中學(xué)考試中地費馬點詳解加練習(xí)

實用文檔實用文檔實用文檔實用文檔皮耶,德?費馬(PierredeFermat)是一個17世紀(jì)的法國律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家。之所以稱業(yè)余，是由于皮耶?德?費馬具有律師的全職工作。他的姓氏根據(jù)法文與英文實際發(fā)音也常譯為“費爾瑪”(注意“瑪”字)。費馬最后定理在中國習(xí)慣稱為費馬大定理，西方數(shù)學(xué)界原名“最后”的意思是：其它猜想都證實了，這是最后一個。著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家貝爾(E.T.Bell)在20世紀(jì)初所撰寫的著作中，稱皮耶?德?費馬為"業(yè)余數(shù)學(xué)家之王。“貝爾深信，費馬比皮耶?德?費馬同時代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就，然而皮耶?德?費馬并未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì)，因而貝爾認(rèn)為費馬是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星。費馬點問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔?托里拆利(氣壓計的發(fā)明者)的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個問題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關(guān)的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義?！百M馬點”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最短的點。若給定一個三角形4ABC勺話，從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點AB、C的距離之和比從其它點算起的都要小。這個特殊點對于每個給定的三角形都只有一個。.若三角形3個內(nèi)角均小于120°,那么3條距離連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。.若三角形有一內(nèi)角大于等于120°,則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。

在1的條件下畫圖找費馬點如圖以任意兩邊為邊向兩邊做等邊三角形ABD和等年三角形ACE則CD,B黃點P即為所求2若在3120。的鈍角三角形中，其頂點即是。另外，當(dāng)剛好120°,且三角形BCDS等邊三角形時，有個結(jié)論：AD=AB+AC我們拓展一道幾何題，第二問對很多學(xué)生或者老師還是很酥爽的

2011房山一摸2009石景山25.2011房山一摸2009石景山已知：等邊三角形ABC如圖1,P為等邊△ABC外一點，且/BPC=120.圖1試猜想線段BRPGAP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;圖1(2)如圖2,P為等邊△ABCft一點，且/APD=120.A圖2求證：PA+PD+PCBD我們回到正題：費馬點A圖2求證：PA+PD+PCBD21若P為AAi斌所在平面上一點.且￡4尸8=￡加彩=EC網(wǎng)=I200,則點尸叫做AABC的一馬龍U)若點P為銳角廄:的費馬點，且，用這二項= 4,則F/的值為速；(2)如圖，在偏用外惻作等邊△ACS，,連結(jié)B(^258)求證4R'過的資馬點P,且用T=PR+P8+也B(^258)25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為(0,2),點D在x軸的正半軸上，/ODB=30。，OE為^BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y=ax2+Y3x+c與x軸相交于A、F兩點(A在F的左側(cè)).6(1)求拋物線的解析式；⑵等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；(3)點P為△ABO內(nèi)的一個動點，設(shè)m=PA+PB+PO,請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，線段AP的長.2013房山一摸24.(1)如圖1,△ABCffi△CDEB是等邊三角形，且B、CD三點共線，聯(lián)結(jié)ADBE相交于點P,求證：BE=AD(2)如圖2,在△BCM,/BCD：120,分別以BCC濟口BD為邊在△BCE#部作等邊三角形ABC等邊三角形CD序口等邊三角形BDF聯(lián)結(jié)ADBE和CF交于點P,下列結(jié)論中正確的是(只填序號即可)①AD=BE=CF②/BEChADC③/DPE=^EPChCPA=60;(3)如圖2,在(2)的條件下，求證：PB+PC+PD=BE實用文檔實用文檔實用文檔實用文檔20162016年順義一摸實用文檔實用文檔20162016一月昌平29.閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在△ABC（其中/BAO一個可以變化的角）中，AB=2,AG4,以BC為邊在BC的下方作等邊APBC圖1 圖2小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組一 '一'-' 一，'合.他的萬法是以點B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP?時針旋轉(zhuǎn)60得到△ABC連接AA當(dāng)點A落在AC上時，此題可解（如圖2）.（1）請你回答：AP的最大值是.（2）參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3,等腰RtAABC邊AB=4,P為△ABC3部一點，請寫出求AF+BRCP的最小值長白^解題思路.提示：要解決AF+BRCP的最小值問題，可仿照題目給出的做法把NAB嘮B點逆時針旋轉(zhuǎn)60,得到aabp’.①請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形②請寫出求AP+BRCP的最小值的解題思路（結(jié)果可以不化簡）

.已知，點O是等邊△ABC3的任一點，連接OAOBOC如圖1,已知/AO=150°,/BOC120°,將△BOC§點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得4ADC①/DAO勺度數(shù)是；②用等式表示線段OAOBOU1間的數(shù)量關(guān)系，并證明；⑵設(shè)/AOBa,/BOCB.①當(dāng)E,B滿足什么關(guān)系時，OA+OB+OC最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；②若等邊^(qū)ABC勺邊長為1,直接寫出OA+OB+OC最小值.2017年一月昌平.如圖1,在△ABCt\/ACB90°,點P為△ABC3一點.(1)連接PRPC將^BCP&射線CA方向平移，得到△DAE點B,C,P的對應(yīng)點分別為點D,A,E,連接CE①依題意，請在圖2中補全圖形;②如果BP，CE,BP=3,AB=6,求CE的長.

(2)如圖3,連接P/\PB,PQ求PA+PB+P購最小化小慧的作法是：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將^ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到4AMN那么就將PA+PB+P的值轉(zhuǎn)化為CRPM+MN勺值，連接CN當(dāng)點P落在CN上時，此題可解.請你參考小慧的思路，在圖3中證明PAP&PC=CF+PMMN并直接寫出當(dāng)AC=BC=4時，PA+PBPC的最小值.延伸一下2017年一月海淀28.在△ABC^,ABAC/BA(=a,點P是△ABCft一點，且npac+npcaJ.連接PB試探究PAPBPCS足的等量關(guān)系.2圖1圖1(1)當(dāng)a=60°時，將△ABFgg點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP、連接PP',如圖1所示.由4ABP二△ACP'可以證得^APP'是等邊三角形,度，進(jìn)而得到再由/PAC+NPCA=30◎可得/APC的大小為度，進(jìn)而得到△CPP，是直角三角形，這樣可以得到 PAPB,PC滿足的等量關(guān)系(2)如圖2,當(dāng)a=120°時，請參考(1)中的方法，探究PAPBPC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；(3)PAPB,PCS足的等量關(guān)系為.

28.已知：在△ABCK/BA(=60°.(1)如圖1,若ABAC點P在△ABCft,且/AP(=150°,PA=3,PG4,把△APC^著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到點B處，得到△ADB連接DP①依題意補全圖1;②直接寫出PB的長；(2)如圖2,若ABAG點P在AABa卜，且PA=3,PB=5,PO4,求/APC勺度數(shù)；(3)如圖3,若AB=2AC點P在^ABC內(nèi)，且PX屈,PB=5,/APB120。，請直接寫出PC的長.實用文檔實用文檔實用文檔實用文檔26、如圖，四邊形ABC虛正方形，△AB虛等邊三角形，M為對角線BD(不含B點)上任意一