高三二輪復(fù)習(xí)備考立體幾何

高三二輪復(fù)習(xí)備考——立體幾何解題策略理科：選填題：2022年理科數(shù)學(xué)（Ⅰ）7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為?B A.10 B.12 C.14 D.162022年理科數(shù)學(xué)（Ⅰ）16.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5?cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm 16.4【解析】由題意，連接OD，交BC于點(diǎn)G，由題意得OD⊥BC，OG=3即OG的長度與BC的長度成正比，設(shè)OG=x，則BC=23x，三棱錐的高h(yuǎn)=DS△ABC則V=1令fx=25x4-10令f?x≥0，即x4故fx在0,2上單調(diào)遞增，在2,5則fx所以V≤3所以體積最大值為4152022年理科數(shù)學(xué)（Ⅱ）4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為?B A.90π B.63π C.422022年理科數(shù)學(xué)（Ⅱ）10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1 A.32 B.155 C.1010.C 【解析】如圖所示，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1和B1C1的中點(diǎn)，則異面直線AB1與BC1所成角為∠MNP取BC中點(diǎn)為Q，連接PQ，MQ，則△PQM為直角三角形；因?yàn)镻Q=1，MQ=1△ABC中，由余弦定理得AC所以AC=7所以MQ=7在△MQP中，MP=M在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP又異面直線所成角的范圍是0,π所以AB1與BC12022年理科數(shù)學(xué)（Ⅲ）8.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為?? A.π B.3π4 C.πB 【解析】因?yàn)閳A柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，所以該圓柱底面圓周半徑r=1所以該圓柱的體積：V=Sh=π2022年理科數(shù)學(xué)（Ⅲ）16.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30° ②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60° ③直線AB與a所成角的最小值為45° ④直線AB與a所成角的最小值為60° 其中正確的是

（填寫所有正確結(jié)論的編號）．16.②③【解析】由題意知，a，b，AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故AC=1，AB斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1,0,0，A直線a的方向單位向量a=0,1,0，直線b的方向單位向量b=1,0,0，設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)B?cosθ,sinθ,0，其中θ為B?C所以AB?在運(yùn)動過程中的向量AB?=設(shè)AB?與a所成夾角為α∈則cosα=所以α∈π4,π2設(shè)AB?與b所成夾角為β∈cosβ=當(dāng)AB?與a夾角為60°時，即α=π因?yàn)閏os2θ+sin2因?yàn)棣隆?,π2，所以β=π3，此時AB?與所以②正確，①錯誤．2022全國卷（Ⅰ）理6.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3，則它的表面積是 A.17π B.18π C.206.A 【解析】原立體圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的18后形成的幾何體，其表面積是78的球面面積和三個扇形面積之和2022全國卷（Ⅰ）理11.平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1 A.32 B.22 C.311.A 【解析】如圖所示：因?yàn)?，α∥所以，若設(shè)平面CB1D又平面ABCD∥平面A所以，B1D1∥同理可得：CD故m、n所成角的大小與B1D1、CD1而B1C=B1D1=CD12022全國（Ⅱ）理6.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為?? A.20π B.24π C.286.C 【解析】由三視圖可知，圓柱的半徑為r=2，高為h=4，上半部分圓錐的底面半徑為r1=2，高h(yuǎn)1=23，解得圓錐母線長2022全國（Ⅱ）理15.α，β是兩個平面，m，n是兩條線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 ②如果m⊥α，n∥α，那么 ③如果α∥β，m?α，那么 ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與 則上述四個命題中真命題的是

②③④2022全國（Ⅲ）理9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為?? A.18+365 B.54+185 C.909.B 【解析】把該幾何體放在長方體中如圖所示，所以該四棱柱的表面積為54+1852022全國（Ⅲ）理10.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA A.4π B.9π2 C.10.B 【解析】△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=S126+8+10因此球的最大半徑為R=32，2022年全國卷II理6.一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為?? A.18 B.17 C.12022年全國卷II理9.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為 A.36π B.64π C.1449.C 【解析】在三棱錐O-ABC中，底面OAB的面積確定，所以要使O-ABC的體積最大，則C到平面OAB的距離最大，即為球的半徑．設(shè)球半徑為R，則三棱錐O-ABC的體積Vmax解得R=6，此時球的表面積S=4π2022年全國新課標(biāo)I理12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為?? A.62 B.6 C.4212.B 【解析】原多面體就是如圖所示三棱錐M-DCG．2022年全國新課標(biāo)Ⅱ理11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M,N分別是A1B1,A1C1 A.110 B.25 C.30解答題：2022年理科數(shù)學(xué)（Ⅰ）18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且 （1）證明：平面PAB⊥（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C18.（1）因?yàn)椤螧AP=∠CDP=90所以PA⊥AB，PD⊥CD,因?yàn)锳B∥所以AB⊥PD，又因?yàn)镻A∩PD=P，且PA?平面PAD所以AB⊥平面PAD，又所以平面PAB⊥

（2）因?yàn)锳B∥CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB⊥平面所以AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD設(shè)PA=AB=2a，則AD=2取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO，OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OE，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：D-2a,0,0，B2a,2PD=-2a,0,-2設(shè)平面PBC的一個法向量為n=由n?PB=0,n?取y=1，得n=因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB，則PD為平面PAB的一個法向量，所以cosPD由圖可知，二面角A-PB-C為鈍角，所以二面角A-PB-C的余弦值為-32022年理科數(shù)學(xué)（Ⅱ）19.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，E （1）證明：直線CE（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D19.（1）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，又因?yàn)锳B=BC=12AD所以BC∥AD，所以EF∥BC，且所以BCEF是平行四邊形，可得CE∥又因?yàn)锽F?平面PAB，所以直線CE

（2）四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，E取AD的中點(diǎn)O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設(shè)AD=2，則AB=BC=1，OP=3所以∠PCO=60又因?yàn)橹本€BM與底面ABCD所成角為45°可得：BN=MN，CN=33MN可得：1+1所以BN=62，作NQ⊥AB于Q，連接MQ，所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=1二面角M-AB-D的余弦值為：1102022年理科數(shù)學(xué)（Ⅲ）19.如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）證明：平面ACD⊥（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值．19.（1）如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，OD．因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以O(shè)B⊥AC．在△ABD與△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，所以△ABD≌所以AD=CD．因?yàn)椤鰽CD是直角三角形，所以AC是斜邊，所以∠ADC=90所以DO=1所以DO所以∠BOD=90所以O(shè)B⊥OD．又DO∩AC=O，所以O(shè)B⊥平面又OB?所以平面ACD⊥

（2）設(shè)點(diǎn)D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE．則因?yàn)槠矫鍭EC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，所以13所以點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨取AB=2．則O0,0,0，A1,0,0，C-1,0,0，D0,0,1，AD=-1,0,1，AE=設(shè)平面ADE的法向量為m=x,y,z，則m?AD=0,m?AE=0,同理可得：平面ACE的法向量為n=所以cos〈因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角D-AE-C的余弦值為772022全國卷（Ⅰ）理18.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是 （1）證明平面ABEF⊥EFDC；（2）求二面角E-BC-A的余弦值．18.（1）因?yàn)椋珹BEF為正方形，所以，AF⊥EF．因?yàn)?，∠AFD=90所以，AF⊥DF．因?yàn)椋珼F∩EF=F，所以，AF⊥面又AF?面所以，平面ABEF⊥

（2）由（1）知，∠DFE=∠CEF=60因?yàn)锳B∥EF，AB?平面所以，AB∥平面EFDC因?yàn)椋鍭BCD∩所以，AB∥所以，CD∥所以，四邊形EFDC為等腰梯形．以E為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，E0,0,0，B0,2a,0，CEB=0,2a,0，BC設(shè)面BEC法向量為m=m?EB=0,m?x1=3，y1=0設(shè)面ABC法向量為n=n?BC=0,n?x2=0，y2=3設(shè)二面角E-BC-A的大小為θ．cosθ=∴二面角E-BC-A的余弦值為-22022全國（Ⅱ）理19.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于點(diǎn)H．將三角形DEF沿EF折到三角形D?EF （1）證明：D?（2）求二面角B-D?A-C19.（1）因?yàn)锳E=CF=5所以AEAD=CFCD因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，所以EF⊥BD，所以EF⊥DH，所以EF⊥D?因?yàn)锳C=6，所以AO=3；又AB=5，AO⊥OB，所以O(shè)B=4，所以O(shè)H=AE所以DH=D?H=3，所以所以D?又OH∩EF=H，所以D?

（2）建立如圖坐標(biāo)系H-xyz．B5,0,0，C1,3,0，D?AB=4,3,0，AD?=-1,3,3，AC=0,6,0，設(shè)面由n1?AB=0,n1?AD?所以n1同理可得面AD?C的法向量所以cosθ所以sinθ=2022全國（Ⅲ）理19.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N （1）證明MN∥（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．19.（1）取BP中點(diǎn)Q，連接NQ，QA．由已知Q，N分別為PB，PC中點(diǎn)，所以QN是△PCD的中位線，所以QN∥BC，且QN=12所以QN=2，AD∥BC,M是AD所以AM∥因?yàn)锳D=3，AM=2MD所以AM=2，AM=QN，所以四邊形AMNQ是平行四邊形，所以NM∥因?yàn)锳Q?平面ABP，所以MN∥

（2）取BC中點(diǎn)E，連接AE，因?yàn)锳B=AC，所以AE⊥BC，∠EAC+∠ACE=90因?yàn)锳D∥BC，所以∠DAC+∠EAC=90°，即以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．A0,0,0，M0,2,0，P0,0,4AN=52,1,2，設(shè)平面PMN的一個法向量為n=則n?MP=0,n?NP=0,-2y+4z=0,-所以n=cos?直線AN與平面PMN所成角的正弦值為852022年全國卷Ⅰ理18.如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面 （1）證明：平面AEC⊥（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值．18.（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD．連接AC，BD，交于點(diǎn)O．以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸正方向，OC為y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則z軸和BE平行．可設(shè)菱形ABCD邊長為2，DF=hh>0．則A0,-3,0，E1,0,2∵AE⊥EC，∴AE而AE=1,3∴-1+3-4h∴h=2∴F-1,0,AC=0,23,0，設(shè)面AEC法向量為m=x1,y1,z則m?AC=0,求得m=2,0,-1∵m∴面

（2）AE=1,3cosAE所以直線AE和CF所成角的余弦值為332022年全國卷II理19.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D （1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面α所成角的正弦值．19.（1）如圖，在AB上取AM=10．在DC上取DN=10．連接EM，MN，NF即可．

（2）如圖，以DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z則F0,4,8，N0,10,0，M10,10,0∴AF=-10,4,8，NF設(shè)平面α的法向量為n=則NF?n=-6y+8z=0,取z=3，得n=又AF=設(shè)直線AF與平面α所成角為θ，則sinθ=2022年全國新課標(biāo)I理19.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面 （1）證明：AC=AB（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°19.（1）連接BC1，交B1C于O因?yàn)閭?cè)面BB1所以B1且O為B1C與B又AB⊥B1C所以B1由于AO?平面故B1又B1故AC=AB

（2）因?yàn)锳C⊥AB1且O為B1C又因?yàn)锳B=BC，所以△BOA≌故OA⊥OB，從而OA,OB,OB1以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OB1,OA的方向?yàn)閤,y,z軸正方向，因?yàn)椤螩BB所以△CBB1又AB=BC，則A0,0,33，B1,0,0，A設(shè)n=x,y,z是平面An即3所以可取n=設(shè)m是平面A1B則m同理可取m=則cos所以二面角A-A1B1-2022年全國新課標(biāo)Ⅱ理18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥?平面?ABCD，E為 （1）證明：PB∥（2）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=3，求三棱錐E-ACD18.（1）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥因?yàn)镋O??平面?AEC，PB?

（2）因?yàn)镻A⊥?平面?ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向，AP為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則D設(shè)Bm,0,0C設(shè)n1=x,y,z為平面ACEn即mx+可取n又n2=1,0,0為平面cos即3解得m=3因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD的高為12三棱錐E-ACD的體積V=文科：選填題：2022年數(shù)學(xué)（Ⅰ）6.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是? A. B. C. D.2022年數(shù)學(xué)（Ⅰ）16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O16.36【解析】由題意可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r，可得13×12球O的表面積為：4π2022年文科數(shù)學(xué)（Ⅱ）6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為?B A.90π B.63π C.422022年文科數(shù)學(xué)（Ⅱ）15.長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為

．15.【解析】長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，可知長方體的對角線的長就是球的直徑，所以球的半徑為：12則球O的表面積為：4×142022年文科數(shù)學(xué)（Ⅲ）9.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為?? A.π B.3π4 C.π9.B 【解析】因?yàn)閳A柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，所以該圓柱底面圓周半徑r=1所以該圓柱的體積：V=Sh=π2022年文科數(shù)學(xué)（Ⅲ）10.在正方體ABCD—A1B1C1D1中， A.A1E⊥DC1 B.A10.C 【解析】連B1由題意得BC因?yàn)锳1B1⊥所以A1因?yàn)锳1所以BC因?yàn)锳1所以A12022全國文（Ⅰ）7.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是28π3，則它的表面積是 A.17π B.18π C.207.A 【解析】由題意知該幾何體為一個球切掉14個半球，則剩余體積為原球體體積的78，78×43πR3=283π，得R=2，表面積為球體表面積的72022全國文（Ⅰ）11.平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1 A.32 B.22 C.311.A 【解析】如圖所示：因?yàn)棣痢嗡匀粼O(shè)平面CB1D1∩平面又因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A且平面B1D1C∩所以B1D1∥同理可得：CD故m、n所成角的大小與B1D1、CD1而B1因此∠CD1B12022全國文（Ⅱ）7.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為?? A.20π B.24π C.287.C 【解析】由三視圖可知，圓柱的半徑為r=2，高為h=4，上半部分圓錐的底面半徑為r1=2，高h(yuǎn)1=23，解得圓錐母線長2022全國文（Ⅲ）10.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為?? A.18+365 B.54+185 C.9010.B 【解析】由題意得，該幾何體為一四棱柱．所以表面積為3?3+3?6+3?352022全國文（Ⅲ）11.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA A.4π B.9π2 C.11.B 【解析】△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=S126+8+10因此球的最大半徑為R=32，2022年全國卷文I6.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何?”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有?? A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛6.B 【解析】這個米堆是四分之一圓錐，由題意可求得它的底面半徑為8π所以它的體積為3209，所以米堆的米有3202022年全國卷文I11.圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16+20π，則r= A.1 B.2 C.4 D.811.B解析此組合體是過圓柱對稱軸的平面截圓柱所得的半個圓柱和一個半球組成的組合體．2022年全國卷文II6.一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為? A.18 B.17 C.12022年全國卷文II10.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為 A.36π B.64π C.14410.C 【解析】在三棱錐O-ABC中，底面OAB的面積確定，所以要使O-ABC的體積最大，則C到平面OAB的距離最大，即為球的半徑．設(shè)球半徑為R，則三棱錐O-ABC的體積Vmax解得R=6，此時球的表面積S=4π2022年全國文I8.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是? A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱2022年全國文I16.如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)．從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點(diǎn)測得∠MCA=60°．已知山高BC=100?m 16.解析在Rt△ABC中，AC=1002．△ACM中，運(yùn)用正弦定理，得在Rt△AMN中，MN=1502022年全國文Ⅱ6.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1?cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3?cm，高為6 A.1727 B.59 C.106.C 【解析】由三視圖可知，切得的幾何體是兩個圓柱的組合體，所以該組合體的體積為V1=π×22×4+π×32×2=34π2022年全國文Ⅱ7.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐 A.3 B.32 C.1 D.7.C 【解析】如圖所示：AD為三棱錐A-B1DC解答題：2022年數(shù)學(xué)（Ⅰ）18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且 （1）證明：平面PAB⊥（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱錐P-ABCD的體積為18.（1）因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，∠BAP=∠CDP=90所以AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥所以AB⊥PD，因?yàn)镻A∩PD=P，所以AB⊥平面因?yàn)锳B?所以平面PAB⊥

（2）設(shè)PA=PD=AB=DC=a，取AD中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)镻A=PD=AB=DC，∠APD=90°，所以PO⊥底面ABCD，且AD=a因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的體積為83所以VP-ABCD解得a=2，所以PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=22，PO=所以PB=PC=4+4所以該四棱錐的側(cè)面積為：S2022年文科數(shù)學(xué)（Ⅱ）18.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD （1）證明：直線BC（2）若△PCD面積為27，求四棱錐P-ABCD18.（1）四棱錐P-ABCD中，因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90所以BC∥因?yàn)锳D?平面PAD，所以直線BC

（2）設(shè)AD=2x，則AB=BC=x，CD=設(shè)O是AD的中點(diǎn)，連接PO，OC，CD的中點(diǎn)為E，連接OE，由題意得，四邊形ABCO為正方形，則CO⊥AD．因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩所以PO⊥AD，PO⊥平面因?yàn)镃O?底面所以PO⊥CO，則OE=22x，PO=△PCD面積為27，可得：1即：12×72x×2則V2022年文科數(shù)學(xué)（Ⅲ）19.如圖四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）證明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．19.（1）取AC中點(diǎn)O，連接DO，BO，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，AD=CD，所以DO⊥AC，BO⊥AC，因?yàn)镈O∩BO=O，所以AC⊥平面因?yàn)锽D?平面所以AC⊥BD．

（2）法一：連接OE，由（1）知AC⊥平面因?yàn)镺E?平面所以O(shè)E⊥AC，設(shè)AD=CD=2，則OC=OA=1所以O(shè)是線段AC垂直平分線上的點(diǎn)，所以EC=EA=CD=2由余弦定理得：cos∠CBD=即4+4-22×2×2=4+BE2-22×2×BE，解得因?yàn)锽E<BD=2，所以BE=1，所以BE=ED，因?yàn)樗拿骟wABCE與四面體ACDE的高都是點(diǎn)A到平面BCD的高h(yuǎn)，因?yàn)锽E=ED，所以S△DCE所以四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為1．2022全國文（Ⅰ）18.如圖，在已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G． （1）證明G是AB的中點(diǎn)；（2）如圖，在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明做法及理由），并求四面體PDEF的體積．18.（1）因?yàn)镈為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影，所以PD⊥平面ABC，因?yàn)锳B?平面所以PD⊥AB．又因?yàn)镋為點(diǎn)D在平面PAB內(nèi)的正投影，所以DE⊥平面PAB，AB?平面所以DE⊥AB．又因?yàn)镻D∩DE=D，所以AB⊥平面PDE，又因?yàn)镻E?平面所以AB⊥PE，即AB⊥PG．因?yàn)槿忮FP-ABC為正三棱錐，所以PA=PB，由AB⊥PG可得，G為AB中點(diǎn)．

（2）作EF⊥PA于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影．因?yàn)镻B⊥PA，且PB⊥PC，又因?yàn)镻A∩PC=P所以PB⊥平面PAC，因?yàn)樵谄矫鍼AB中，EF⊥PA，且PB⊥PA，所以EF∥所以EF⊥平面PAC，所以點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影．連接DG、CD，因?yàn)槿忮FP-ABC為正三棱錐．所以D為底面ABC的中心，且PA=PB=PC=6．又因?yàn)镚為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C、D、G共線，且DG=1因?yàn)镈E⊥平面PAB，所以DE⊥平面PEF，所以DE為三棱錐D-PEF的高．由DE⊥平面PAB及PC⊥平面PAB，可得DE∥所以DE=1因?yàn)椤鱌AB為等腰直角三角形，且G為AB的中點(diǎn)，所以PG平分∠APB，即∠APG=1且PG=1又因?yàn)镋F⊥PF，所以△PEF為等腰直角三角形，EF=PF．由DE∥PC及DE=13PC所以PE=2所以EF=PF=2，所以S△PEF所以VP-DEF2022全國文（Ⅱ）19.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D?EF （1）證明：AC⊥HD?（2）若AB=5，AC=6，AE=54，OD?=2219.（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形；所以DA=DC，即D?因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD?因?yàn)锳C⊥BD，BD∩OD?所以AC⊥平面因?yàn)镠D??所以AC⊥HD?

（2）在△ADC中，AE=5所以O(shè)H=14OD=1因?yàn)镺D?=22所以D?O⊥OH；又OH∩AC=O；OH，AC?平面所以D?O⊥平面ABCD；即D?OV2022全國文（Ⅲ）19.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3