2018年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題7.4基本不等式及其應(yīng)用（練）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題7。4基本不等式及其應(yīng)用一、填空題1．下列不等式：①lgeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1，4）)）〉lgx(x>0);②sinx＋eq\f（1，sinx)≥2（x≠kπ，k∈Z）；③x2＋1≥2|x|(x∈R）；④eq\f(1,x2＋1)＜1(x∈R)．其中一定成立的是________（填序號(hào))．【答案】③2．若2x＋2y＝1,則x＋y的取值范圍是________．【答案】（－∞,－2]【解析】2eq\r（2x＋y)≤2x＋2y＝1,所以2x＋y≤eq\f(1,4），即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.3．（2017·鎮(zhèn)江期末)若a，b都是正數(shù),則eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（b，a)）)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（4a，b)))的最小值為________．【答案】9【解析】∵a，b都是正數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（b，a））)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f（4a,b）））＝5＋eq\f（b,a)＋eq\f（4a,b）≥5＋2eq\r(\f(b，a）·\f（4a，b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a>0時(shí)取等號(hào)．4．(2015·湖南卷改編）若實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f（1，a)＋eq\f（2，b）＝eq\r（ab)，則ab的最小值為________．【答案】2eq\r(2)【解析】依題意知a＞0，b＞0，則eq\f(1，a)＋eq\f（2,b)≥2eq\r(\f(2，ab））＝eq\f（2\r(2）,\r(ab）），當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1，a)＝eq\f（2，b)，即b＝2a時(shí)，“＝”成立．因?yàn)閑q\f(1，a)＋eq\f(2，b）＝eq\r(ab），所以eq\r（ab）≥eq\f（2\r（2），\r(ab）），即ab≥2eq\r（2），所以ab的最小值為2eq\r（2)。5．(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)若實(shí)數(shù)x,y滿足xy〉0，則eq\f（x,x＋y)＋eq\f（2y,x＋2y）的最大值為________．【答案】4－2eq\r（2)6．若正數(shù)x，y滿足4x2＋9y2＋3xy＝30,則xy的最大值是________．【答案】2【解析】由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·（2x）·(3y）＋3xy（當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)等號(hào)成立),∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值為2.7．(2017·蘇州調(diào)研）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m·n〉0，m＋n＝－1，則eq\f(1，m）＋eq\f(1，n)的最大值為________．【答案】－4【解析】∵m·n〉0，m＋n＝－1,∴m〈0,n<0，∴eq\f(1,m）＋eq\f(1，n)＝－（m＋n)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,m）＋\f(1，n)））＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2＋\f(n，m）＋\f（m,n)））≤－2－2eq\r(\f（n,m)·\f（m，n）)＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝－eq\f（1,2)時(shí),eq\f(1，m）＋eq\f(1，n)取得最大值－4。8．若對(duì)于任意x＞0，eq\f(x，x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,5),＋∞））【解析】eq\f（x,x2＋3x＋1）＝eq\f（1,3＋x＋\f(1,x)），因?yàn)閤＞0，所以x＋eq\f（1，x)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))，則eq\f（1,3＋x＋\f（1,x））≤eq\f（1,3＋2）＝eq\f（1，5)，即eq\f(x，x2＋3x＋1)的最大值為eq\f(1,5)，故a≥eq\f（1，5)。二、解答題9．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求eq\f(1，x）＋eq\f（1,y）的最小值．10．(2017·蘇北四市聯(lián)考）如圖，墻上有一壁畫，最高點(diǎn)A離地面4米，最低點(diǎn)B離地面2米，觀察者從距離墻x（x〉1)米，離地面高a(1≤a≤2)米的C處觀賞該壁畫，設(shè)觀賞視角∠ACB＝θ。（1)若a＝1。5,問：觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí),視角θ最大？（2）若tanθ＝eq\f(1，2），當(dāng)a變化時(shí)，求x的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝1。5時(shí)，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，則BD＝0.5，且θ＝∠ACD－∠BCD，由已知知觀察者離墻x米，且x>1，【能力提升】11．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq\f（xy,z）取得最大值時(shí),eq\f（2，x）＋eq\f(1,y）－eq\f（2,z）的最大值為________．【答案】1【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2,（＊）則eq\f（xy，z)＝eq\f（xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f（1，\f(x,y)＋\f(4y，x)－3)≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào)，把x＝2y代入（＊)式，得z＝2y2，所以eq\f（2，x）＋eq\f（1，y)－eq\f（2，z）＝eq\f（1，y)＋eq\f（1，y）－eq\f（1,y2）＝－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，y）－1））2＋1≤1。12．（2017·衡水中學(xué)調(diào)研）設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3x－y－2≤0，，x－y≥0，，x≥0,,y≥0,））若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2by(a〉0,b>0）的最大值為1，則eq\f（1，a2）＋eq\f(1，4b2）的最小值為________．【答案】813．（2017·鹽城中學(xué)月考）a是1＋2b與1－2b的等比中項(xiàng)，則eq\f(2ab,｜a|＋2｜b|）的最大值為________．【答案】eq\f（\r（2），4）【解析】依題意，a2＝1－4b2，故a2＋4b2＝1≥4ab,故ab≤eq\f(1,4），eq\f（2ab，｜a|＋2｜b｜）≤eq\f（2ab,2\r(2ab))≤eq\f（\r(2),4），當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),2）,,b＝\f（\r（2）,4）)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－\f（\r（2),2），,b＝－\f(\r（2）,4)）)時(shí)，等號(hào)成立．14．(2017·南京模擬）一位創(chuàng)業(yè)青年租用了如圖所示的一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形田地ABCD來養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)(不與正方形的頂點(diǎn)重合）,連接AE，EF，F(xiàn)A,使得∠EAF＝45°.現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長(zhǎng)區(qū),△AEF部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)，△CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū)．若蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)的投入約為2×105元/百米2,蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為105元/百米2,則這三個(gè)區(qū)域的總投入最少需要多少元？解設(shè)陰影部分面積為S，三個(gè)區(qū)域的總投入為T。則T＝2×105·S＋105·（1－S)＝1