2022屆福建省泉州高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知a>0,b>0,a+b=1,若a=a+—?=b+—,則a+/?的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

2.某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）

3.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.

現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

4.已知是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式/(x-3)勺日-/)的解集為()

ex+a

A.(-2,6)B.(?6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

5.已知集合A={-2,—1,0,1,2},B={x\x2-x+2>0},則ACI8=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

x-y+l>Q

6.如果實(shí)數(shù)工、丁滿足條件{y+120,那么2x-y的最大值為()

x+y+140

A.2B.1C.-2D.-3

7.設(shè)函數(shù)〃x）=ln（l+W）-在上，則使得成立的x的取值范圍是（）.

A.(h+°°)B.(-oo,-l)U(l,+oo)

C.(Tl)D.(-1,O)U(O,1)

—,X<1

8.已知函數(shù)f(x)=<alnx,若曲線y=/（x）上始終存在兩點(diǎn)A,B,使得。4_LQB,且AB的中點(diǎn)在N

,x>1

x(x+l)

軸上，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

1

A.(0,+oo)C.~,+<x>D.[e,+8)

9.圓錐底面半徑為逐，高為2,SA是一條母線，P點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則P點(diǎn)到SA所在直線的距離的最大值是

()

4石

34

亍C.D.

10.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為2,高為血，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表

面積為（）

A.4#）兀B.4萬C.4五兀D.3萬

11.在一個數(shù)列中，如果V〃wN*，都有4。,+必“+2=女（人為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，％叫做這個數(shù)列

的公積.已知數(shù)列｛4｝是等積數(shù)列，且q=l,?,=2,公積為8,則4+%+…+%20=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

12.若［也+工］的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）

Ixj

A.85B.84C.57D.56

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知復(fù)數(shù)z=（/-2）2（i為虛數(shù)單位），則z的共軌復(fù)數(shù)是,回=.

14.已知。為矩形ABC。的對角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從AB,。,。,。這5個點(diǎn)中任選3個點(diǎn)，則這3個點(diǎn)不共線的概率為

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在直線y=2x上，過點(diǎn)P作圓C：（x—4『+y2=8的一條切線，切點(diǎn)為T.若

PT=PO,則PC的長是.

16.兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點(diǎn)處的切線方向相同.如圖所示，一列圓。,,：/+6一%)2(呢>0,%>o,

2

〃=1,2…)逐個外切，且均與曲線yr相切，若力=1,貝!］。尸,rn=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛見｝的前4項(xiàng)和為S4=14,且%，生,生成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列」一的前〃項(xiàng)和7；.

［anan+iJ

18.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1:4,且成

績分布在［0,60］的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取

400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中凡瓦c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

(1)求a,b,c的值；

(2)填寫下面2x2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?

文科生理科生合計(jì)

獲獎6

不獲獎

合計(jì)400

（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：犬=——幽也f——，其中〃=。+匕+。+。.

（a+Z?）（c+d）（a+c）（Z?+d）

2

P（K..k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）已知向量a=（2sinx,-G）,B=（cosx,2cos2x-l）,f（x）=a-h.

（1）求的最小正周期；

（2）若AABC的內(nèi)角ARC的對邊分別為a,dc,且a=6/=1,/（A）=G,求A4BC的面積.

20.（12分）［選修45：不等式選講］

已知a,b,c,d都是正實(shí)數(shù)，且a+Z?+c+d=l,求證：工+2二+工+工…?！.

1+。1+。1+c1+d5

22

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓二+與=l（a>b〉0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,焦距為2,直

ab"

線/與橢圓交于C,。兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線/過橢圓的右焦點(diǎn)/且垂直于x軸時，四邊形4C8D的

面積為6.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線AC,8。的斜率分別為勺&.

①若％2=3勺，求證：直線/過定點(diǎn)；

②若直線/過橢圓的右焦點(diǎn)尸，試判斷3是否為定值，并說明理由.

22.（10分）已知函數(shù)/（幻=夕/_履（其中e為自然對數(shù)的底，A為常數(shù)）有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)A的取值范圍；

（2）證明：爪x）的極大值不小于1.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)題意，將“、b代入a+1，利用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】

Va>0,Z?0,a+b=\,

a1R1,U,1<

a+/3=a+-+b+-=\+—>1+------r=5

二abab（a+,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-時取“=”號.

2

答案：C

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”

的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是

最后一定要驗(yàn)證等號能否成立，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半，所以,

半圓柱的體積為K='x22x乃xl=2%,上部半圓錐的體積為匕=LX2X2乃X2?=9,所以該幾何體的體積為

2233

10zr

V=X+%=2萬+號=深，故應(yīng)選C.

3.C

【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當(dāng)作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分

分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得選項(xiàng).

【詳解】

把甲、乙兩名交警看作一個整體，5個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有C：

種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有A；種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有C1&=36種方案。

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查排列與組合，常常運(yùn)用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.

4.C

【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得“=1,進(jìn)而可知/(x)在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得x-3<9-V,解一元二次不等式即可得解.

【詳解】

因?yàn)?O')=是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(i)+/(-i)=o,

1-1

e-1x-10

即——+-f—=0,解得4=1,即/P―-=1一~—,

vx

e+ai_+a'e，+le+\

e

易知/(x)在R上為增函數(shù).

又〃工一3)</(9-公)，所以*_3<9—/，解得-4<x<3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

5.D

【解析】

先求出集合5,再與集合4求交集即可.

【詳解】

17

由已知，X2-X+2=(X-2)2+4>0,故3=尺，所以AC8={-2,—1,0,1,2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.

6.B

【解析】

解：當(dāng)直線2x—y=z過點(diǎn)A(O,—1)時，z最大，故選B

7.B

【解析】

由奇偶性定義可判斷出/(x)為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知/(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，由此知/(x)在(7,0］上

單調(diào)遞減，從而將所求不等式化為國〉1,解絕對值不等式求得結(jié)果.

【詳解】

由題意知：“X)定義域?yàn)镽,

???/(r)Tn(l+卜止］+(\=ln(l+W)一±=/(x),.?./(力為偶函數(shù)，

當(dāng)x?0時，/(x)=ln(l+x)----二，

y=In(1+x)在［0,+8)上單調(diào)遞增,y=廿7在［0,+8)上單調(diào)遞減，

???/(x)在［0,上單調(diào)遞增，則/(x)在(7,0］上單調(diào)遞減，

由/(x)>/(l)得：國>1,解得：或x>l,

\x的取值范圍為(f,-l)U(l,+s).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題；奇偶性的作用是能夠確定對稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的

作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而化簡不等式.

8.D

【解析】

根據(jù)中點(diǎn)在y軸上，設(shè)出A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)A(T/+『)，B(t,f(ty),(f>0).對/分成用/=1")1三類，利用

QA,OB則麗?麗=°,列方程’化簡后求得而'利用導(dǎo)數(shù)求得方的值域'由此求得，，的取值范圍.

【詳解】

根據(jù)條件可知A,3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè)A（T—+『），8Q"⑺），（/>0）,若/<1,則/⑺=一/+產(chǎn)，

由Q4_LO8,所以物.礪=0,即-產(chǎn)+（/+/乂_/+產(chǎn)）=0,方程無解;若[=],顯然不滿足OALOB；若/>1,

.”、a\nt.____2/32\aln,八tt\InZ-lt

則/?）=二一由QA-OB=0，即一廠+?+廠）7―-=0?即。=:;—，因t為■;—=;一所以函數(shù)一

?/+1）、々"+1）\ntUnrJ（hu）~In/

在（0,e）上遞減，在（e,+oo）上遞增，故在/=e處取得極小值也即是最小值上=e，所以函數(shù)>=士在（1+A）上的

值域?yàn)閇e,+°°）,故ae[e,+8）.故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最

小值，考查分析與運(yùn)算能力，屬于較難的題目.

9.C

【解析】

分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解P的位置，推出結(jié)果即可.

詳解：圓錐底面半徑為不，高為2,SA是一條母線，P點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，尸在底面的射影為。；54=諄4=3,

OA>SO,過的軸截面如圖：

ZASQ>90°,過。作QTLSA于T，則QT<QS,在底面圓周，選擇P,使得NPSA=90°,則P到SA的距離

的最大值為3,故選：C

點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題.

10.B

【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長為2,高為行，得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.

【詳解】

如圖所示:

因?yàn)檎睦忮F底邊邊長為2,高為0,

所以5=&,SB=2,

0至USB的距離為d=S0X0B=1,

SB

同理。到SC眼，義的距離為1,

所以0為球的球心，

所以球的半徑為：1,

所以球的表面積為4萬.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.

11.B

【解析】

計(jì)算出％的值，推導(dǎo)出a.+3=%（〃wN*）,再由2020=3x673+1,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列｛4,｝的前2020項(xiàng)

和.

【詳解】

8,

由題意可知。“凡+1%+2=8,則對任意的〃eN*，?！?0，則44%=8,?,?%=7丁=4,

由4%+14+2=8,得（+4+2%+3=8,anan+lan+2=an+ian+2an+3,an+3=an>

,.,2020=3x673+1,因此，q+…+q020=673（q+4+4）+q=673x7+1=4712.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等

題.

12.A

【解析】

先求〃，再確定展開式中的有理項(xiàng)，最后求系數(shù)之和.

【詳解】

解：(五的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256

IX)

故2"=256,〃=8

8-r8-4r

r

Tr+i=C；x~x-=C；x~

要求展開式中的有理項(xiàng)，則廠=2,5,8

則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為：C；+C；+C；=85

故選：A

【點(diǎn)睛】

考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3+4/5

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，從而得到復(fù)數(shù)二的共趣復(fù)數(shù)和Z的模.

【詳解】

22

?..Z=(Z-2)=Z-4/+4=3-4Z,則復(fù)數(shù)二的共軌復(fù)數(shù)為3+4i,且忖=后二彳彳=5.

故答案為：3+4/；5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

4

14.-

5

【解析】

基本事件總數(shù)〃=C；=1O,這3個點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和300,由此能求出這3個點(diǎn)不共線的概率.

【詳解】

解：。為矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，

現(xiàn)從A,B,C,D,。這5個點(diǎn)中任選3個點(diǎn)，

基本事件總數(shù)〃=C；=10,

這3個點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和BOD,

這3個點(diǎn)不共線的概率為P=l-^=p

4

故答案為：j.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查對立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.VB

【解析】

作出圖像，設(shè)點(diǎn)p(p,2p),根據(jù)已知可得p02,PT?=PC?-TC?，且PT=PO,可解出乙計(jì)算即得.

【詳解】

如圖，設(shè)P(p,2p),圓心坐標(biāo)為(4,0),可得PC2=(p_4)，4p2=5p2—8p+16,

PT2=PC2-TC2=5p2-Sp+S,PO2=5p2,

?;PT=PO,:.5p2-Sp+S=5p2,解得〃=1,PC2=5p2-8p+16=13,

即PC的長是Jii.

故答案為：岳

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及求平面兩點(diǎn)間的距離，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.

5

16.-?

4

【解析】

第一空：將圓￡:x2+（y—q）2=i與y=》2聯(lián)立，利用A=0計(jì)算即可；

第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系4=+4,再將C“：x2+（y—q）2=￡與y=X2聯(lián)立，得到

an=/+；,與4=an_x+*+;;結(jié)合可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得r?.

【詳解】

當(dāng)八=1時，圓￡：兀2+（丁一4）2=1,

與y=%2聯(lián)立消去〉得y2_（2q_l）y+q2_]=o,

則△=（2q_l）2_4（a；_l）=0,解得q=

由圖可知當(dāng)“22時，=/T+/T+/①，

將C“：V+（y一可『=與y=/聯(lián)立消去》得

y2_（24_l）y+a,j2=o,

則A=（2凡—I）’—4（aj—目=0,

整理得a“=I?+；,代入①得Y+J=*：+；++4，

整理得，;，一*=1,

則rn=6+（〃T）=〃.

故答案為：—；〃.

4

【點(diǎn)睛】

本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合

性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

,十n

17.（1）%=〃+1；⑵

【解析】

試題分析：（1）設(shè)公差為4,列出關(guān)于4，”的方程組，求解4，"的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得

111

-----=-7——不，即可利用裂項(xiàng)相消求解數(shù)列的和.

4%〃+1〃+2

4。］+6J=14

試題解析：(1)設(shè)公差為d.由已知得｛,,、2/，「解得d=l或4=0(舍去)，所以4=2,故/=〃+1.

(4+2d)=4(4+6d)

1_111

⑵'4%("+1)(”+2)

〃+1〃+2

T111111n

*i----------+------------k-4----------------------=----------------

n2334…n+\n+22(〃+2)

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和.

18.(1)a=0.005,Z?=0.01,。=0.02.(2)填表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得

優(yōu)秀作文，，與“學(xué)生的文理科，，有關(guān)(3)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)頻率分步直方圖和。，4c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解;

(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫2x2列聯(lián)表，再用K?的計(jì)算公式運(yùn)算即可;

獲獎的概率為隨機(jī)變量》~8(2,右］

(3),再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖可知，10x(a+b+c)=l-10x(0.018+0.022+0.025)=0.35,

因?yàn)閍,4c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以。+2a+4a=0.035,解得a=0.005,

所以6=2a=0.01,c=4?=0.02.

故a=0.005,=0.01,c—0.02.

(2)獲獎的人數(shù)為0.005x10x400=20人，

因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為1：4,所以400人中文科生的數(shù)量為400x1=80,理科生的數(shù)量為

400-80=320.

由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有20-6=14人，不獲獎的文科生有80-6=74人.

于是可以得到2*2列聯(lián)表如下：

文科生理科生合計(jì)

獲獎61420

不獲獎74306380

合計(jì)80320400

我2400x(6x306-14x74)2

八20x380x80x320?1.32<6.635

所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文''與“學(xué)生的文理科”有關(guān).

201

(3)由(2)可知，獲獎的概率為礪=、，

X的可能取值為0,1,2,

尸-0)=*昌19?361

720>400

聞,二3819

P(x=i)=c；G.20j-460-200

P(X=2).周

分布列如下:

X012

361191

p

400200400

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x迎?+1X12+2X—!_=-!-

40020040010

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)案例和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力，屬于

中檔題.

19.(1)兀；(2)走或也

22

【解析】

7F

(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得F(x)=2sin(2x-w),利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；(2)由(1)可求

sin(2A-工)=蟲，結(jié)合范圍-工效2A-￡苧，可求A的值，由余弦定理可求c的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公

32333

式即可求解.

【詳解】

(1)/(X)-a-b-2sinxcosx-\^(2cos2x-1)

=sin2x-\/3cos2x=2sin(2x-

???最小正周期『寫".

(2)由⑴^fl/(x)=2sin(2x-yj,/(A)=2sin(2A_%)=G

rn…n54

..sin2A---又——<2A——<——

I3333

/.2A--=-^2A--=—.解得A=工或4=工

333332

TT

當(dāng)A時，由余弦定理得/=。2+c?-2Z?ccosA

即=12+c2—2xl-ccos。，解得C=2.

此時SMBC=-/?csinA=-x1x2sin—=

223V,

7F

當(dāng)4=工時，由余弦定理得/=〃+。2一2bccosA.

2

BP(V3)2=l2+c2-2xl-ccosy,解得c=8.

此時5.尤=3灰與114—x5/2xlxsin—=-.

222

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的

綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

20.見解析

【解析】

試題分析：把不等式的左邊寫成［。+。)+(1+。)+(1+c)+(1匕+金+正］形式，利用柯西不

l+b1+c1+d,

等式即證.

試題解析：證明：???[(l+a)+(l+〃)+(l+c)+(l+d)]

1+Q1+/71+c1+d,

V+b2—+J+c——+v+d

、A/1+al+b1+c

又(l+a)+(l+Z?)+(l+c)+(l+d)=5,

??---------1----------F---------1---------N-

1+Q1+/?1+c1+d5

考點(diǎn)：柯西不等式

V22k.1

21.(1)土+匕v=1；(2)①證明見解析；②71=1

43七3

【解析】

22L2

(1)由題意焦距為2,設(shè)點(diǎn)C(l,%),代入橢圓二+二=1(。>方>0),解得％=±匕，從而四邊形ACBD的面積

cTb"a

(>=25^=2.-=2b2,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?

0a

22

(2)①由題意AC:y=4(x+2),聯(lián)立直線與橢圓的方程土+匕=1,得(3+%)/+16《-12=0,推導(dǎo)出

431

C(一箸三?，7—7T),。(汽U，-7—fr),由此猜想：直線/過定點(diǎn)P(1,O)，從而能證明P，C,。三點(diǎn)共

3+463+4匕3+4(1/3+4Z:,

線，直線/過定點(diǎn)P(1,O).

②由題意設(shè)C(x,,x),D(X2,%)，直線/：彳=沖+1，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：千+1=1,得⑶/+4方2+6沖_9=0,

X

6m9由此推導(dǎo)出2=9二史匕=史蟹二2=沖M-y=1(定

推導(dǎo)出X+必=一

2

3m+4hHy2(xt+2)y2(myt+3)myiy2+3y23

/-2

值).

【詳解】

7

<O由題意焦距為2,可設(shè)點(diǎn)C。,%),代入橢圓二+y=1(。＞。＞0),

CIF

得2+殍=1,解得％=±生，

aba

?2

四邊形ACBO的面積6=2s8c=2?=2b2,

A4?！猘

b2=3?a2=49

22

??.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土x+匕v=1.

43

(2)①由題意AC：y=K(x+2),

22

聯(lián)立直線與橢圓的方程L+2=1,得(3+必：得+16k：-12=0,

43'

2

‘小c=后16fc而-1"2，解得寸6彳-8婷"從而“h乂=,%,a+,】)、=w12K

.V-鱉舟),同理可得以8k,~—612k2

),

3+44'3+4《T

猜想：直線/過定點(diǎn)P(1,O),下證之:

12年12k2

,3+4k.23+4《

???k=3kl，，kz-k=■-....-----