第4章常用概率分布

隨量(randomvariable)的性質(zhì)取決于它的分布規(guī)律本章介紹三個(gè)最常用的理論分布，包括離散型變量的二項(xiàng)分布(binomialdistribution)與Poisson分布項(xiàng)分52個(gè)黃球，301次、2501的概率有多大？摸到2的概率有多大？5次均摸到黃球的概率又是多大呢？你會(huì)算嗎？2/53/5。又，該實(shí)驗(yàn)為有0.40.65X5－X0.4X0.65X。5X5X次摸到黃球的概率為CX0.4X0.65XCX表示“5X 4-1用針灸治療頭痛，假定結(jié)果只有兩種可能，不是“有效”就是“無效每一例有效的概率為π。某醫(yī)生用此方療頭痛患者3例，2例有效的概AiiAii例無效。因?yàn)槊坷行У母怕氏嗤?，且各例的治療結(jié)果之間彼此獨(dú)立，3223C22(13那么，重復(fù)觀察n個(gè)對(duì)象，發(fā)生陽性結(jié)果的次數(shù)X的概率分布服從二項(xiàng)分布，記B（n，）。nP(X)CXX(1)nn

（4-C C X!(nX

（4-n!n(n1)(n2)13！=3×2×1，01例4-2 如果例4-1中=0.6，隨機(jī)治療3例，有效例數(shù)為0例、1例、2例和3例的概率各多大？1例及以上有效的概率多大？根據(jù)（4-1）式，03C00.60(10.6)(30)0.433P(X1)P(1)P(2)P(3)0.2880.4320.2161、234-1有效人數(shù)C(1－)n- 01有效人數(shù)C(1－)n- 0113233134-141，即PX1。據(jù)此，1例及以上有效的概率又可表示為P(X1)1P(0)10.064（三）二項(xiàng)分布的特二項(xiàng)分布的特征由二項(xiàng)分布的參數(shù)n在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，若某發(fā)生的概率為，則該的發(fā)生次數(shù)XXXP(X)為縱軸，X(0≤X≤n)P(X)的線段表示相應(yīng)的概從圖形可知，二項(xiàng)分布的在=n處或附近；為0.5時(shí)，圖形是對(duì)稱的；當(dāng)0.5n，0.5愈遠(yuǎn)，對(duì)稱性愈差。對(duì)同一nn→∞時(shí)，只要01（

012

0123456789101112圖4- π=0.5時(shí)，不同n值對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)分

012

012345

0123456789

0123456789圖4- π=0.3時(shí),不同n值對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)分4-14-2給出了=0.5和=0.3n例4- 求例4-2資料的均數(shù)和方差4-2n=3，有效概率=0.6，有效的人數(shù)可能為0個(gè)人，1個(gè)人，230.064，0.288，0.432和

E(X)XP(X)00.06410.28820.43230.216Var(X)EXE(X)2XE(X)2P(X(01.80)20.064(11.80)20.288...(31.80)2nX次陽性結(jié)果，那么，可以證明（見附錄X

（4-

2n(1

（4-n(1n(1

（4-

pnpp2(1

（4-（4-nn式中p是頻率p的標(biāo)準(zhǔn)差，又稱頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤，它反映陽性頻率的抽樣誤差例4-4 已知某地鉤蟲率為6.7%，如果隨機(jī)150人，記樣本鉤蟲率為p，求p的標(biāo)準(zhǔn)誤p。本例n1500.067，按（4-8）0.067(1p 0.0200.067(1

例4- 人鉤蟲的概率有多大因?yàn)槿伺c人之間鉤蟲與否可假設(shè)為相互獨(dú)立的，鉤蟲的人數(shù)X可中恰有10人鉤蟲的概率為P(X10)

X取某值時(shí)的概率往往沒有太大意義，實(shí)際上經(jīng)常需要 K P(XK)P(X) （4-X X k P(Xk)P(X) （4-X XkK次的概率(k<K)KKP(kXK)P(XX

（4-例4-6續(xù)例4-5。隨機(jī)當(dāng)?shù)?50人，其中最多有2名鉤蟲的概率有多大？至少有2名鉤蟲的概率有多大？至少有20名鉤蟲的概率有多 根據(jù)（4-9）最多有2名鉤蟲的概率 P(X2)P(X)X 8.471010根據(jù)（4-10）至少有2名鉤蟲的概率 2)

2

P(X)1[P(X1[8.47至少有20名鉤蟲的概率P(X

0)

P(X)XXX上式若直接用手工計(jì)算工作量很大，這里是用SAS程序計(jì)算的（見電腦實(shí)第二節(jié)Poisson分布一、PoissonPoisson分布也屬離散型分布，用以描述單位時(shí)間、空間、面積等的罕見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。例如,每毫升水中的大腸桿菌數(shù)、每個(gè)立升氣體中粉塵的計(jì)數(shù)、單位時(shí)間(1分鐘)內(nèi)放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)等，均可視為Poisson分布。1000個(gè)新生兒見的，可以近似認(rèn)為是服從Poisson分布的。在隨訪研究中，要估計(jì)某疾病的年患病率，則以人年(-year)為觀察單位，例如,觀察每10000人年中，某疾病的發(fā)生例數(shù)。這些均可認(rèn)為是近似服從Poisson分布的。PoissonP()。其中，為Poisson二、PoissonPoisson分布的特征由其參數(shù)唯一確定。PoissonP(X)X

（4-式中，為Poisson分布的總體均數(shù)，X為觀察單位內(nèi)某稀有的發(fā)生次數(shù)；e為自然對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)，約等于2.71828。例如，某地20共出生肢短畸形0.5(觀察單位為年)Poisson分布的概率函數(shù)式來估計(jì)該地每年出生此0,1,2,…P(X)（4-2表4- X012345P(X以發(fā)生數(shù)X為橫軸以對(duì)應(yīng)于X的概率P(X)為縱軸對(duì)所有可能的X（X≥0）P(X)的線段，得Poisson分布圖。

0246810

0246810

02

6810

4

810 圖4- 取不同值時(shí)的Poisson分布4-3可以看到Poisson分布是非對(duì)稱的，總體參數(shù)值越小，分布越偏；隨著增大，分布趨向?qū)ΨQ。PoissonPoisson分布的總體均數(shù)與總體方差相等，均為Poisson分布的觀察結(jié)果有可加性。若從總體均數(shù)為1的Poisson分布總體中隨機(jī)抽出一份樣本其中稀有的發(fā)生次數(shù)為X1，再獨(dú)立地從總體均數(shù)為2的Poisson分布總體中隨機(jī)抽出另一份樣本其中稀有 的發(fā)生次數(shù)為X2，則它們的合計(jì)發(fā)生數(shù)TX1X2也服從Poisson分布，總體均數(shù)為12。Poisson分布的情形。例如，從同一水源獨(dú)立地51mlXi(位是1ml)，i1,5，均服從Poisson分布，分別記為P(i，i1,,5，那么把5份水樣混合，其合計(jì)菌落數(shù)Xi也服從Poisson分布(5ml)，且總體參數(shù)為125P(125。Poisosn分布的可加性，將小的觀察單位合并，來增大發(fā)X，以便分析。三、Poisson例4- 以往實(shí)驗(yàn)顯示某地100cm2的培養(yǎng)皿中平均菌落數(shù)為6個(gè)。今100cm23（100cm2P(X3)

6

例4- 2腦血管疾病的患病率為=150/10萬，人數(shù)n=1000，則患數(shù)X是n=、患病率為/10150/10萬較小，n=1000較大，將1000名居民看作是一個(gè)觀察單位，因此，平均1000人中有1000×150/10從Poisson分布，且12，

15P(X2)

即該地1000名居民中有2人患腦血管疾病的概率為25.1％與二項(xiàng)分布問題相同，Poisson分布也經(jīng)常需要計(jì)算累積概率。如果稀有事件發(fā)生次數(shù)的總體均數(shù)為λ，那么該稀有發(fā)生次數(shù)至多為k次的概率為 P(Xk)P(X) X

k

X

XP(Xk)1P(Xk

（4-例4-9 續(xù)例4-7試估計(jì)每一個(gè)培養(yǎng)皿中菌落數(shù)小于3個(gè)的概率大于個(gè)2該培養(yǎng)皿菌落數(shù)小于2P(X3)P(X)X1P(X1)1P(X0)例4- 續(xù)例4-8。試估計(jì)1000名居民中至多有2人患腦血管疾病的概3222P(X2)P(X3P(X3)1P(X2)Poisson分布與二項(xiàng)分布的一個(gè)前提條件是發(fā)生的概率不變，每個(gè)事件發(fā)生與否是相互獨(dú)立的。若n次觀察互不獨(dú)立、發(fā)生概率不等，則不能看作加，因此病例數(shù)的分布不能看作是二項(xiàng)分布或Poisson分布；又如，污染的牛奶中細(xì)菌成集落存在，單位容量牛奶中細(xì)菌數(shù)不能認(rèn)為服從Poisson分布；再如，不能認(rèn)為服從Poisson分布。分一 正態(tài)分布的概如，測量的誤差、許多生化指標(biāo)的測量值等等都可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布。4-34-4兩個(gè)頻率分布表。4-3某地正常成人心率（次/分）1515975100—2

4-4（體模）（gc3）組 頻 頻率22741表4-3與表4-4的共同點(diǎn)是中間頻數(shù)最多，兩邊頻數(shù)漸少且近似對(duì)稱。為直4-4（4-411。圖4- 正態(tài)曲線(normalcurve)是一條位于兩側(cè)逐漸下降并完全對(duì)稱曲線兩端不與橫軸相交的鐘型曲線。該曲線的函數(shù)表達(dá)式f(x)稱為正態(tài)分

f(x)

(x e2

（4-其中為總體均數(shù)，正態(tài)概率密度曲線的位置與形狀具有如下特點(diǎn)xx=μx1恒定時(shí)，越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線越“矮胖”；越小,數(shù)據(jù)越集中，曲線越“瘦高”4-5。 標(biāo)準(zhǔn)差相同、均數(shù)不同（123）均數(shù)相同、標(biāo)準(zhǔn)差不同（123）的三條正態(tài)曲線圖4- 正態(tài)曲線位置、形狀與、關(guān)系示意N(,2、標(biāo)準(zhǔn)差為4-6正態(tài)分布曲線下的面積分圖4-6顯示,任何正態(tài)N(,2),其概率密度曲線下的面積具有一個(gè)共如果用其標(biāo)準(zhǔn)差作為衡量單位則以均數(shù)為中心正負(fù)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差+)區(qū)間內(nèi)，正態(tài)分布曲線下的面積為68.27%；正負(fù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，即(-+2)區(qū)間內(nèi)，面積為95.44%；正負(fù)3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，即(-3,+3)區(qū)間內(nèi)，正態(tài)分布的面積為99.74%，不論均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是多大。這是由正態(tài)分布的性質(zhì)所決Z變換與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分對(duì)任意一個(gè)服從正態(tài)分布N(,2)的隨量可作如下的標(biāo)準(zhǔn)化變換Z變換

ZX

（4-經(jīng)此變換得到的變量Z的密度函數(shù)f(z)

ze

，z

（4-變換后的Z值仍然服從正態(tài)分布，且其總體均數(shù)為0、總體標(biāo)準(zhǔn)差為1。我們稱此正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardnormaldistribution)N(0,1表示。統(tǒng)計(jì)家編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積分布表（附表1因?yàn)檎龖B(tài)分布兩邊對(duì)稱，所以只給出Z取負(fù)值的情況。表內(nèi)所列數(shù)據(jù)表示Z取不同值時(shí)Z值左側(cè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積，記作(z)。(z)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。可見，任一正分布曲線下的面積分布規(guī)律可通過式(5-16)積對(duì)應(yīng)。圖4- 例4- 已知X服從均數(shù)為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，試估計(jì)X取值在區(qū)間1.96內(nèi)的概率；(2)X取值在區(qū)間2.58內(nèi)的概率。XZ值。由（4-z(1.96) z(1.96) 1，(1.96)0.025（1.96，）0.025（－1.961.96X1.960.95。 圖4- 同理,我們可以求出X取值在區(qū)間2.58上的概率為0.99由于對(duì)正態(tài)分例4-11 某地1986年120名8歲男孩身高均數(shù)為X=123.02cm，標(biāo)準(zhǔn)差S=4.79cm，試估計(jì)：(1)8130cm8歲男孩總數(shù)的百分比；(2)120cm～128cm8歲男孩總數(shù)的百分比；(3)80%據(jù)經(jīng)驗(yàn)同男孩身高的分布可用一個(gè)正態(tài)分布N(,2)描述不妨假設(shè)該正態(tài)總體的123.02，4.79。16，z130123.02- 圖4- 其次求該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比，4-9正態(tài)曲線下Z1.46的右側(cè)面積。因?yàn)榍€下兩側(cè)面積對(duì)稱，故可1(1.46)0.07218130cm7.21%為計(jì)算身高在120cm～128cm者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比：先分別120128Z值:120Z128Z

z120 z128

1，得(0.63)0.2643(1.04)1(1.04)10.1492正態(tài)曲線下區(qū)間（－0.63，1.04）120cm～128cm858.65%80%81，標(biāo)準(zhǔn)正0.10Z值為－1.2880%8歲男孩身高集中在X1.28S區(qū)間內(nèi)，即大116.9cm與129.2cm之間可以證明，服從正態(tài)分布的隨量X1、X2的和（X1＋X2）與差（X1－X2）X1X2獨(dú)立與否,X1、X2E（X1±X2）=X1X2獨(dú)立時(shí)，X1、X2請(qǐng)讀者想，為什么第一個(gè)等式右端是加減號(hào),而第二個(gè)等式右端卻是加號(hào)

醫(yī)學(xué)參考值范圍(rfrnerng)是指特定的正常（標(biāo)有影響的疾病和有關(guān)因素的特定人群物含量等數(shù)據(jù)中大多數(shù)的取值所在的范圍人們習(xí)慣用該人群95%的項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)的取值范圍作為該指標(biāo)的醫(yī)學(xué)參考值范圍。或環(huán)保效果例如，2005年德國環(huán)保署(GerFEA)考慮到環(huán)保工作取得的成績，將德國6~12歲兒童血鉛、血和尿的參考值從1996年的“<60μg/l<50μg/l”和“<0.7μg/l百分位數(shù)法雙側(cè)95%醫(yī)學(xué)參考值范圍是(P25P975正態(tài)分布 若X服從正態(tài)分布，醫(yī)學(xué)參考值范圍還可以依正態(tài)X在區(qū)間1.960.95X

（4-例4- 某地120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示，其分布近似X117.4L95%

10.2（g/L，95%

X1.96S117.41.9610.2137.9(g/

X1.96S117.41.9610.297.41(g/正態(tài)分布法只限于正態(tài)分布資料、近似正態(tài)分布資料或以一定的方法可以求其對(duì)數(shù)值的參考值范圍，再求數(shù)即為原變量的參考值范圍7232條位于處。如果總體均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，也可用樣本估計(jì)值代替，這時(shí)，7XXSX2SX3S處。883個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（位于控制限以外961432個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（位于警戒限以541151814-13模”進(jìn)量，將每天的“體?！睖y定值點(diǎn)在控制圖上，一旦出現(xiàn)以上8種情形之4-10顯示1234567891011 7911131517192123252729圖 圖17192123252729 171921232527圖 圖圖4- 4-14-2我們看到二項(xiàng)分布圖取決于n，當(dāng)0.5時(shí)，圖形是對(duì)稱的；0.5愈遠(yuǎn)，對(duì)稱性愈差，但隨著n的增大，分布趨于對(duì)稱。理論上可以證明,πnπ01nπXk為中心左右各伸展0.5（見圖4-1PXkPXkP(k1Xk2k

k-0.5k

k-0.5k （b）（c）二項(xiàng)分布累積概率的正態(tài)近似計(jì)算為P(P(Xk)Cpiinnii

k0.5n n(1k0.5

（4-P(Xk)Cnp

1 n(1

（4-

k0.5

k0.5

X

)Cnp

( )(

（4-式中Φ例4- 現(xiàn)在用正態(tài)近似方法解決例4-6留下的問題。某地鉤蟲率13%，如果隨機(jī)當(dāng)?shù)?50人，至少有20人鉤蟲的概率有多大本例n150，0.13，因?yàn)閚19.5和n(1)130.5,5，故可nn(1n(1由（4-20）得

P(X20)1(200.519.5)1(0)0.50即至少有20人鉤蟲的概率約為50%。與例4.6所得結(jié)果接近Poisson4-3Poisson分布當(dāng)總體均數(shù)5愈小分布愈偏，隨著增大，分布趨向?qū)ΨQ。理論上可以證明,隨著，Poisson分布也漸近正態(tài)分布。一般，當(dāng)20Poisson分布資料可按正態(tài)分布處理。Poisson分布也是離散型變量分布，為了借用連續(xù)型變量的分布24ki

k0.5P(Xk)

（4-P(Xk)1P(Xk)1(k0.5

（4-k2i

k0.5

k0.5P(k1Xk2)

( )(

（4-例4-15 實(shí)驗(yàn)顯示某放射性物質(zhì)半小時(shí)內(nèi)發(fā)出的脈沖數(shù)服從Poisson分布，平均為360個(gè)，試估計(jì)該放射性物質(zhì)半小時(shí)內(nèi)發(fā)出的脈沖數(shù)大于400個(gè)的概率。如果直接用Poisson分布概率計(jì)算，相當(dāng)麻煩，但用正態(tài)近似方法處理就會(huì)P(X400)1P(X400)1(4000.5360)1(2.135)5000.0164文結(jié)果報(bào)、Thereferencevalueofconcentrationsofaspecificelementinabodyfluidisdefinedasthe95thpercentileofthedistributionofareferencepopulationsincethedistributionsofconcentrationsareskewed.ReferencevaluesforenvironmentalpollutantsintheGermanpopulationareestablishedcontinuouslybytheHumanBiomonitoringCommissionoftheGermanFederalEnvironmentalAgency.ThereferencevaluesareusuallyderivedfromresultsoftheGermanEnvironmentalSurveys(GerES).Thecommissionputoutthereferencevaluesforchildrenaged6–12yearsin1996.Thereferencevaluesforleadinbloodis60g/l,formercuryinwhole1.5g/landformercuryinurineIn2005,thecommissionderivedreferencevaluesforchildrenaged6~12yearsfromthe EnvironmentalSurveys(GerESIV).Thereferencevaluesforcadmiuminwholeblood(0.5g/l)andforcadmiuminurine(0.5、Thereferencevalueofconcentrationsofaspecificelementinabodyfluidisdefinedasthe95thpercentileofthedistributionofareferencepopulationsincethedistributionsofconcentrationsareskewed.ReferencevaluesforenvironmentalpollutantsintheGermanpopulationareestablishedcontinuouslybytheHumanBiomonitoringCommissionoftheGermanFederalEnvironmentalAgency.ThereferencevaluesareusuallyderivedfromresultsoftheGermanEnvironmentalSurveys(GerES).Thecommissionputoutthereferencevaluesforchildrenaged6–12yearsin1996.Thereferencevaluesforleadinbloodis60g/l,formercuryinwhole1.5g/landformercuryinurineIn2005,thecommissionderivedreferencevaluesforchildrenaged6~12yearsfromthe EnvironmentalSurveys(GerESIV).Thereferencevaluesforcadmiuminwholeblood(0.5g/l)andforcadmiuminurine(0.5g/l)werefirstconfirmed.Thefollowingreferencevalueswerelowered:thereferencevaluesforleadinbloodfrom60to50g/l,forinwholebloodfrom1.5to1.0g/landformercuryinurinefrom1.4to0.7g/l.1996年，該組織制定了德國6~1260μg/l，血濃度為1.5μg/l，尿濃2005年，根據(jù)德國第4次環(huán)境(GrEV)布了德國~12歲兒童的參考值，并首次公布了血鎘和尿鎘的參考值均為0.5gl。對(duì)下列參考值進(jìn)行了調(diào)60μgμ血和尿濃度分別從1.μgl下降到1.0μg1.4μg0.μg。德國環(huán)保署(GerFEA)的人群生來自德國環(huán)境(GerES)結(jié)果。第五節(jié)案例染的人數(shù)為17人，有人說,該地2001年總體上率與2000年持平。如果是這樣的話，該地2001年的人數(shù)為17人這P(X17)

7

第六 電腦實(shí)程序4- 行 程 行 程 PROC PROC mean=123.02; p41=1- - PROC PROC 程序01-05行完成例4-6計(jì)算，p11為至多2名的概率，p12為至少2率。13-18行完成例4-8和例4-10計(jì)算，p31為2人患病的概率，p32為至多2實(shí)驗(yàn)4-2正態(tài)近似法的計(jì)算4-14、4-15的計(jì)算。(程序文件：D04-4-程序程序mean=19.5;mean=360;x2=400z1=(x1-0.5-p1=1-p2=1-KEEPx1p1KEEPx2p2PROCPROC實(shí)驗(yàn)4-3正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)與的意義和作用(1)，數(shù)不同的四條正態(tài)曲線的意義和作用；(2)繪制均數(shù)相同、方差不同的條正態(tài)曲線，的意義和作用。(程序文件：D04-03.SAS)，程序4- 正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)與的意義和作程序程序m1=-1;m2=1;std1=0.5; ;pi ;DOu=-4TO5BYDOu=-3TO3BYPROCPROCPLOT(f0f1f2f3)*u/OVERLAY PLOT(f0f1f2 程序第01-13行繪制標(biāo)準(zhǔn)差均為1，均數(shù)分別為0、－1、1、2的四條正態(tài)曲02-03行設(shè)置參數(shù)，04-11行根據(jù)正態(tài)分布的密度函數(shù)分別計(jì)算正態(tài)曲線的縱