高中數(shù)學(xué)公式大全(全套完整版)資料講解

高中數(shù)學(xué)公式大全（全

套完整版）

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1.包含關(guān)系A(chǔ)IB=AoAUB=BoA匸BoCB匸CAUUoAICB二①oCAUB二RUU2?集合｛a,a,L,a｝的子集個數(shù)共有2“個；真子集有2“-1個；非空子集有2“-1個；非空12n的真子集有2n-2個.3.充要條件充分條件：若pnq，則p是q充分條件.必要條件：若qnp，則p是q必要條件.充要條件：若pnq，且qnp，則p是q充要條件.4.函數(shù)的單調(diào)性⑴設(shè)x-xe4.函數(shù)的單調(diào)性⑴設(shè)x-xe1212(x-x)[f(x)-f(x)]>0o1212a,b]x豐x那么f(xi)二f(x2)>0of(x)在la,b]上是增函數(shù)；x-x12(x-x)[f(x)-f(x)]<0of(xi)二f(x2)<0of(x)在L,b]上是減函數(shù).1212x-x12設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f'(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如果f'(x)<0，則f(x)為減函數(shù).5.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)f(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)y=f(u)和u=g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù).6．奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).7.對于函數(shù)y=f(x)(xeR),f(x+a)=f(b-x)恒成立，則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)x=;兩個函數(shù)y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線x=~^-對稱.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)f(x)=f(x+a)，則f(x)的周期T二a；11,f(x+a)=(f(x)豐0)，或f(x+a)=-(f(x)豐0),則f(x)的周期T=2a；f(x)f(x)分數(shù)指數(shù)冪(1)an(a>(1)an(a>0,m,neN*“ammI且n>1).⑵a-n=-ana>0,m,neN*10．根式的性質(zhì)(na)n=10．根式的性質(zhì)(na)n=a.(2)當n為奇數(shù)時,11．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)；當n為偶數(shù)時，nan=1a1=a,a>0-a,a<0ar-as=ar+s(a>0,r,seQ).(2)(ar)s=ars(a>0,r,seQ).(3)(ab)r=ab(a>0,b>0,reQ).12.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logN=boab=N(a>0,a豐1,N>0)a.①?負數(shù)和零沒有對數(shù)，②.1的對數(shù)等于0：log1=0,③?底的對數(shù)等于1：loga=1,aa④?積的對數(shù)：log(MN)=④?積的對數(shù)：log(MN)=logM+logN，商的對數(shù)：logM=logM-logaNN，冪的對數(shù):logMn=nlogM；aalogabn=—logbmma13?對數(shù)的換底公式logN=lOgmalogam(a>0，且a豐1,m>0,且m豐1,N>0).nTOC\o"1-5"\h\z推論logbn=logb(a>0，且a>1,m,n>0，且m主1,n主1,N>0)?amma｛sn=1「c(數(shù)列｛a｝的前n項的和為s=a+a+L+a).s-s,n>2nn12nnn-1等差數(shù)列的通項公式a=a+(n-1)d=dn+a-d(neN*)；11n(a+a)n(n-1)d1其刖n項和公式為s=+n=na+d=n2+(a-—d)n?n212212等比數(shù)列的通項公式a=aqn-1=a-qn(neN*)；a-aq.—1n,q豐11-qa-aq.—1n,q豐11-qna,q=11其前n項的和公式為s=<其前n項的和公式為s=<n1-q或snna,q=11同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin29+cos29=1,tan0=sin》cos019正弦、余弦的誘導(dǎo)公式sin(號+asin(號+a)=<n(-1)2sina,（n為偶數(shù)）n—1(-1)2cosa,20和角與差角公式sin(a20和角與差角公式sin(a±P)=sinacosP土cosasinP;cos(a±B)=cosacosPmsinasinP;tana±tanPtan(a±卩)=1mtanatanPasina+bcosa二、：：a2+b2sin(a+p)(輔助角p所在象限由點(a,b)的象限決定，tan申=b).a21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2a=2sinacosa．⑵cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1—2sin2a(cos2a=1+c；s2a,sin2a=1-c；s2a).⑶tan2⑶tan2a=2tana1—tan2a22.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)y=sin?x+p),xER及函數(shù)y=cos(①x+p),xER(A,3,p為常數(shù)，且AH0,w>0)的周

2兀兀兀期T=一；函數(shù)y=tangx+p)x豐k兀+—,keZ(A,3,p為常數(shù)，且AH0,w>0)的周期T=—.2①23.正弦定理ab

ab

sinAsinBsinC24.余弦定理a2=b2+c2一2bccosA;b2=c2+a2一2cacosB;c2=a2+b2一2abcosC.面積定理S=1absinC=1besinA=1casinB(2).222三角形內(nèi)角和定理兀'B在厶ABC中，有A+B+C=兀。C=k-(A+B)o—=—--o2C=2?！?(A+B).222實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)入、U為實數(shù)，那么(1)結(jié)合律：入(阻)=(入u)a;(2)第一分配律：(入+u)a二入a+^a;(3)第二分配律：入(a+b)二入a+入b.向量的數(shù)量積的運算律：(1)a?b=b?a(交換律);(2)(九a)?b=九(a?b)=九a?b二a?(九b);(3)(a+b)?c=a?c+b?c.30．向量平行的坐標表示設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，且b豐0,則aPb(b豐0)oxy一xy=0.11221221a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a?b=|a||b|cose.數(shù)量積ab等于a的長度lai與b在a的方向上的投影IblcosG的乘積.平面向量的坐標運算(1)設(shè)a=(x,平面向量的坐標運算(1)設(shè)a=(x,y),b=(x,y),1122⑵設(shè)a=(x,y),b=(x,y),1122⑶設(shè)A(x,y),B(x,y)，則AB=OB-OA=(x1122⑷設(shè)a=(x,y)，九eR，則九a=(九x,九y)?⑸設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，則a?b=(xx+yy).11221212兩向量的夾角公式cos9=,學(xué)+yiZ^=貝a+b=(x+x,y+y).1212則a-b=(x一x,y一y).uuuruuur1uuur212:一x,y一y).2121(a=(x,yj,b=(x,y_)).<x2+y2?卩2+y21uudrfairUur平面兩點間的距離公式d=lABl=AB-ABA,B

=x—x)2+(y—y)2(A(x,y),B(x,y)).y-121112~向量的平行與垂直設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，且b豐0,貝1122

A||bob二入aoxy一xy=0.1221a丄b(a豐0)oa?b=0oxx+yy=0.1212三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為A(x1,y1)x+x+xy+y+y)G(-42,1-3)?B(x,y)、221122C(x,y),則△ABC的重心的坐標是33厶*1Z"33設(shè)O為AABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,貝uuuruuuruuuruuuruuuruuurr(1)O為AABC的外心oOA2=OB2=OC2.⑵O為AABC的重心oOA+OB+OC=0.uuuruuuruuuruuuruuuruuur(3)O為AABC的垂心、oOA-OB=OB-OC=OC-OA.38.常用不等式：a,beRna2+b2>2ab(當且僅當a=b時取“二”號).⑵a,beR+n凹、莎(當且僅當a=b時取“二”號).^2(3)a一b<a+b<a+|b|.39已知x,y都是正數(shù)，則有(1)若積xy是定值p，則當x二y時和x+y有最小值2.(：p；若和x+y是定值s，貝當x二y時積xy有最大值4s2.含有絕對值的不等式當a>0時，有|x|<aox2<a2o-a<x<a.x>aox2>a2ox>a或x<一a.斜率公式k二匚乙(P(x,y)、P(x,y)).x一x11122221直線的五種方程點斜式y(tǒng)-y二k(x-x)(直線l過點P(x,y)，且斜率為k).11111斜截式y(tǒng)=kx+b(b為直線/在y軸上的截距).兩點式y(tǒng)yi二xxi(y豐y)(P(x,y)、P(x,y)(x豐x)).y一yx一x12111222122121截距式-+y=1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b豐0)ab—般式Ax+By+C=0(其中A、B不同時為0).兩條直線的平行和垂直若l:y=kx+b,/:y=kx+b①/111ok二k,b豐b.②/丄/okk=一1.111222121212;1212若l:Ax+By+C二0,l:Ax+By+C二0,且A1sA2、B1SB2都不為零，111122221212ABC①lIIlo二-f豐t:②l丄loAA+BB二0；12ABC121212222(l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0,AA+BB豐0).111122221212直線l丄l時，直線l1與l2的夾角是-?12122點到直線的距離d二1Ax0+By0+C!(點P(x,y)，直線l:Ax+By+C=0).A2+B200圓的四種方程圓的標準方程(x一a)2+(y一b)2-r2.圓的—般萬程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2—4F>0).直線與圓的位置關(guān)系直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系有三種：d>ro相離oA<0;d=ro相切oA=0;.IAa+Bb+Cd<ro相父oA>0.其中d=_.-.A2+B2兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為0,0,半徑分別為r,r,\OO\=d1212112d>r+ro外離o4條公切線；d=r+ro外切o3條公切線；1212|r一rI<d<r+ro相交o2條公切線；d=|r一rIo內(nèi)切o1條公切線；1212120<d<|r一r|o內(nèi)含o無公切線.圓的切線方程⑴已知圓x2+y2+Dx+Ey+F=0.(2)已知圓x2+y2=r2.①過圓上的P(x,y)點的切線方程為xx+yy=r2;00000

50?橢圓蘭+琴=1(a>b>0)的參數(shù)方程是a2b2x二acos0y二bsin0TOC\o"1-5"\h\z51?橢圓—+弓=1(a>b>0)焦半徑公式|PF|=e(x+—),|PF|=e(--x)?ax二acos0y二bsin052．橢圓的的內(nèi)外部⑴點P(x,y)在橢圓1+「=1(a>b>0)的內(nèi)部+一<1?00a2b2a2b2⑵點P(x,y)在橢圓乂+y~=1(a>b>0)的外部o玉+：>1?00a2b2a2b253?雙曲線勒-b2=1(a>0，b>°)的焦半徑公式竹e(x+3，腿|t礙-x)|?雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系若雙曲線方程為蘭-學(xué)t1=漸近線方程：乂-「t0oyT±bx?a2b2a2b2a若漸近線方程為yt±bxo-±芻t0n雙曲線可設(shè)為乂-$t九?aaba2b2若雙曲線與乂-「t1有公共漸近線，可設(shè)為乂-啟t九(九〉0，焦點在X軸上，九<0，焦a2b2a2b2點在y軸上)?拋物線y2=2px的焦半徑公式拋物線y2t2px(p>0)焦半徑|CF|tx0+2?過焦點弦長CDtx++x+tx+x+p?122212直線與圓錐曲線相交的弦長公式|AB|tJ(x-x)2+(y-y)2或|AB|=i：(1+k2)(x-x)2t|x-x丨(1+tan2a=1y-y\\1+cot2a(弦端點A(x,y),B(x,y),2112121122{v=kx+b、c消去y得到ax2+bx+c=0,A>0,a為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率)?F(x,v)t057(1)加法交換律：a+b=b+a.(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)數(shù)乘分配律：入(a+b)=Aa+Ab.59共線向量定理對空間任意兩個向量鼻、b(bHo),晶〃銘存在實數(shù)入使鼻謐?皿P、A、B三點共線oAP\\ABoAP=tABoOP=(1-1)OA+tOB?向量的直角坐標運算設(shè)a=(a,a,a),b=(b,b,b)則TOC\o"1-5"\h\z123123(1)a+b=(a+b,a+b,a+b)112233R)；a?b=ab+ab+ab；112233設(shè)A(x,y,z),B(x,y,z),111222空間的線線平行或垂直rr設(shè)a=(x,y,z),b=(x,y,z),111222；(2)a-b二(a一b,a一；(2)a-b二(a一b,a一b,a一b)；(3)入a二(九a,九a,九a)(入W112233123uuuruuuruuur貝9AB=OB—OA=(x—x,y—y,z—z)?212121rrrr貝a丄boa?b=0oxx+yy+zz=0.121212設(shè)a=(q,a2,a3)，b二件b2,b>則cos〈a，b〉ab+ab+ab++^233rr64?異面直線所成角cos9=lcos；；rr64?異面直線所成角cos9=lcos；；a,b：‘I=0鐘=—'1IaI-1bIJx2+y2+z2?Jx2+y2+z2rr111222a,b分別表示異面直線a,b的方向向量)(其中9(0o<9<90o)為異面直線a,b所成角，65.直線AB與平面所成角uuurururp=arcsinUB'件(m為平面a的法向量).IABIImIurrm-n=arccosirrImIInI66.二面角a-1-卩的平面角9urrm?nurr或兀一arccosirr(m,n為平面a,p的法向ImIInI量）.134.空間兩點間的距離公式若A（%,人,p,B（x2,y2,吵67.球的半徑是R,貝4dA,Buur,uuruur=IABI=€AB?AB=p(x—x)2+(y—y)2+(z—z)2?V212121其體積V=3兀R3,其表面積S=4兀R2.（3）球與正四面體的組合體:棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為^2a，外接球的半徑為a?68V=1Sh(S是柱體的底面積、h是柱體的高)?冬=1Sh(S是錐體的底面積、h是錐柱體3錐體3體的高).分類計數(shù)原理(加法原理)N=m+m+L+m.12nn！排列數(shù)公式Am=n(n—1)A(n—m+1)=-.(n,mEN*,且m<n).注:規(guī)定0!=1.n！n(n—m)n！組合數(shù)公式Cm=勢=n(n一DA(n一m+D=—巴—(nEN*,meN，且m<n).nAm1x2xAxmm!-(n—m)!m72?組合數(shù)的兩個性質(zhì)(1)Cm=Cn-m；(2)Cm+Cm—1=Cm?注:規(guī)定C0=1.n-n--+1-155.組合恒等式(1)Cm=n一m+1Cm-1；(2)Cm=—Cm；⑶Cm=2Cm—1；n-1nmnnn—mn—1n-1（4）￡Cr=2n；nr=0?排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系A(chǔ)m=m!Cm.nn?單條件排列以下各條的大前提是從-個元素中取m個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有Am-1種；②某（特）元不在某位有Am—Am-1（補集思想）=A1Am-1n—1nn—1n—1n—1（著眼位置）=Am+A1Am—1（著眼元素）種.n—1m—1n—1（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：k（k<m<n）個元在固定位的排列有AkAm-k種.kn—k浮動緊貼：-個元素的全排列把k個元排在一起的排法有a--k+1Ak種?注：此類問題常用捆綁n—k+1k法；插空：兩組元素分別有k、h個（k<h+1），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有AhAk種.hh+1（3）兩組元素各相同的插空m個大球n個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

An

——m+1AnnAn

——m+1Ann(4)兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為Cn.m+n75．分配問題(1)(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個物件等分給m個人，各得n件，其分配方法數(shù)共當n>m+1時，無解；當n<m+1時，有m+i=C種排法.Anm+1有N=Cn-CnCnmnmn-nmn-2n?A-Cn?Cn=m、(mn)!(n!)m(2)(平均分組無歸屬問題)將相異的mn個物體等分為無記號或無順序的m堆，其分配方法數(shù)共有2nnCn?Cn?Cn—mnmn—nmn—2nm!Cn?Cn(mn)!2n—m!(n!)m(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n+n+L+n)個物體分給m個人，物件必須被分12m完，分別得到n,n，…，n件，且n,n，…，n這m個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有TOC\o"1-5"\h\z12m12mN—5?Cn2...Cnm?m!—P^—.pp-n1nmn!n!...n!12m二項式定理(a+b)n—C0an+C1an-1b+C2an-2b2+A+Cran-rbr+A+Cnbnnnnnn二項展開式的通項公式T—Cran-rbr(r—0,1,2A,n).r+1nn次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率P(k)—CkPk(1-P)n-k.nn78?離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)(1)p>0(i-12L)；(2)p++L-1-79.數(shù)學(xué)期望Eg—xP+xP+L+xP+L1122nn80??數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(ag+b)—aE(g)+b.(2)若g?B(n,p)，則—np.萬差Dg—(x—Eg匕?p+(x—Eg匕?p+L+(x—Eg匕?p+L標準差疋=Dg.1,J22nn方差的性質(zhì)⑴D(ag+b)=a2Dg；(2)若g?B(n,p)，則Dg—np(1-p).f(x)在(a,b)的導(dǎo)數(shù)八x)-y'-學(xué)-f-lim學(xué)-limf(x+節(jié))―f(x)?dxdx心*Ax心*Ax函數(shù)y—f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y—f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y—f(x)