2021全國高考真題數(shù)學匯編：空間向量與立體幾何章節(jié)綜合

24/242021全國高考真題數(shù)學匯編空間向量與立體幾何章節(jié)綜合一、單選題1．（2021·全國·高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題（理））在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A． B． C． D．3．（2021·全國·高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）A．26% B．34% C．42% D．50%6．（2021·全國·高考真題（文））在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（）A． B． C． D．二、多選題7．（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（）A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面8．（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（）A． B．C． D．三、填空題9．（2021·全國·高考真題（理））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．10．（2021·全國·高考真題（文））已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為________.四、解答題11．（2021·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.12．（2021·全國·高考真題（理））已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?13．（2021·全國·高考真題（理））如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點，且PB⊥AM．（1）求BC；（2）求二面角A?PM?B的正弦值．14．（2021·全國·高考真題（文））已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.15．（2021·全國·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．16．（2021·全國·高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．

參考答案1．A【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關系求解.2．D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D3．B【分析】設圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.4．D【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.5．C【分析】由題意結合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.6．D【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結合直觀圖進行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，所以其側視圖為故選：D7．BD【分析】對于A，由于等價向量關系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)．【詳解】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi)．8．BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.9．③④（答案不唯一）【分析】由題意結合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體中，，分別為棱的中點，則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐.故答案為：③④.【點睛】三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系.10．【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.11．(1)詳見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO⊥平面BCD，即可證得結果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結果.【詳解】（1）因為AB=AD,O為BD中點，所以AO⊥BD因為平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因為平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,連EM因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因為FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME則為二面角E-BC-D的平面角,因為,為正三角形,所以為直角三角形因為,從而EF=FM=平面BCD,所以【點睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.12．（1）證明見解析；（2）【分析】（1）法一：作出輔助線，證明線面垂直進而證明出異面直線垂直；法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明線線垂直；法三：利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運算進行證明.（2）法一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案；法二：利用空間線面關系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值；法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進而求出二面角的正弦值最?。驹斀狻縖法一]因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．[法二]【最優(yōu)解】因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因為，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．所以，．由題設（）．因為，所以，所以．[法三]因為，，所以，故，，所以，所以．（2）[法一]【最優(yōu)解】設平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設平面與平面的二面角的平面角為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．[法二]如圖所示，延長交的延長線于點S，聯(lián)結交于點T，則平面平面．作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結，則為平面與平面所成二面角的平面角．設，過作交于點G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當時，．[法三]如圖，聯(lián)結，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設，在中，．在中，，過D作的平行線交于點Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點評】第一問，法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復雜，法二建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解；法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運算進行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學生的思維.第二問：法一建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；法二：利用空間線面關系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開闊學生的思維．13．（1）2；（2）70【分析】（1）以點D為坐標原點，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設BC=2a，由已知條件得出PB?AM=0，求出a（2）求出平面PAM、PBM的法向量，利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得結果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標系+空間向量法∵PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，不妨以點D為坐標原點，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系D?xyz，設BC=2a，則D0,0,0、P0,0,1、B2a,則PB=2a,1,?1，∵PB⊥AM，則PB?AM=?2a2[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，聯(lián)結BD．因為PD⊥底面AB?CD，且AM?底面ABCD，所以PD⊥AM．又因為PB⊥AM，PB∩PD=P，所以AM⊥平面PBD．又BD?平面PBD，所以AM⊥BD．從而∠ADB+∠DAM=90°．因為∠MAB+∠DAM=90°，所以∠MAB=∠ADB．所以△ADB∽△BAM，于是ADAB所以12BC[方法三]：幾何法+三角形面積法如圖，聯(lián)結BD交AM于點N．由[方法二]知AM⊥DB．在矩形ABCD中，有△DAN∽△BMN，所以ANMN=DA令BC=2t(t>0)，因為M為BC的中點，則BM=t，DB=4t2由S△DAB=12DA?AB=12（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標系+空間向量法設平面PAM的法向量為m=x1,y由m?AM=?22設平面PBM的法向量為n=x2,y由n?BM=?22cos<所以，sin<因此，二面角A?PM?B的正弦值為7014[方法二]：構造長方體法+等體積法如圖，構造長方體ABCD?A1B1C1D1，聯(lián)結AB1,A1B，交點記為H，由于聯(lián)結AG，由三垂線定理可知AG⊥D故∠AGH為二面角A?PM?B的平面角．易證四邊形A1BCD1是邊長為2的正方形，聯(lián)結S△由等積法解得HG=3在Rt△AHG中，AH=22,HG=所以，sin∠AGH=AHAG=70【整體點評】（1）方法一利用空坐標系和空間向量的坐標運算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結合三角形相似進行計算求解，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構造長方體方法+等體積轉化法，技巧性較強，需注意進行嚴格的論證.14．(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得AC的長度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；(2)將所給的幾何體進行補形，從而把線線垂直的問題轉化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結論.【詳解】(1)如圖所示，連結AF，由題意可得：，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，而平面，故，從而有，從而，則，為等腰直角三角形，，.(2)由(1)的結論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體，如圖所示，取棱的中點，連結，正方形中，為中點，則，又，故平面，而平面，從而.【點睛】求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側面作為底面，另一條側棱作為高來求體積．對于空間中垂直關系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進行等價轉化.15．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點為，連接.因為