第一基本概念與抽樣分布

第一基本概念與抽樣分布第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況.這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.某批燈泡的壽命該批燈泡壽命的全體就是總體國產(chǎn)轎車每公里的耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性.從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量，因此隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.這樣總體就可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來描述.統(tǒng)計(jì)中，總體這個(gè)概念的要旨是：

總體就是一個(gè)隨機(jī)變(向)量或其概率分布.數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的內(nèi)容：總體相應(yīng)隨機(jī)變(向)量的概率分布及數(shù)字特征.第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為“抽樣”，所抽取的部分個(gè)體稱為樣本.樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量.2.樣本從國產(chǎn)轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)樣本容量為5(1).抽樣、樣本、樣本值第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日

但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個(gè)具體的數(shù)

(X1,X2,…,Xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值.樣本是隨機(jī)變量.抽到哪5輛是隨機(jī)的容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)向量.第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日樣本具有兩重性：10.隨機(jī)性樣本(X1,X2,…,Xn)本身是隨機(jī)向量。20.相對確定性經(jīng)過一次抽樣否，樣本(X1,X2,…,Xn)又是一組確定的樣本值(x1,x2,…,xn)。第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日由于抽樣的目的是為了對總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機(jī)抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面三點(diǎn):10.隨機(jī)性：X1,X2,…,Xn每個(gè)結(jié)果等可能被抽取。20.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個(gè)與所考察的總體有相同的分布；30.獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,每個(gè)樣本值互不干擾。(2).簡單隨機(jī)樣本第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日

由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，它可以用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn表示.簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本.數(shù)學(xué)定義：

n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布(X與同分布)，則稱(X1,X2,…,Xn)來自總體X的容量為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱為樣本.第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測量身高，得到10個(gè)數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量.3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日實(shí)際上，樣本的分布與總體分布的關(guān)系如下定理1.若總體的分布函數(shù)為F(x)，則其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.二、統(tǒng)計(jì)量1.定義設(shè)(X1,X2,…,Xn)為總體X的一個(gè)樣本,f(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)不含任何有關(guān)總體分布未知參數(shù)的函數(shù)，稱為此總體的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它是完全由樣本決定的量.統(tǒng)計(jì)量實(shí)際上也是一個(gè)隨機(jī)變量，它是一個(gè)隨機(jī)向量的函數(shù)。第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日是統(tǒng)計(jì)量.不是統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量的兩重性(1).統(tǒng)計(jì)量f(X1,X2,…,Xn)本身是隨機(jī)向量,他有確定的概率分布－抽樣分布。(2).經(jīng)過一次抽樣否，f(X1,X2,…,Xn)又是由樣本值(x1,x2,…,xn)確定的一個(gè)統(tǒng)計(jì)值。第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日樣本k－階原點(diǎn)矩樣本k－階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息2.常用的統(tǒng)計(jì)量（樣本矩）(1).定義它們均是隨機(jī)變量第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日樣本均值樣本方差它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息k=1時(shí)，A1稱為樣本均值k=2時(shí)，B2稱為樣本方差更加常用簡稱為樣本方差第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日(2).矩的性質(zhì)性質(zhì)1.由大數(shù)定律可知大樣本條件下，一次抽樣后樣本均值、方差可作為總體的均值、方差的近似。一般地，抽樣分為大樣本和小樣本問題。第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日性質(zhì)2.證第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日推論證第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日3.次序統(tǒng)計(jì)量(1).定義即：X(k)的取值x(k)為(x(1),…,x(n))按從小到大的次序重新排列后第k個(gè)位置的數(shù)，第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日(2).中位數(shù)、樣本極差中位數(shù)樣本極差次序統(tǒng)計(jì)量、中位數(shù)、樣本極差都是統(tǒng)計(jì)量。極差可以反映樣本值變化的程度或離散程度。第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日例1.計(jì)算下列樣本中位數(shù)、均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差.解第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日4.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(1).定義當(dāng)給定次序統(tǒng)計(jì)量的一組值定義對稱Fn(x)為總體X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。為樣本值不超過x的頻率。第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)從樣本直觀得到描述性分布.樣本直方圖可以描述.(2).經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的性質(zhì)10.具有通常分布函數(shù)的三個(gè)性質(zhì),圖形呈跳躍上升；20.Fn(x)是一個(gè)隨機(jī)變量；第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日30.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)與總體分布函數(shù)F(x)的關(guān)系格列汶科(Glivenko)定理：第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日三、抽樣分布統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布”

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抽樣分布精確抽樣分布漸近分布(小樣本問題中使用)(大樣本問題中使用)

抽樣分布是由一個(gè)統(tǒng)計(jì)量(隨機(jī)變量函數(shù))的分布.研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日由實(shí)際問題與中心極限定理可知，討論正態(tài)總體的樣本統(tǒng)計(jì)量的分布非常必要。1.正態(tài)總體X與樣本線性函數(shù)的分布(1)總體X～第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日(2)(X1,…,Xn)來自總體X～第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日設(shè)X1,…,Xn～N(0,1)且相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量：是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.(1).定義所服從的分布為自由度為n

的n為獨(dú)立隨機(jī)正態(tài)變量的個(gè)數(shù),也稱為第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日其中Γ(x)為伽瑪(Gamma)函數(shù)具有如下性質(zhì)：可由數(shù)歸法得到第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日10.

設(shè)X1,…,Xn～則E(X)=n,D(X)=2n由定義知E(Xi)=0,D(Xi)=1=n第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日30.

2變量的可加性要用到獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式和Γ(x)的性質(zhì)。=2n第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日應(yīng)用Lindeberg中心極限定理可得：40.極限分布第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日記為T～t(n).設(shè)X～N(0,1),Y～

2(n),且相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量所服從的分布為自由度為n的t分布，也稱為t變量.3.t－分布(1).定義:(2).T變量的密度函數(shù)為：第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日10.T～t(n)為具有自由度為n的t分布的隨機(jī)變量，則T的數(shù)字特征具有如下性質(zhì)：當(dāng)n=1時(shí)，T～t(n)實(shí)際上是柯西分布，任何階矩均不存在；(3).T變量的性質(zhì)：當(dāng)n>2，E(T)=0;D(T)=n/(n-2)

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第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日事實(shí)上第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日當(dāng)n充分大時(shí)，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對稱，是偶函數(shù)，且應(yīng)用Γ函數(shù)的性質(zhì)及司特林(Stirling)公式得：30.極限分布當(dāng)n充分大時(shí)，t分布近似N

(0,1)分布.但對于較小的n，t分布與N(0,1)分布相差很大.第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日由定義可見，服從自由度為n1及n2的F－分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作F～F(n1,n2).～F(n2,n1)4.F－分布(1).定義也稱為F變量第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日EX不依賴于第一自由度n1.10.若X~F(n1,n2)，X的數(shù)學(xué)特征:若n2>2(2).若X~F(n1,n2)，X的概率密度為(3).F變量的性質(zhì)第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日20.若n1=1時(shí)，F(xiàn)～F(1,n2)=t2(n2).30.極限分布若X~F(n1,n2)，n2>4，則第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日四、抽樣分布定理當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，我們簡單地?cái)⑹鰩讉€(gè)抽樣分布定理.1.一個(gè)正態(tài)總體X～設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X～(1).定理1.(樣本均值的分布)第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日n取不同值時(shí)樣本均值的分布第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日n取不同值時(shí)的分布第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日(2).定理2(樣本方差的分布)則有X1,X2,…,Xn是來自總體X～第四十四頁，共五十三頁，2022年，8