河南省信陽(yáng)市匯龍中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

河南省信陽(yáng)市匯龍中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=log2（x+1），則f（31）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由已知推導(dǎo)出f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=log2（x+1），由此能求出f（31）．【解答】解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1．故選：C．2.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)（其中ω＞0）圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=，則ω的最小值為（）A．2 B．4 C．10 D．16參考答案：B【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得ω?+=kπ+，k∈Z，由此求得ω的最小值．【解答】解：根據(jù)函數(shù)（其中ω＞0）圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=，可得ω?+=kπ+，k∈Z，即ω=12k+4，故ω的最小值為4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．3.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為（A）π

（B）4π

（C）4π

（D）6π參考答案：B4.若P：2x＞1，Q：lgx＞0，則P是Q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)條件求出A，B，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：關(guān)于p：由2x＞1，解得：x＞0，關(guān)于q：由lgx＞0，解得：x＞1，令A(yù)={x}x＞0}，B={x|x＞1}，則B?A，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的關(guān)系的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．5.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入x的值為2，則輸出v的值為（）A．210﹣1 B．210 C．310﹣1 D．310參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量v的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，可得答案．【解答】解：輸入的x=2，v=1，k=1，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，v=2+C101，k=2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，v=22+2C101+C102，…∴v=210+29C101+…+C1010=310，故輸出的v值為：310，故選D．6.若變量x，y滿足條件，則xy的取值范圍是（

）A.[0,5] B. C. D.[0,9]參考答案：D變量x,y滿足條件的可行域如圖：xy的幾何意義是，如圖虛線矩形框的面積，顯然矩形一個(gè)頂點(diǎn)在C求出xy的最小值，頂點(diǎn)在AB線段時(shí)求出最大值，由,可得C(1,0)，所以xy的最小值為：0，xy=x(6?x)=6x?x2，當(dāng)x=3時(shí).xy取得最大值：9.則xy的取值范圍是：[0,9].故選：D.點(diǎn)睛：本題考查的是線性規(guī)劃問(wèn)題，解決線性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò);三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.7.已知集合，則滿足條件的事件的概率為

；集合的元素中含奇數(shù)個(gè)數(shù)的期望為

．參考答案：

(1).0

(2).2點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“寫(xiě)分布列”，第四步是“求期望值”.常利用排列組合、枚舉法、概率公式求概率.8.已知平面向量，，且//，則+2＝（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出下列條件，其中能夠推出的是（

）A．，，

B．，，

C．，，

D．，，參考答案：B10.已知雙曲線方程為,F1,F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn),P為漸近線上一點(diǎn)且在第一象限,且滿足,若,則雙曲線的離心率為（

）A．

B．2

C.

D．3參考答案：B設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),因?yàn)?故為直角三角形,又因?yàn)闉橹悬c(diǎn),故,因?yàn)?所以,故為正三角形,所以直線的傾斜角為,即,.故選.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)雙曲線的下焦點(diǎn)作軸的垂線，交雙曲線于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓恰好過(guò)其上焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為

．參考答案：12.對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，定義若，則的最小值為

.參考答案：-1略13.如圖的倒三角形數(shù)陣滿足：⑴第1行的個(gè)數(shù)，分別是1，3，5，…，；⑵從第二行起，各行中的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和；⑶數(shù)陣共有行．問(wèn)：當(dāng)時(shí)，第32行的第17個(gè)數(shù)是

；參考答案：14.存在區(qū)間（），使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個(gè)函數(shù)：①；②；③；④其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有____________.（把所有正確的序號(hào)都填上）參考答案：②③略15.給出下列結(jié)論：①函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；②已知l是直線，是兩個(gè)不同的平面.若；③已知表示兩條不同直線，表示平面.若；④在中，已知，在求邊c的長(zhǎng)時(shí)有兩解.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是：參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．A2①④

解析：①由，得，當(dāng)x∈時(shí)f′（x）＞0，∴f（x）在上為單調(diào)增函數(shù)，又，∴函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，①正確；②由，可得l?β或l∥β或l與β相交，②錯(cuò)誤；③m⊥α，m⊥n，可得n∥α或n?α，③錯(cuò)誤；④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，則由正弦定理得：，即，則B有一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，對(duì)應(yīng)的邊c的長(zhǎng)有兩解，命題④正確．∴正確的命題是①④．故答案為：①④．【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）=lnx﹣的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷①；由空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系判斷②；利用正弦定理結(jié)合已知分析角B的可能情況，從而得到邊c的解得情況判斷④．16.已知函數(shù)f(x)＝2x2＋m的圖象與函數(shù)g(x)＝ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

▲

．

參考答案：(－∞，－－ln2)17.已知⊙O：x2+y2=1．若直線y=kx+2上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的⊙O的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考點(diǎn)】J7：圓的切線方程．【分析】設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，根據(jù)圓心O到直線y=kx+2的距離d≤，進(jìn)行求解即可得k的范圍．【解答】解：∵圓心為O（0，0），半徑R=1．設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，故有PO=R=，∴圓心O到直線y=kx+2的距離d≤，即，即1+k2≥2，解得k≥1或k≤﹣1，故答案為：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過(guò)點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的值.參考答案：(1);.(2)或.【分析】（1）曲線參數(shù)方程消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，得，根據(jù)，得，分類討論，即可求解.【詳解】（1）曲線參數(shù)方程為為參數(shù)，消去參數(shù)，得，∴曲線的普通方程，又由曲線的極坐標(biāo)方程為，∴，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入得，整理得，即曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，，將代入，得，要使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，即，由韋達(dá)定理有，根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，，又由，可得，即或，∴當(dāng)時(shí)，有，符合題意.當(dāng)時(shí)，有，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的值為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（2）恒成立或恒成立

略20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若以函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；

參考答案：（1），

(1分)

方程的判別式

當(dāng)時(shí),

在單調(diào)遞增

(3分)

當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)根均小于等于零

在單調(diào)遞增

(5分)

當(dāng)時(shí),

方程有一個(gè)正根,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增

(7分)

綜上

當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增

(8分)（2），恒成立

當(dāng)時(shí)，取得最大值。

∴

，∴

(14分)

21.（13分）已知A、B為拋物線C：y2=4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，P為l1、l2的交點(diǎn).（Ⅰ）若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，求證：動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上，并求此直線方程；（Ⅱ）設(shè)C、D為直線l1、l2與直線x=4的交點(diǎn)，求面積的最小值.參考答案：（Ⅰ）設(shè)，（）.易知斜率存在，設(shè)為，則方程為.由得，

……………

①由直線與拋物線相切，知.于是，，方程為.同理，方程為.聯(lián)立、方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為，∵

，方程為，過(guò)拋物線的焦點(diǎn).∴

.∴

.

設(shè)（），，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴

.設(shè)，則.∴

時(shí)，；時(shí)，.在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù).∴