3）求函數(shù)在的區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期；（2）對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，；（3）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合周期公式進(jìn)行計(jì)算即可（2）根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解（3）求出角的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的有界性以及最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1），則的最小正周期，（2）由，，得，，即的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，.（3）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，其中涉及輔助角公式、周期、三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心，主要考查學(xué)生的化簡(jiǎn)計(jì)算能力，難度一般.22.已知向量，設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間;（2）若函數(shù)，其中，試討論函數(shù)的零點(diǎn)