2022屆甘肅省靈臺(tái)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若a=log415.9,b=21-01?C=0.4°L則（）

A.c>a>bB.a>b>c

C.b>a>cD.a>c>b

2.在四邊形ABC。中，ADIIBC,AB=2,AD=59BC=3,ZA=60。，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且=

點(diǎn)M在邊CD所在直線上，則畫(huà)乙砒的最大值為（）

7151“

A.——B.-24C.——D.-30

44

3x-y-2<0

3.若X，）‘滿足,且目標(biāo)函數(shù)z=a+2制（a>0力>0）的最大值為2,則4"+16〃的最小值為（）

2x+y>0

A.8B.4C.2y/lD.6

4.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則

該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（lg2=0.3）（）

2

22

242

2882

21664162

A.UGOB.IO400C.UM）D.IO600

5-已知全集匚={匚|二；=4,口e匚卜二=U，2}，則二二二=（）

A-{-/}B-{-；,（?）c-1-2-1.0]D-[-2-1,0.1.2}

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺莞生一日，長(zhǎng)一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

問(wèn)幾何日而長(zhǎng)倍？”意思是：“今有蒲草第1天長(zhǎng)高3尺，蕪草第1天長(zhǎng)高1尺以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，蕪草

每天長(zhǎng)高前一天的2倍.問(wèn)第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是（）

（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg3*0.4771,1g2?0.3010）

A.2B.3C.4D.5

ALT—1x〉0

7.己知函數(shù)=x'<0若函數(shù)/（x）的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A.（-oo,0）B.（0,1）C.（0,+紇）D.（0,；］

8.將函數(shù)/5）=65皿2尢-2852；1圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移￡個(gè)單位長(zhǎng)

8

度，則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

9.設(shè)等差數(shù)列｛。,,｝的前”項(xiàng)和為S“，且$8=0,%=—3,貝!|S9=()

A.9B.12C.-15D.-18

10.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為()

|S=q=21

s=s+：/輸甘少

,_dLi結(jié)束i

11122

A.—B.6C.-—D.—

1223

11.記集合(x,y)\x+y<4,%>0,y>0｝表示的平面區(qū)域分別是鼻和Q2，若在

區(qū)域居內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域。2的概率為（)

1114一2

A.----B.-C."—D.----

4）71ITC4萬(wàn)

12.函數(shù)/（x）=xcos2W的圖象可能為（）

13.已知全集"={TO1},集合A={0,|x|},則^A=.

14.若X、y滿足約束條件x+yN2,則z=x+2y的最小值為.

x-3y<6

15.已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，當(dāng)XG(0,l］時(shí)，/(x)=-e"(其中e是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若〃2020-ln2)=8,則實(shí)數(shù)”的值為.

16.(X-夜A"的展開(kāi)式中，fy的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P-A5C。中，底面A8C。是矩形，R1_L平面ABCZ),且勿=AO,E,尸分別是棱A5,

PC的中點(diǎn).求證：

BC

(1)片尸〃平面m0；

(2)平面PCE_L平面PCD.

，、八,112

18.(12分)已知在等比數(shù)列｛q｝中，區(qū),>0,%=4,----------=—.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

1

(2)若a=,求數(shù)列也｝前〃項(xiàng)的和.

log2a?-log2a?+1

19.(12分)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)

行調(diào)查，如表：(平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘)

平均每天鍛煉

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

的時(shí)間/分鐘

總?cè)藬?shù)203644504010

將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在［40,60)的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.

(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2x2列聯(lián)表:

鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)

男

女20110

合計(jì)

并通過(guò)計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出10人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流.

(i)求這10人中，男生、女生各有多少人？

(ii)從參加體會(huì)交流的1()人中，隨機(jī)選出2人發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：/=?—幽區(qū)一

其中“=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

2

P(K>k0)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

20.(12分)底面ABC。為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若D4=￡>H=08=4,

AE=CG=3.

（1）求證：EGIDF；

（2）求二面角A-一。的正弦值.

21.（12分）已知AABC滿足,且6=&，A=—,求的值及AABC的面積.（從①8=a，②"百，

③。=3&s力必這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題中，并完成解答.）

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=*sin（Z?x）,設(shè)力（x）為九（x）的導(dǎo)數(shù)，雇GN*.

（1）求工（%）,f2（x）；

（2）猜想力（x）的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較。、h,c三個(gè)數(shù)與1和2的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出。、b.c三個(gè)數(shù)的大小關(guān)

系.

【詳解】

對(duì)數(shù)函數(shù)y=log&x為（0,+8）上的增函數(shù)，則I=log44<log415.9<1（816=2,即l<a<2；

指數(shù)函數(shù)y=2'為R上的增函數(shù)，則b=2'-01>2'=2;

指數(shù)函數(shù)y=0.4'為R上的減函數(shù)，則。=0.4°」<0.4°=1.

綜上所述，b>a>c.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)幕與對(duì)數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來(lái)比較，考查推理能力，

屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

依題意，如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)=求出E的坐標(biāo)，求出邊CD所

在直線的方程，設(shè)”（再-GX+56）,利用坐標(biāo)表示麗7,該，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

【詳解】

解：依題意，如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由/W=2,AD=5,BC=3,NA=60。，

.?.A（0,0）,B（1,V3）,C（4,^）,D（5,0）

因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，設(shè)后卜。，6），x0<l

?;AE=BE

入02+（6）-=（1-%）2解得與=-1

.?.E（-l,網(wǎng)

vC（4,^3）,D（5,0）

C￡>所在直線的方程為y=-百x+5有

因?yàn)辄c(diǎn)M在邊CO所在直線上，故設(shè)M（x,-6x+56）

AM=（x,-5v

ME=（-\-x,y[3x-A^

.?.府M=x（-1-力+（氐-4@（-氐+5@

+26工一60

=T12+26X一60

當(dāng)X=U時(shí)（加二荻）

4'/max4

故選：A

本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.

3.A

【解析】

?77

作出可行域，由z=ax+物(a>0,>>0),可得y=-----x+——.當(dāng)直線丫=號(hào)》+三過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)8(1,1)時(shí),

2b2b

z最大，可得a+28=2.再由基本不等式可求4〃+16"的最小值.

【詳解】

az

--------XH------.

2b2b

/777

平移直線》二-m尤+打，當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)8時(shí)，打最大，即二最大,最大值為2.

2b2blb

3x-y-2=0X=l/、

解方程組，，得',,??.8(1,1).

[x-y=O[y=l

:.a+2b=2(a>0,Z?>0).

4"+16'=4"+42fc>2""X42”=2《”b=2"=8，

Ma=1

a-2b

當(dāng)且僅當(dāng)4"=42"，即《?,1時(shí)，等號(hào)成立.

iI2

.?.4"+16"的最小值為8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查基本不等式，屬于中檔題.

4.A

【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比

數(shù)列前〃項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解

【詳解】

如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫(xiě)成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為

1+2+22+-+29=210-1=1023,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為嚴(yán)=IO10231*2?10Mo.

21

2'2,

212221

2,23232,

I^4,6,4,I

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問(wèn)題，邏輯推理，等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題

5.C

【解析】

先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.

【詳解】

由題意得二={二|二4,二6二}={二|-2=二=2,二CZ}={-2,-1.0,l,2y

7=={1.2?

???二二匚={-2-1,09

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合二和熟悉補(bǔ)集的定義，屬于簡(jiǎn)單題.

6.C

【解析】

3(1—?

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度，進(jìn)而可得：2x」~a=二1,解出即可得出.

112-1

【詳解】

由題意可得莞草與蒲草第〃天的長(zhǎng)度分別為q=3x，b.=1x2"-'

2"-1

據(jù)題意得:解得2"=12,

2-1

“然=2+粵L

lg2lg2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

7.B

【解析】

考慮當(dāng)x>0時(shí)，去一l=lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令〃(x)=lnx+1,則〃(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和

零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?(》)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),

所以x>0時(shí)，自一l=lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令〃(x)=lnx—"+1,則A(x)在(0,+e)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

又〃(x)=W^,

當(dāng)左WO時(shí),〃'(x)>0,故〃(x)在(O,+8)上為增函數(shù)，

〃(x)在(0,+紡)上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍.

當(dāng)上>0時(shí)，

若xe(0,j,則/T(x)>0,〃(x)在［(),：)上為增函數(shù);

若叱+00/z(x)在［：,+oo］上為減函數(shù);

,貝!|〃'（力＜0,

故〃(x)2=C)=ln：,

因?yàn)椤?X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以Ing>0,解得0<%<1.

k

又當(dāng)0〈女<1時(shí)，且/?、)=—B<0,故〃(X)在(o,J上存在一個(gè)零點(diǎn).

(e\ecj

又力［后)=山至一工+1=2+2111'—々，其中r=—>1.

令g(r)=2+21nr-er,則/?)=寧，

當(dāng)r>l時(shí)，g'(r)<0,故g(r)為(i,x°)減函數(shù)，

所以g(r)<g(l)=2_e<0即

11所以〃(x)在+8)上也存在一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)榇?gt;正>7

綜上，當(dāng)0(人<1時(shí)，〃(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)

明零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.

8.D

【解析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)y=4加(如+。)的圖象變換規(guī)律，可得所求函數(shù)的解析式為y=2sin(|x-?)-l,

再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性得解.

【詳解】

y=V3sin2x-2cos2x

=6sin2x-(l+cos2x)=2sin^2x-^-l,

.??將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍,所得函數(shù)的解析式為

y=2sinf—%-—>1-1,

?136

再向右平移9個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)的解析式為

O

y=2sin

27T

2sin—X-------T,

34

lx-^L=kK^x=-k7i+—,k&Z,

3428

k=0可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,故選D.

【點(diǎn)睛】

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，經(jīng)?？疾槎x域、值域、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,

其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問(wèn)題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與

落實(shí).三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)

解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦(余弦)

函數(shù)的性質(zhì)求解.

9.A

【解析】

由$8=0,。3=-3可得。1,4以及。9,而S9=S8+%,代入即可得到答案.

【詳解】

q+2d——3,

CL=-7,

解得/

設(shè)公差為d,則幽+漢仁0,

=2,

佝=4+8d=9,所以S9=$8+。9=9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

用列舉法，通過(guò)循環(huán)過(guò)程直接得出S與“的值，得到〃=8時(shí)退出循環(huán)，即可求得.

【詳解】

11|3

執(zhí)行程序框圖，可得S=O,n=2,滿足條件，S=-,〃=4,滿足條件，5=—+—==，〃=6,滿足條件,

2244

S=-+-+^—,〃=8,由題意，此時(shí)應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為〃><8=2.

24612123

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S與〃的值是解題的關(guān)鍵，難度較易.

11.C

【解析】

據(jù)題意可知，是與面積有關(guān)的幾何概率，要求M落在區(qū)域內(nèi)的概率，只要求A、B所表示區(qū)域的面積，然后代入

區(qū)域。2的面積

概率公式P=計(jì)算即可得答案.

區(qū)域R的面積

【詳解】

根據(jù)題意可得集合A={(x,y)|d+y2?16}所表示的區(qū)域即為如圖所表示:

的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域，面積為16%,

集合8={(x,y)|x+y-4,,0,x.O,y.O}表示的平面區(qū)域即為圖中的RtAAOB,SMOfi=-x4x4=8,

Q1

根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得p=a」,

16乃2萬(wàn)

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了幾何概率的計(jì)算，本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出兩區(qū)域的面積.

12.C

【解析】

先根據(jù)/(x)是奇函數(shù)，排除A,B,再取特殊值驗(yàn)證求解.

【詳解】

因?yàn)閒(T)=-xcos2T=-xcos2^=-/(x),

所以/(x)是奇函數(shù)，故排除A,B,

又/⑴=cos2<0,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的圖象，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.{-1}

【解析】

根據(jù)題意可得出A={0,1},然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

【詳解】

根據(jù)題意知，次1=1,

"={0,1},U={-1,0,1},

故答案為:{-1}.

【點(diǎn)睛】

本題考查列舉法的定義、全集的定義、補(bǔ)集的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.1

【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)z=x+2)，取得最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)

函數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】

作出不等式組x+yN2所表示的可行域如下圖所示：

x-3y<6

平移直線z=x+2y,當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)4(3,-1)時(shí)，該直線在X軸上的截距最小，此時(shí)z取最小值,

即Zz"3+2x(—1)=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.3

【解析】

先推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)的周期為4,可得出“2020-ln2)=/(—ln2)=—〃ln2)=8,代值計(jì)算，即可求出實(shí)數(shù)。

的值.

【詳解】

由于函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則〃一x)=-/(力，

又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則/(1-x)=/(1+x),

所以，./?(2+X)=/[1_(1+X)]=/(T)=_〃X),則/(4+X)=_/(X+2)=〃X),

所以，函數(shù)y=/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

所以7(2020—ln2)=/(—ln2)=—/(inZbeHnzK/BLzJg,解得a=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算函數(shù)值，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期，考查推理能

力與計(jì)算能力，屬于中等題.

16.60

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)，即可求得的系數(shù).

【詳解】

因?yàn)?

所以l=4,

則所求項(xiàng)的系數(shù)為C：(-V2)4=60.

故答案為：60

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)取PO的中點(diǎn)G構(gòu)造平行四邊形AEFG,得到麻//AG,從而證出￡戶//平面尸AO；

(2)先證平面PCD,再利用面面垂直的判定定理得到平面PCDJ?平面PCE.

【詳解】

證明：(1)如圖，取PD的中點(diǎn)G,連接AG,FG,

?.?E是棱A3的中點(diǎn)，底面ABCD是矩形，

..AE//CD,且AE='C￡),

2

又?.?尸，G分別是棱PC,PO的中點(diǎn)，

:.FG//CD,且EG=」AC,

2

:.AE//FG,且=

???四邊形但G為平行四邊形，

：.EF//AG,

又c平面PAO,AGu平面尸AQ,

;.￡F//平面PAD；

(2)'.-PA=AD,點(diǎn)G是棱PD的中點(diǎn)，

AG±PD,

又YEFUAG,:.EFLPD,

?.?Q4_L平面ABC。，CDu平面ABCD,

:.PA±CD,

???底面ABC。是矩形，.?.A￡>_LCD,

?.?PAu平面ABC。，AZ>u平面ABC。，且以0|4。=4,

\CDA平面B4O，

又「AGu平面尸AO，CZ)_LAG,

-,-FE//AG,：.CD±EF,

又「。。匚平面PCD,PDu平面PCD,且C￡(r|PZ)=。，

.?.EF_L平面PCD,

又???￡7?u平面PCE,

，平面PC。，平面PCE.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題.

18.(1)a?=2"+l(2)-------

2〃+4

【解析】

(1)由基本量法，求出公比夕后可得通項(xiàng)公式;

(2)求出勿，用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】

解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為以4>0)

“112112

又因?yàn)?/p>

4=4,---------所以礦47

axa24/

解得q=T(舍)或4=2

所以4=4X2"T=2"M,gpa?=2n+1

(2)據(jù)(1)求解知，。,,=2向，

,1

所以/二^--------:-------

log2??xlog2?n+l

1

(71+1)(〃+2)

11

〃+In+2

所以-b1+b2+b3+...+bn

_j___1_

2n+2

n

2〃+4

【點(diǎn)睛】

本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列

的基本方法，務(wù)必掌握.

4

19.(1)能；(2)(i)男生有6人，女生有4人；(ii)E(X)=M，分布列見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表.由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù)，從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù)，這

樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得，然后計(jì)算A?可得結(jié)論；

(2)由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為3：2可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，X的可能值為0,1,2,分別

計(jì)算概率得分布列，再由期望公式可計(jì)算出期望.

【詳解】

(1)列出列聯(lián)表，

鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)

男603090

女9020110

合計(jì)15050200

K?=200x(60330x90)2=200。6.Q61>53,

150x50x90x11033

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下能判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).

(2)(i)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生5()中，男女生人數(shù)比為3:2,

用分層抽樣方法抽出10人，男生有6人，女生有4人.

(ii)從參加體會(huì)交流的10人中，隨機(jī)選出2人發(fā)言，2人中女生的人數(shù)為X,

則X的可能值為0,1,2,

則尸。=0)=/=鼻，P(X=1)=,=.，P(X=2)=/=R,

JoJ^10IDJ()ID

可得X的分布列為:

X012

P182

31515

可得數(shù)學(xué)期望E(X)=0x』+lx芻+2x2=3.

315155

【點(diǎn)睛】

本題考查列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分層抽樣，隨機(jī)變量的概率分布列和期望.主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

20.(1)見(jiàn)解析；(2)5m。=巫

4

【解析】

(1)先由線面垂直的判定定理證明EG_L平面B￡)”戶,再證明線線垂直即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面AFH的一個(gè)法向量與平面CEH的一個(gè)法向量，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.

【詳解】

(1)證明：連接AC,由AE,CG平行且相等，可知四邊形AEGC為平行四邊形，所以EG//AC.

由題意易知ACJ.8O,AC±BF,所以EGLBF,

因?yàn)锽DCBF=B,所以EG,平面BDf折，

又DEu平面所以EG_LOF.

(2)設(shè)ACnBD=O,EGHHF=P,由已知可得：平面4)“E//平面8CGF,

所以EH〃FG,同理可得：EF//HG,所以四邊形EFG”為平行四邊形，

所以P為EG的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，所以。RAE平行且相等，從而OPL平面ABCO,

又。4_LOB,所以。4,OB,0P兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—孫z,

OP=3,DH=4,由平面幾何知識(shí)，得BF=2.

則A(2G,0,0),C(-2>/3,0,0),*0,2,2),“(0,-2,4),

所以標(biāo)=(—26,2,2),方=(20,2,2),HF=(O,4,-2).

"EK,.._-/、,[A.F-n=0[-2\/3x+2y+2z=0

設(shè)平面AFH的法向量為〃=(x,y,z),由｛——，可得〈',

、7HFn=Q[4y-2z=0

令y=l,貝!jz=2,x=5所以3=(百,1,2).同理，平面CW的一個(gè)法向量為而=卜61,2卜

設(shè)平面AFH與平面CFH所成角為6,

-3+1+41~,

則|cos6|=一廠廠=7，所以sin。=

V8V844

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用，屬中檔題.

21.見(jiàn)解析

【解析】

選擇①時(shí)：8=工，A=27，計(jì)算sinC=出出.,根據(jù)正弦定理得到a=3,計(jì)算面積得到答案;選擇②時(shí)，a=百

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bM，故B>A,A為鈍角，故無(wú)解；選擇③時(shí)，a=3及sinB，根據(jù)正弦定理解得sinB=",stnC=娓-近