第三理論力學

第三理論力學第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日1）直接投影法（一次投影法）1、空間單個力在直角坐標系中的分解§3-1

空間匯交力系空間匯交力系:空間力系中各分力的作用線分布情況為均匯交于同一點．若已知空間一力F與x、y、z三軸之間的夾角為，則通過一次投影即可得到F在x、y、z三根軸上的分量：第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日大小，如果只已知與一根軸的夾角，則通常的做法是：先將該力向z軸及其垂面分解（與垂面的夾角為)，而位于垂面內的分力，其平面幾何關2）間接投影法（二次投影法）方向：＋、－號；第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日系比空間幾何關系要容易尋找得多，因此只要在該垂面內找出其與該平面內的兩根軸之一的夾角（與另一根軸的夾角與此角互余），如，然后再通過二次投影，即得到所有的分量：第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日2、空間匯交力系的合力與平衡條件1）、空間匯交力系合成的幾何法和解析法合成的幾何法：力多邊形法則；合成的解析法：合力投影定理；第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日合力矢量的確定：大?。悍较颍?/p>

作用點：匯交力系的匯交點．第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日2）、空間匯交力系平衡的幾何法和解析法平衡的幾何條件：平衡的解析條件：∵∴

平衡的解析條件為：第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日即：------平衡方程

上述空間匯交力系平衡的解析條件，由于其等式左端包含的力分量有已知的主動力，也有未知的約束反力，因此關系式中存在未知量，同時等式右端又等于零，因此是標準的數(shù)學方程式，故稱為空間匯交力系的平衡方程.第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日§3-2

力對點的矩和力對軸的矩

1、力對點的矩以矢量表示---力矩矢

一個力作用在物體上，可以使物體相對一個固定點產生轉動運動，這種力對物體的作用效果取決于力對點的矩，它等于：即：力矩等于力作用點的矢徑與力矢量的矢量積.力矩對物體的作用效果取決于以下三要素：大小:；方向:按右手螺旋法則確定；作用面：、共同組成的面.第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日2）力對點之矩的解析表達式：將上述力矩的矢量表達式表示為解析形式：∵∴力矩的解析表達式為：=第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日則，力對點的矩在三個坐標軸上的投影為：2、力對軸的矩（★要求掌握）1）定義：力對軸的矩等于該力在垂直于該軸的平面內的投影對于該軸與垂面的交點的矩；即：第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日因此，力對軸的矩是一個代數(shù)量，其大小等于該力在垂直于該軸的平面上的投影大小與這個平面與該軸的交點到投影線垂直距離的乘積；方向由右手螺旋定則規(guī)定：逆時針轉向為正，順時針轉向為負.

由此可見，平面力矩只是相當于空間力對軸的矩.大小:；方向:按右手螺旋定則確定----結果：與投影平面垂直，且沿所取的軸線方向；由于指向只有兩種選擇，因此可以用表示；其中規(guī)定：當按右手定則旋轉時，拇指指向軸的箭頭正向為正，此時迎著箭頭向內看，旋轉方向為逆時針轉向；反之為負.作用面：、共同組成的面.＋、－號第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日3）力對軸之矩的解析表達式：將空間力向坐標軸分解，然后再對三根坐標軸分別計算其對軸之矩：2）力對軸的矩為零的條件：（1）：力的大小為零或作用線與軸平行；（2）：即力的作用線與軸相交.反之，只有當力的大小不為零、且力的作用線既不與軸平行也不與軸相交時，力對軸的矩不為零.第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日

3、力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系

由此可見：即：力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩.第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日例3-1已知：手柄ABCE在平面Axy內，在D處作用一個力，它在垂直于y軸的平面內，偏離鉛直線的角度為，如果，桿BC平行于x軸，桿CE平行于y軸，AB和BC的長度都等于l.求：力

對x、y、z三軸的矩.力在x、y、z軸上的投影為：解：力作用點D的坐標為：第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日由力對軸之矩的解析表達式得：第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日§3-3

空間力偶1、力偶矩以矢量表示——力偶矩矢空間力偶矩矢的三要素大小：；定義：方向：由右手螺旋法則確定；作用面：由共同組成的面.第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日2、對剛體，力偶的等效定理定理：作用在同一剛體上的兩個力偶，如果其力偶矩矢相等，則它們彼此等效.由此可得推論：

1）空間力偶可在它的作用面內任意移動，而不改變它對剛體的作用效果.因此力偶對剛體的作用與力偶在其作用面內的位置無關.

2）空間力偶可以平移到與其作用面平行的任意平面上而不改變力偶對剛體的作用效果.第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日故：對剛體，力偶矩矢是自由矢量（矢量大小和方向保持不變，但作用點可任意移動----即矢量作用線即可滑移又可平移）.

3）同時改變力與力偶臂的大小，只要力偶矩矢的大小、方向不變，其對剛體的作用效果就不會發(fā)生變化.第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日3、力偶系的合成與平衡條件

1）力偶系的合成

幾何法：==即：任意個空間分布的力偶可合成為一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和.第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日合力偶矩矢的大小和方向：---空間力偶系的平衡方程.2）力偶系的平衡解析法：∵∴第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日§3-4

空間任意力系向一點的簡化主矢和主矩2、空間任意力系向一點的簡化

1）取簡化中心：O點；

2）通過力的平移定理對平面任意力系進行簡化：

即，空間任意力系等效為兩個簡單力系：空間匯交力系和空間力偶系.

1、空間任意力系：當力系中各力的作用線分布于三維空間內，并且各力既不完全匯交于同一點、也不完全互相平行時，這種力系稱為空間任意力系.第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日主矩主矢3）通過力的多邊形法則和合力偶矩定理對上述空間匯交力系和空間力偶系進行合成：第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日2、空間任意力系的簡化、合成結果分析（1）簡化合成為一個合力偶：（2）簡化合成為一個合力：

1）

2）第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日大小方向作用線：

，合力作用線在作用線的哪一側，需根據(jù)主矢和主矩的方向確定．（3）簡化合成為一個力螺旋：

1），此時主矢和主矩不能再合成，形成一個力螺旋．

第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日2）既不平行也不垂直：此時主矩可以分解為與主矢垂直和平行的兩個分量，其中垂直分量可以與主矢進一步再合成，但平行分量不可再合成，因此最后形成一個力螺旋．第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日（4）平衡：§3-5

空間任意力系的平衡方程1、空間任意力系平衡的幾何條件：2、空間任意力系平衡的解析條件：在解析坐標系中，上述矢量的大小可以表示為：第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日因此，其平衡的解析條件為：------平衡方程共六個方程，可以求解空間任意力系中的六個未知約束力．3、空間任意力系的兩種特殊情況：1）空間平行力系的平衡方程2）空間匯交力系的平衡方程第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日例3-2已知：各尺寸如圖；求：及A、B處約束力．1、取受力體：曲軸；3、列平衡方程：解：2、分析受力、畫受力圖如圖；第二十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日+第三十頁，共三十四頁，2022年，8月28日4、求解：第三十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日§3–6

重心1、平行力系中心平行力系中心：平行力系合力的作用點．由合力矩定理:因為合力與分力均同向，所以如果設力作用線方向的單位矢量為，則上式變?yōu)?平行力系中心矢徑