2023北京豐臺初二（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

第23頁/共23頁2023北京豐臺初二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列四個圖形分別是四屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，其中不屬于中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.隨著科技不斷發(fā)展，芯片的集成度越來越高．我國企業(yè)中芯國際已經(jīng)實現(xiàn)14納米量產(chǎn)，14納米等于0.000014毫米，將0.000014用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）．A. B. C. D.3.已知三角形的兩邊長分別為和，則第三邊的長可以是（）A. B. C. D.4.下列計算正確的是（）A. B. C. D.5.等腰三角形的一個角是，它的底角的大小為（）A. B. C.或 D.或6.若a≠b，則下列分式變形正確的是（）A. B. C. D.7.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑的畫弧，分別交BA，BC于點M、N；再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D，則下列說法中不正確的是（）A.BP是∠ABC的平分線 B.AD=BD C. D.CD=BD8.我們在觀看臺球比賽時，發(fā)現(xiàn)選手們常常會用反彈的技巧擊打目標(biāo)球．在此過程中，撞擊路線與桌邊的夾角等于反射路線與桌邊的夾角，如圖1，．如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，已知球位于點處，球位于點處．現(xiàn)擊打球，使球向桌邊的整點位置（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，球洞位置不可反彈）撞擊，若球最多在臺球桌邊反彈兩次后擊中球，則滿足條件的桌邊整點有（）A1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若有意義，則的取值范圍是________．10.在平面直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于軸對稱，則點的坐標(biāo)是_________．11.分解因式：___________，12.如圖，已知，請?zhí)砑右粋€條件（不添加輔助線）_________，使，依據(jù)是_________．13.若一個正多邊形的每一個外角都是，則這個正多邊形的邊數(shù)為_____．14.如圖1，在邊長為的大正方形中，剪去一個邊長為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形．根據(jù)兩個圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可以列出的等式為_________．15.如圖，是等邊三角形的中線，，則的度數(shù)為______．16.歐拉是18世紀(jì)瑞士著名的數(shù)學(xué)家，他的貢獻(xiàn)不僅遍及高等數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，在初等數(shù)學(xué)中也留下了他的足跡．下面是關(guān)于分式的歐拉公式：（其中，，均不為零，且兩兩互不相等）．（1）當(dāng)時，常數(shù)值為_________．（2）利用歐拉公式計算：_________．三、解答題（本題共68分，第17-18題，每小題5分，第19-24題，每小題6分，第25題7分，第26題8分，第27題7分）17.計算：．18.計算：．19.計算：．20.已知：如圖，點，，在同一直線上，，，．求證：．21.先化簡，再求值，其中x=．22.解方程：．23.下面是小明同學(xué)設(shè)計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖的過程．已知：如圖1，．求作：，使，且點在射線上．作法：①如圖2，射線上任取一點；②作線段的垂直平分線，交于點；③連接．則即為所求作的角．根據(jù)上述作圖過程，回答問題：（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：是線段垂直平分線，_________（_________）（填推理的依據(jù)）．（_________）（填推理的依據(jù)）．，．24.觀察下列算式，完成問題：算式①：算式②：算式③：算式④：……（1）按照以上四個算式的規(guī)律，請寫出算式⑤：_________；（2）上述算式用文字表示為：“任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍”．若設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)分別為和（為整數(shù)），請證明上述命題成立；（3）命題“任意兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍”是否成立？若成立，請證明；若不成立，請舉出反例．25.小剛家近期準(zhǔn)備換車，看中了價格相同的兩款車，他對這兩款車的部分信息做了調(diào)查，如下表所示：燃油車新能源車油箱容積：40升電池電量：60千瓦時油價：9元/升電價：0.6元/千瓦時續(xù)航里程：千米續(xù)航里程：千米每千米行駛費用：元每千米行駛費用：_______元（續(xù)航里程指車輛在最大的能源儲備下可連續(xù)行駛的總里程）（1）表中新能源車每千米行駛費用為________元（用含的代數(shù)式表示）；（2）若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元，分別求出兩款車每千米行駛費用；（3）在（2）的條件下，若燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元．每年行駛里程至少超過_______千米時，使用新能源車的年費用更低（年費用=年行駛費用+年其它費用）．26.在中，，，射線，的夾角為，過點作于點，直線交于點，連結(jié)．（1）如圖1，射線，都在的內(nèi)部．①設(shè)，則________（用含有的式子表示）；②作點關(guān)于直線的對稱點，則線段與圖1中已有線段_______的長度相等；（2）如圖2，射線在的內(nèi)部，射線在的外部，其他條件不變，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．27.在平面中，對于點，，，若，且，則稱點是點和點的“垂等點”．在平面直角坐標(biāo)系中，（1）已知點，點，則點，，中是點和點的“垂等點”的是_______；（2）已知點，．①若在第二象限內(nèi)存在點，使得點是點和點的”垂等點”，寫出點的坐標(biāo)（用含的式子表示），并說明理由；②當(dāng)時，點，點是線段，上的動點（點，點不與點，，重合）．若點是點和點的”垂等點”，直接寫出點的縱坐標(biāo)的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；B、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的定義，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2.【答案】B【解析】【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：將0.000014用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為，故選：B．【點睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題關(guān)鍵是熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法．3.【答案】C【解析】【分析】先確定第三邊的取值范圍，后根據(jù)選項計算選擇．【詳解】設(shè)第三邊的長為x，∵角形的兩邊長分別為和，∴3cm＜x＜13cm故選C．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，熟練確定第三邊的范圍是解題的關(guān)鍵．4.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的乘法與除法，積的乘方法則對選項逐個判斷即可．【詳解】解：，A選項錯誤，不符合題意；，B選項錯誤，不符合題意；，C選項正確，符合題意；，D選項錯誤，不符合題意；故選：C【點睛】此題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的乘法與除法，積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個運算法則．5.【答案】D【解析】【分析】因為題中沒有指明該角是頂角還是底角，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．【詳解】解：①當(dāng)頂角是時，它的底角；②底角是．所以底角是或．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷解答即可．【詳解】解：∵a≠b，∴A.，此選項錯誤，不符合題意；B.，此選項錯誤，不符合題意；C.，此選項錯誤，不符合題意；D.，此選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟知分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時乘或除以同一個不為零的數(shù)或式子，分式的值不變，注意不是同時加或減去一個不為零的數(shù)．7.【答案】C【解析】【分析】A、由作法得BD是∠ABC的平分線，即可判定；B、先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，再由BP是∠ABC的平分線得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定；C，D、根據(jù)含30°的直角三角形，30°所對直角邊等于斜邊的一半，即可判定.【詳解】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A選項的結(jié)論正確；∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，所以B選項的結(jié)論正確；∵∠CBD＝∠ABC＝30°，∴BD＝2CD，所以D選項的結(jié)論正確；∴AD＝2CD，∴S△ABD＝2S△CBD，所以C選項的結(jié)論錯誤．故選C．【點睛】此題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖（作角平分線），解題關(guān)鍵在于利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計算.8.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)現(xiàn)擊打A球，使A球向桌邊的整點位置（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，球洞位置不可反彈）撞擊，若A球最多在臺球桌邊反彈兩次后擊中B球，則滿足條件的桌邊整點只有一個，即可．【詳解】解：現(xiàn)擊打A球，使A球向桌邊的整點位置（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，球洞位置不可反彈）撞擊，若A球最多在臺球桌邊反彈兩次后擊中B球，則滿足條件的桌邊整點只有一個，如圖，故選：A【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，熟練掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】【解析】【分析】分式有意義的條件是分母不等于零．根據(jù)分式意義的條件即可求出答案．【詳解】解：∵分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x-3≠0，∴x≠3故答案為：．【點睛】本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵正確理解分式有意義的條件．10.【答案】【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于軸對稱點的規(guī)律，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，解答即可．【詳解】解：∵點與點關(guān)于軸對稱，∴點的坐標(biāo)是，故答案為：．【點睛】此題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握對稱點的坐標(biāo)規(guī)律．11.【答案】【解析】【分析】直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出答案．【詳解】解：；故答案為：．【點睛】本題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用公式法是解題的關(guān)鍵．12.【答案】①.②.．【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，結(jié)合題意，求解即可．【詳解】解：由題意可得：，，再由，可得，故答案為：，（答案不唯一）【點睛】此題考查了全等三角形判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．13.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：這個正多邊形的邊數(shù)為．故答案為：12【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和問題，熟練掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．14.【答案】【解析】【分析】利用代數(shù)式分別表示圖1，圖2陰影部分面積即可解答．【詳解】解：由題可知，圖1陰影部分面積為兩個正方形的面積差，即，圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，∵兩個圖形陰影部分面積相等，∴，故答案為：．【點睛】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題關(guān)鍵是正確用代數(shù)式表示出兩個圖形中陰影部分面積．15.【答案】##15度【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形的中線，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.【答案】①.0②.6063【解析】【分析】（1）將代入歐拉公式化簡即可求解；（2）根據(jù)所求式子的特點，令，求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，故答案為0（2）令，則故答案為∶6063．【點睛】本題考查分式的化簡求值，弄清歐拉公式的特點，選取恰當(dāng)?shù)腶、b、c、r的值進(jìn)行代入是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17-18題，每小題5分，第19-24題，每小題6分，第25題7分，第26題8分，第27題7分）17.【答案】【解析】【分析】先計算絕對值、負(fù)指數(shù)和0指數(shù)，再加減即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了含負(fù)指數(shù)和0指數(shù)的實數(shù)運算，解題關(guān)鍵是明確負(fù)指數(shù)和0指數(shù)的算法，準(zhǔn)確進(jìn)行計算．18.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)平方差公式和單項式乘以多項式計算，再合并同類項，即可求解．【詳解】解：【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，靈活運用乘法公式計算是解題的關(guān)鍵．19.【答案】【解析】【分析】先計算括號內(nèi)的，再計算除法即可求解．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查分式的混合運算，熟練掌握分式運算法則是解題的關(guān)鍵．20.【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到內(nèi)錯角相等，即，再用證明≌，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，在和中，，≌，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．21.【答案】﹣5x+1．【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)多項式乘以多項式先化簡，再代入求值，即可解答．試題解析：原式===﹣5x+1當(dāng)x=時，原式=﹣5×+1=．考點：多項式乘多項式．22.【答案】【解析】【分析】先去分母將分式方程化成整式方程求解，再檢驗即可．【詳解】解：在方程兩邊同時乘以，得解得：，檢驗：把代入得：，∴是原方程有根．【點睛】本題考查解分式方程，注意解分式方程要驗根．23.【答案】（1）見解析（2），線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等；等邊對等角【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到．【小問1詳解】解：如圖，即為所求作：【小問2詳解】證明：∵是線段的垂直平分線，(線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等)，(等邊對等角），，．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．24.【答案】（1）（2）見解析（3）不成立，反例見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意寫出算式⑤，即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可；（3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為和（為整數(shù)），利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：算式⑤：；故答案為：【小問2詳解】解：設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)分別為和（為整數(shù)），，∵是4的奇數(shù)倍，∴任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍；【小問3詳解】解：不成立，設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為和（為整數(shù)），∵是偶數(shù)，∴任意兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是4的奇數(shù)倍，例如：是4的2倍，不是奇數(shù)倍．【點睛】本題考查了因式分解——平方差公式應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算，合理應(yīng)用公式是解決本題的關(guān)鍵．25.【答案】（1）（2）燃油車的每千米行駛費用為0.6元，新能源車的每千米行駛費用為0.06元（3）5000【解析】【分析】（1）根據(jù)每千米行駛費用=相應(yīng)的費用÷續(xù)航里程，即可求解；（2）結(jié)合（1）進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．【小問1詳解】解：由表格可得，新能源車的每千米行駛費用為：(元)；【小問2詳解】解：∵燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元，∴，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，∴(元)，(元)，答：燃油車的每千米行駛費用為0.6元，新能源車的每千米行駛費用為0.06元；【小問3詳解】解：設(shè)每年行駛里程為，由題意得：，解得，答：當(dāng)每年行駛里程大于時，買新能源車的年費用更低．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式．26.【答案】（1）①；②（2），證明見解析【解析】【分析】①根據(jù)，即可求解；②連接，可得，從而得到，再證得，可得，可證得，即可；（2）在射線上取一點P，是，連接，則垂直平分，可得，設(shè)，則，，可得，可證得，從而得到，即可．【小問1詳解】解：①∵，射線，的夾角為，∴，∵，∴；故答案為：②如圖，連接，∵點關(guān)于直線的對稱點，∴垂直平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：【小問2詳解】解：，證明如下：如圖，在射線上取一點P，是，連接，則垂直平分，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂