新教材高中數(shù)學(xué)立體幾何初步2柱錐臺的體積作業(yè)含解析北師大版必修

08/807/8/6.2柱、錐、臺的體積(15分鐘30分)1.長方體同一頂點上的三條棱長分別為2,2,3,則長方體的體積與表面積分別為()A.12,32 B.12,24C.22,12 D.12,11【解析】A.V=A.V=2×2×3=12,S=2×(2×2)+2×(2×3)+2×(2×3)=32.【補償訓(xùn)練】若圓錐的底面半徑為3,母線長為5,則圓錐的體積是()A.12πB.6πC.4πD.3π【解析】選A.由已知圓錐的高h(yuǎn)=4,所以V圓錐=QUOTEπ×32×4=12π.2.棱臺的上、下底面面積分別是2,4,高為3,則棱臺的體積等于()A.6+QUOTE B.3+2QUOTE C.6+2QUOTE D.6【解析】選C.V棱臺=QUOTE×(2+4+QUOTE)×3=QUOTE×3×(6+2QUOTE)=6+2QUOTE.3.已知一個圓柱的側(cè)面積等于其表面積的QUOTE,且其軸截面的周長為24,則該圓柱的體積為()A.16π B.27π C.36π D.54π【解析】選D.設(shè)圓柱的高為h,底面圓半徑為r,因為圓柱的側(cè)面積等于其表面積的QUOTE,且其軸截面的周長為24,所以QUOTE解得r=3,h=6,所以該圓柱的體積為V=πr2h=π×32×6=54π.4.已知圓柱的底面周長為c,側(cè)面展開圖矩形的面積為S,則它的體積為________.?【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r,高為h,則QUOTE所以r=QUOTE,h=QUOTE,所以V=πr2h=π×QUOTE2·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點,設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V2,則V1∶V2=【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:1∶246.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的高為6cm,底面三角形的邊長分別為3cm,4cm5cm.以上、下底的內(nèi)切圓為底面,挖去一個圓柱,求剩余部分形成的幾何體的表面積和體積.【解析】因為32+42=52,所以底面是直角三角形.所以上、下底面內(nèi)切圓半徑r=QUOTE=1(cm).所以S表=(3+4+5)×6+2×QUOTE×3×4-2π×12+2π×1×6=72+12-2π+12π=(84+10π)(cm2),V=QUOTE×3×4×6-π×12×6=(36-6π)(cm3).故剩余部分形成幾何體的表面積是(84+10π)(cm2),體積是(36-6π)(cm3).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設(shè)四棱錐的底面是對角線長分別為2和4的菱形,四棱錐的高為3,則該四棱錐的體積為()A.12 B.24 C.4 D.30【解析】選C.由題意得四棱錐的底面積為S=QUOTE×2×4=4.故四棱錐的體積V=QUOTESh=QUOTE×4×3=4.2.《九章算術(shù)》卷五《商功》記載一個問題:“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺.術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是說:圓堡瑽(圓柱體)的體積為V=QUOTE×(底面圓的周長的平方×高)則由此可推得圓周率π的取值為()A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2【解析】選A.因為圓堡瑽(圓柱體)的體積為V=QUOTE×(底面圓的周長的平方×高),所以QUOTE×(2πr)2×h=πr2×h,解得π=3.3.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)著作,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺,問:積及米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積及堆放的米各為多少?”已知一斛米的體積約為1.62立方尺,由此估算出堆放的米約有()A.21斛 B.34斛 C.55斛 D.63斛【解析】選A.設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為r尺,則QUOTE×2πr=8,解得r=QUOTE,所以米堆的體積為V=QUOTE×QUOTE×πr2×5=QUOTE≈33.95,所以米堆的斛數(shù)是QUOTE≈21.【補償訓(xùn)練】我國數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書,這就是歷來被尊為算經(jīng)之首的《九章算術(shù)》,其中卷五《商功》有一道關(guān)于圓柱體的體積試題:“今有圓堡,周四丈八尺,高一丈一尺,問積幾何?”其意思是:“今有圓柱形的土筑小城堡,底面周長是4丈8尺,高1丈1尺,問它的體積是多少?”若π取3,估算小城堡的體積為()A.1998立方尺 B.2012立方尺C.2112立方尺 D.2324立方尺【解析】選C.設(shè)圓柱形城堡的底面半徑為r,則由題意得2πr=48,所以r=QUOTE≈8尺.又城堡的高h(yuǎn)=11尺,所以城堡的體積V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺.4.沙漏是古代的一種計時裝置,它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細(xì)沙全部在上部容器中,利用細(xì)沙全部流到下部容器所需要的時間進(jìn)行計時.如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐組成.這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等,細(xì)沙全部在上部時,其高度為圓錐高度(h)的QUOTE(細(xì)管長度忽略不計).假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h(yuǎn)的比值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.細(xì)沙全部在上部時,沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為QUOTEh,設(shè)圓錐的底面半徑為r,則細(xì)沙形成的圓錐的底面半徑為QUOTEr,所以細(xì)沙的體積為V=QUOTEπ·QUOTEr2·QUOTEh=QUOTEπr2h.細(xì)沙漏入下部后,圓錐形沙堆的底面半徑r,設(shè)高為h′,則V=QUOTEπr2·h′=QUOTEπr2h,得h′=QUOTEh.所以QUOTE=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱長為2QUOTE,則下列敘述正確的是()A.正三棱錐高為3B.正三棱錐的斜高為QUOTEC.正三棱錐的體積為QUOTED.正三棱錐的側(cè)面積為QUOTE【解析】選ABD.在正三棱錐S-ABC中,底面△ABC是邊長為3的等邊三角形,側(cè)棱長為SA=SB=SC=2QUOTE,取BC中點D,連接SD,AD,過S作SO⊥平面ABC,交AD于O,AD=QUOTE=QUOTE,AO=QUOTEAD=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以正三棱錐的高為SO=QUOTE=QUOTE=3,故A正確;正三棱錐的斜高為SD=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故B正確;正三棱錐的體積為V=QUOTES△ABC·SO=QUOTE×QUOTE×3×QUOTE×3=QUOTE,故C錯誤;正三棱錐的側(cè)面積為S=3×QUOTE×3×QUOTE=QUOTE,故D正確.6.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF=QUOTEa,以下結(jié)論正確的有()A.AC⊥BEB.點A到△BEF所在平面的距離為定值C.三棱錐A-BEF的體積是正方體ABCD-A1B1C1D1體積的QUOTED.異面直線AE,BF所成的角為定值【解析】選AB.對于A,根據(jù)題意,AC⊥BD,AC⊥DD1,又因為BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BE,故A正確;對于B,A到平面DD1B1B的距離是定值,所以點A到△BEF所在平面的距離為定值,故B正確;對于C,三棱錐A-BEF的體積為V三棱錐A-BEF=QUOTE×QUOTE×EF×BB1×AB×sin45°=QUOTE×QUOTE×QUOTEa×a×a×QUOTE=QUOTEa3,所以三棱錐A-BEF的體積是正方體ABCD-A1B1C1D1體積的QUOTE,故C錯誤;對于D,取特例:由圖可知,當(dāng)F與B1重合時,令上底面中心為O,則此時兩異面直線所成的角為∠A1AO,當(dāng)E與D1重合時,此時點F與O重合,則兩異面直線所成的角是∠OBC1,此時二角不相等,故異面直線AE,BF所成角不是定值,故錯誤.【光速解題】選項逐一驗證,對圖形進(jìn)行充分把握.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知某圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形,則該圓柱的體積為________.?【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則母線長為h,由題意,2πr=h=6,則r=QUOTE.所以該圓柱的體積為V=π×QUOTE2×6=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V,P是DD1的中點,Q是AB上的動點,則四面體P-CDQ的體積為________【解析】設(shè)長方體的長、寬、高分別為AB=a,BC=b,AA1=c,則有V=abc.由題意知PD=QUOTEc,S△CDQ=QUOTECD·AD=QUOTEab,所以VP-CDQ=QUOTES△CDQ·PD=QUOTE×QUOTEab×QUOTEc=QUOTEabc=QUOTEV.答案:QUOTEV8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,E,F分別為C1D1,BB1的中點,則△AEF在底面ABCD上投影的面積是________;四棱錐F-ABC1E的體積是________【解析】如圖,設(shè)E在底面上的射影為G,則G為DC的中點,連接AG,BG,可得△AEF在底面ABCD上投影的面積是QUOTE×2×2=2;由AB⊥平面BCC1B1,可得平面ABC1E⊥平面BCC1B1,且平面ABC1E∩平面BCC1B1=BC1,過F作FH⊥BC1,則FH⊥平面ABC1E,所以QUOTE=QUOTE×QUOTE(1+2)×2QUOTE×QUOTE=1.答案:21四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,一個漏斗的上面部分是一個長方體,下面部分是一個四棱錐,兩部分的高都是0.5m,公共面ABCD是邊長為1m的正方形,那么這個漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3【解析】由題意知V長方體ABCD-A′B′C′D′=1×1×0.5=0.5(m3),VP-ABCD=QUOTE×1×1×0.5=QUOTE(m3),所以這個漏斗的容積V=QUOTE+QUOTE=QUOTE≈0.67(m3).10.一塊邊長為12cm的正三角形薄鐵片,按如圖所示設(shè)計方案,裁剪下三個全等的四邊形(每個四邊形中有且只有一組對角為直角),然后用余下的部分加工制作成一個“無蓋”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器.(1)請將加工制作出來的這個“無蓋”的正三棱柱形容器的容積V表示為關(guān)于x的函數(shù),并標(biāo)明其定義域;(2)若加工人員為了充分利用邊角料,考慮在加工過程中,使用裁剪下的三個四邊形材料恰好拼接成這個正三棱柱形容器的“頂蓋”.請指出此時x的值(不用說明理由),并求出這個封閉的正三棱柱形容器的側(cè)面積S.【