高中數(shù)學(xué)排列組合問題的分類

高中數(shù)學(xué)排列組合問題的分類一、相鄰問題捆綁法例1、6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（）種720360240120解：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人捆在一起視作一人，與其余四人進(jìn)行全排列有船種排法；甲、乙兩人之間有朋種排法。由分步計數(shù)原理可知，共有孕=240種不同排法，選Co從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是在解決對于某幾個元素相鄰的問題時，可整體考慮將相鄰元素視作一個“大”元素。二、相離問題插空法例2、要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，有多少不同的排法？（只要求寫出式子，不必計算）解：先將6個歌唱節(jié)目排好，其不同的排法為朋種；這6個歌唱節(jié)目的空隙及兩端共7個位置中再排4個舞蹈節(jié)目，有期種排法。由分步計數(shù)原理可知，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為期朋種。從解題過程可以看出，不相鄰問題是要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開。此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。三、定序問題縮倍法例3、信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號?，F(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是（用數(shù)字作答）。解：5面旗全排列有型種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能算作一次的掛法，故共有不同的信號種數(shù)是=10（種）。在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題。這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷。四、標(biāo)號排位問題分步法例4、同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡的分配方式有（）6種9種11種23種解：此題可以看成是將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，且每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)不同的填法問題。所以先將1填入2至4號的3個方格里有①種填法；第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字，填入其它3個方格，又有堤種填法；第三步將余下的兩個數(shù)字填入余下的兩格中，只有1種填法。故共有3X3X1=9種填法，而選B。把元素排在指定號碼的位置上稱為標(biāo)號排位問題。求解這類問題可先把某個元素按規(guī)定排放，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成。五、有序分配問題逐分法例5、有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需由2人承擔(dān)，乙、丙各需由1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有（）種1260202525205040解：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下8人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，最后從剩下7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)。根據(jù)分步計數(shù)原理可知，不同的選法共有c；qC?=2520種，故選C。有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步下量分組法求解。六、多元問題分類法例6、由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）210個300個464個600個解：按題意個位數(shù)只可能是0，1，2，3，4共5種情況，符合題意的分別有対直沁卅,繪繪蹲電A同繪個。合并總計，共有+a；a；=300（個），故選B。元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求，分成互不相容的幾類情況分別計算，最后總計。另解：先排首位，不用0,有毬種方法；再同時排個位和十位，由于個位數(shù)字小于十位數(shù)字，即順序固定，故有空種方法；最后排剩余三個位置，有型種排法。故共有符合要求的六位數(shù)出U型=300（個）。七、交叉問題集合法例7、從6名運(yùn)動員中選出4名參加4X100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？解：設(shè)全集U=｛6人中任取4人參賽的排列｝,A=｛甲跑第一棒的排列｝,B=｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式可得參賽方法共有■eard(U)-card(A)-card(B)+card(A仃Ej=-A：」疋；+=252(種)。某些排列組合問題幾部分之間有交集,可用集合中求元素個數(shù)的公式：匚ard(AJB)=card(A)+card(B')-card(A門日)來求解。八、定位問題優(yōu)限法例8、計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的陳列方式有()A.醫(yī)圮B?掘醐血C.毬D?燒應(yīng)解：先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫不能放在頭尾，故只能放在中間，則油畫與國畫有抵種放法。再考慮油畫之間與國畫之間又可以各自全排列。故總的排列的方法為圧期攝種，故選D。所謂“優(yōu)限法”，即有限制條件的元素（或位置）在解題時優(yōu)先考慮。九、多排問題單排法例9、兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學(xué)生入座（每人一座位），則不同的坐法種數(shù)為（）TOC\o"1-5"\h\z曲心扇曲確解：此題分兩排坐，實(shí)質(zhì)上就是8個人坐在8個座位上，故有型種坐法，所以選Do把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮。十、至少問題間接法例10、從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有（）種140807035解：在被取出的3臺中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合題意，故符合題意的取法有瑞-蹲-c；=70種，選C。含“至多”或“至少”的排列組合問題，通常用分類法。本題所用的解法是間接法，即排除法（總體去雜），適用于反面情況明確且易于計算的情況。十一、選排問題先取后排法例11、四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有種（用數(shù)字作答）。解：先從四個小球中取兩個放在一起，種不同的取法；再把取出的兩個小球與另外兩個小球看作三堆，并分別放入四個盒子中的三個盒子中，有揖種不同的放法。依據(jù)分步計數(shù)原理，共有c注：=144種不同的方法。這是一道排列組合的混合應(yīng)用題目，這類問題的一般解法是先取（組合）后排（排列）。本題正確求解的關(guān)鍵是把四個小球中的兩個視為一個整體，如果考慮不周，就會出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的錯誤。十二、部分符合條件淘汰法例12、四面體的頂點(diǎn)及各棱中點(diǎn)共有10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）TOC\o"1-5"\h\z150種147種144種141種解:10個點(diǎn)中取4個點(diǎn)共有％種取法，其中同一側(cè)面內(nèi)的6個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)必共