2018年數(shù)學第四章三角函數(shù)與解三角形專題16三角恒等變換考場高招大全

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題十六三角恒等變換考點35三角函數(shù)式的化簡與求值考場高招1化簡三角函數(shù)式的規(guī)律1.解讀高招規(guī)律解讀典例指引一角一看“角"，這是最重要的一環(huán)，通過角之間的差別與聯(lián)系,把角進行合理地拆分，從而正確使用公式典例導引1（3）二名二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“弦切互化”典例導引1(2)三結構三看“結構特征"，分析結構特征，找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分"，“遇根式化被開方式為完全平方式”等典例導引1（1)溫馨提醒(1)常用技巧:弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪,“1”的代換等.(2)根式的化簡常常需要升冪去根號,在化簡過程中注意角的范圍,以確定三角函數(shù)值的正負2。典例指引1(1)(2017廣東汕頭模擬）設α,β∈,且tanα—tanβ=,則（)A。3α+β= B。2α+β=C。3α-β= D.2α—β=（2）(2017山西臨汾一中等五校三聯(lián)）若tanα-,α∈，則sin的值為.

(3)設α∈，若cos，則sin=。因為α,β∈，所以α—β=-α,即2α—β=,故選D.（2)∵tanα-，α∈，∴,∴=-?！摺处?lt;，∴<2α<π，故cos2α=—，sin2α=,∴sin=sin2α×+cos2α×.（3）∵α∈,∴α+。又cos,∴sin,則cos2=1—2sin2，sin2=2sincos.于是sin=sin=sin=sin2cos2.【答案】（1)D（2)（3）3。親臨考場1。(2016課標Ⅱ,理9)若cos，則sin2α=（）A. B。 C.— D.-【答案】D方法一:cos=2cos2—1=2×-1=-，且cos=cos=sin2α，故選D.方法二:由cos,得cosα+sinα=,即（cosα+sinα）=,兩邊平方得（cos2α+sin2α+2cosαsinα)=，整理得2sinαcosα=-，即sin2α=—,故選D。2.(2015課標Ⅰ，理2）sin20°cos10°-cos160°sin10°=(）A。- B。 C.— D。【答案】Dsin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=.考場高招2三角函數(shù)求值的類型及方法1。解讀高招類型解讀典例指引給角求值解決給角求值問題的關鍵是兩種變換:一是角的變換，注意各角之間是否具有和差關系、互補（余)關系、倍半關系，從而選擇相應公式進行轉(zhuǎn)化，把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消,從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)；二是結構變換，在熟悉各種公式的結構特點、符號特征的基礎上，結合所求式子的特點合理地進行變形典例導引2（1)給值求值給值求值的關鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)式的差異,一般可以適當變換已知式,求得另外某些函數(shù)式的值，以備應用。同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入,從而達到解題的目的典例導引2(2）2.典例指引2(1）4cos50°—tan40°=（）A. B。 C。 D.2—1(2）（2017湖北荊州一檢）若sin，則cos=(）A. B. C.- D.—(3)已知α，β∈(0,π),且tan（α—β）=，tanβ=-,則2α-β的值是()A.— B. C。- D.(2)cos=cos2=cos2=cos=-cos2=—=-.(3）因為tanα=tan[（α-β）+β]=,所以α∈,tan（2α—β）=tan[（α—β）+α]==1.又由tanβ=—〉—，知β∈，所以α-β∈,從而有2α—β∈，所以2α—β=—,故選C.【答案】（1)C(2)D(3)C3。親臨考場1。(2016四川,理11）cos2—sin2=.【答案】【解析】由三角函數(shù)二倍角公式得，cos2-sin2=cos。2。（2013四川，理13）設sin2α=-sinα，α∈,則tan2α的值是.

【答案】考點36與三角函數(shù)化簡求值相關的綜合問題考場高招3與三角恒等變換相關題型的解決策略1.解讀高招題型考查內(nèi)容解讀典例指引三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)先利用三角恒等變換將三角函數(shù)式化為y=Asin（ωx+φ）的形式,再求其周期、單調(diào)性、最值等（1）三角函數(shù)的性質(zhì)問題，先化成f(x）=Asin(ωx+φ）的形式再求解。要注意在進行此步驟之前，如果函數(shù)解析式中出現(xiàn)α及其二倍角、半角或函數(shù)值的平方，應根據(jù)變換的難易程度去化簡，要用到二倍角公式、升冪或降冪公式,把解析式統(tǒng)一化成關于同一個角的三角函數(shù)式典例導引3(3）(2)要正確理解三角函數(shù)的性質(zhì),關鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結合整體代入的基本思想即可求f（x)=Asin（ωx+φ)的單調(diào)性、最值與周期三角恒等變換與解三角形三角恒等變換與正弦定理、余弦定理相結合,綜合考查三角形中的邊與角、三角形形狀的判斷等根據(jù)所給條件解三角形時，主要有兩種途徑:(1）利用正弦定理把邊的關系化成角,因為三個角之和等于π，所以可以先根據(jù)此關系把未知量減少,再用三角恒等變換化簡求解（2)利用正弦、余弦定理把邊的關系化成角的關系再用三角恒等變換化簡求解典例導引3（2）三角恒等變換與平面向量三角恒等變換與平面向量坐標運算相結合，考查平面向量中平行、垂直等坐標運算，三角化簡求值、三角函數(shù)的性質(zhì)等這類題目首先通過平面向量平行或垂直的坐標計算進行過渡,把向量形式化為坐標運算后，接下來的運算仍然是三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形等知識的運算典例導引3（1）2。典例指引3（1）(2017四川涼山一診）設向量a=(cosx，-sinx），b=,且a=tb,t≠0,則sin2x的值等于()A.1 B。-1 (2）在△ABC中,角A,B，C所對的邊長分別為a，b,c，且滿足csinA=acosC，則sinA+sinB的最大值是(）A。1 B。 C. D。3(3）(2017河北冀州中學檢測)已知函數(shù)f(x）=sin2x+2sinxcosx+sinsin.若x=x0為f（x)的一個零點，則cos2x0=.

(2)∵csinA=acosC,∴sinCsinA=sinAcosC,即sinC=cosC，∴tanC=,C=，A=—B，∴sinA+sinB=sin+sinB=sin.∵0<B<，∴<B+，∴當B+，即B=時，sinA+sinB的最大值為,故選C.(3）∵f(x)=sin2x+2sinxcosx+sinsin=sin2x+sin2x+（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin2x—cos2x=sin2x-cos2x+=2sin，∴f(x0)=2sin=0,∴sin=—.∵0≤x0≤,-≤2x0—,∴-≤2x0-<0,∴cos，cos2x0=cos【答案】(1)C(2)C(3)3.親臨考場1。（2014課標Ⅰ，理8）設α∈，β∈，且tanα=,則(）A.3α-β= B。3α+β=C.2α-β= D.2α+β=【答案】C由已知，得,∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ。∴sinαcosβ—cosαsinβ=cosα.∴sin(α-β）=cosα,∴sin(α-β）=sin?！擀痢?，β∈,∴—<α—β〈，0〈—α〈，∴α-β=-α，∴2α—β=。故選C。2.(2017天津,理15)在△ABC中，內(nèi)角A,B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a〉b，a=5,c=6,sinB=。（1)求b和sinA的值；(2)求sin的值。3。(2015山東，理16)設f（x）=sinxcosx—cos2.（1)求f(x）的單調(diào)區(qū)間;（2)在銳角△ABC中，角A,B，C的對邊分別為a,b，c.若f=0，a=1,求△ABC面積的最大值.【解】(1）由題意知f（x）==sin2x-.由—+2kπ≤2x≤+2k