2022屆福建省漳州八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知小為實(shí)數(shù)，直線4：蛆+y-l=0,/2：(3加一2)x+〃9-2=0,貝!J"加=1”是/4”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

34

2.關(guān)于函數(shù)/(X)=|COSX|+COS|2R,有下列三個(gè)結(jié)論:①乃是f(x)的一個(gè)周期；②f(x)在彳,二7上單調(diào)遞增；

③f(x)的值域?yàn)閯t上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

3.若直線曠=依-2與曲線y=l+31nx相切，則％=()

11

A.3B.-C.2D.-

32

4.點(diǎn)0在A4BC所在的平面內(nèi)，|明=|礪|=|玄|雨=2,|就］=1,而=4麗+〃/(Zz/eR),且

44—4=2(〃#0),則慳卜()

A.-B.也C.7D.J7

32

5.若直線2x+y+m=0與圓x2+2x+y2—2丁一3=0相交所得弦長(zhǎng)為26，則加=()

A.1B.2C.75D.3

6.已知集合人={*|x>0},B={x|x2-x+b=0},若Ac5={3},則/?=()

A.-6B.6C.5D.-5

22

7.已知月、工分別為雙曲線C：，一當(dāng)■=1(a>0,匕>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)耳的直線/交。于A、8兩點(diǎn)，0

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。4,胡"IAF21=|BF21,則。的離心率為()

A.2B.75C.V6D.#j

8.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）

10.如圖，點(diǎn)E是正方體A5CD-A山CiOi的棱。。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，M分別在線段AC,BDx（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng),

則（）

A.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在EFVBCi

B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不存在

C.四面體EM4c的體積為定值

D.四面體E4C/的體積不為定值

11.已知函數(shù),f（x）=2cos尤?sin（x+：）+/〃（加wR）的部分圖象如圖所示.則玉）=（）

r22

12.已知雙曲線C:3-v與=1（。>0力>0）的左，右焦點(diǎn)分別為月、工，過(guò)耳的直線/交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲

ab~

線的實(shí)軸為直徑的圓與直線/相切，切點(diǎn)為“，若忻“=3閨則雙曲線C的離心率為（）

A.叵B.石C.2#）D.V13

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若向量Z=任,29=（1,x）滿足￡/<3,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

3QCc6

14.已知q>0,b>0f。>2且。+/?=1,則1—I—--------的最小值是______.

babc-2

15.若x,y滿足|x|《l-y,且a-1,則3x+y的最大值___

16.直線/是圓G：（x+l>+y2=l與圓Q：（x+4）2+V=4的公切線，并且/分別與x軸正半軸，y軸正半軸相交

于A,B兩點(diǎn),則AAO8的面積為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)分（x）=（x+D（e*-l）.

（I）求f（x）在點(diǎn)（一1,/（一1））處的切線方程；

（II）已知/（x）N存在R上恒成立，求a的值.

eb

（ni）若方程/（x）=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.%，且m<灰，證明：x2-xx<b+\+——.

e-l

18.（12分）已知函數(shù)卜=/（幻與y=靖的圖象關(guān)于直線丁=1對(duì)稱.（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若y=的圖象在點(diǎn)4（%,/（毛））處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一6一1）,求七的值；

（2）若不等式/（X）,,萬(wàn)以2一（]一磅—1恒成立，求正整數(shù)。的最小值.

r22

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知橢圓。:二+v2-=1的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為E,P,。為橢圓。上兩

43

點(diǎn),圓O:X?+）3=/&>0）.

（1）若軸，且滿足直線AP與圓。相切，求圓。的方程；

3

（2）若圓。的半徑為6，點(diǎn)P,Q滿足ep?后2=-],求直線PQ被圓。截得弦長(zhǎng)的最大值.

20.（12分）某公司為了鼓勵(lì)運(yùn)動(dòng)提高所有用戶的身體素質(zhì)，特推出一款運(yùn)動(dòng)計(jì)步數(shù)的軟件，所有用戶都可以通過(guò)每

天累計(jì)的步數(shù)瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走

步數(shù)和性別是否有關(guān)”，統(tǒng)計(jì)了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù)，規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”,

步數(shù)在8000以下的為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個(gè)用戶，得到如下列聯(lián)表：

運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)

男3560

女26

總計(jì)100

(1)(I)將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

(?)據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否有99%的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”？

(2)將頻率視作概率，從該公司的所有人“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”中任意抽取3個(gè)用戶，求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期

望.

附：

P『k。)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

長(zhǎng)2：Mad-bcf

(a+b)(c+J)(a+c)(Z>+J)

21.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ccosB-bsinC=0,cosA-coslA.

(1)求a

(2)若a=2,求，AABC的面積S.ABC

22.(10分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)

活動(dòng)的有效開展，參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來(lái)越多，該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前7天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，》表示第1

天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：

X1234567

y58810141517

(1)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)y與X具有線性相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出〉關(guān)于X的線

性回歸方程9=晟+&;

(2)該商店規(guī)定：若抽中“一等獎(jiǎng)”，可領(lǐng)取60()元購(gòu)物券；抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購(gòu)物券；抽中“謝謝惠顧”，則

沒有購(gòu)物券.已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為！，獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本

63

次活動(dòng)，且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲購(gòu)物券總金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

___

-7,7

參考公式：b,a=y-bx,ZXM=364,=140.

￡x；-nx

i=\

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)m=l時(shí)，兩直線方程分別為直線h：x+y-1=0,h：x+y-2=0滿足h〃L,即充分性成立，

當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y-1=0,和-2x-2=0,不滿足條件.

+.〃3m-2m-2

當(dāng)m#0時(shí)，則h〃12n---------=一?！?，

m1-1

,3772—2m_.皿4

由------=一得m?-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

m—23,

由t1W—j■得m#2,則m=L

即“m=l”是“h〃L”的充要條件，

故答案為：A

【點(diǎn)睛】

(D本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能

力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線++和直線。21+〃2>+。2=0平行，則。也一出々=0且兩

直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.

2.B

【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可求出.

【詳解】

①因?yàn)?（幻=/（%+乃），所以乃是/（X）的一個(gè)周期，①正確；

②因?yàn)?（4）=2,/[竿）=5<2,所以/（X）在,，午上不單調(diào)遞增，②錯(cuò)誤;

7C

③因?yàn)?（—%）=/（%）,所以/（幻是偶函數(shù)，又萬(wàn)是/。）的一個(gè)周期，所以可以只考慮XE0,y時(shí)，/&）的值域.當(dāng)

八九.

xe0,—時(shí),Z=COSXG[0,1],

2

f（x）=|cosx|4-cos|2J:|=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-\=2r+r-l

^=2『+"1在[0』上單調(diào)遞增，所以/（x）e[-l,2],的值域?yàn)棰坼e(cuò)誤；

綜上，正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.

3.A

【解析】

設(shè)切點(diǎn)為（％,5-2）,對(duì)y=l+31nx求導(dǎo)，得到了=2，從而得到切線的斜率％=一,結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)

x玉）

得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)為（玉）,5-2）,

3—-女①，

紋-2=1+3In/②，

由①得5=3,

代入②得l+31n/=l,

則為=1,4=3,

故選A.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點(diǎn)斜式，屬于簡(jiǎn)單

題目.

4.D

【解析】

54

確定點(diǎn)。為AABC外心，代入化簡(jiǎn)得到彳=；,〃=彳，再根據(jù)前=恁-而計(jì)算得到答案.

63

【詳解】

由網(wǎng)=|詞=|因可知，點(diǎn)。為AASC外心，

■■]—2.-1*21..........…，?

則ABAOngAB=2,ACAO=-AC=萬(wàn)，又AO=4A5+4AC,

AO-AB=AAB2+^ACAB^4A+^AC-AB^2,

所以1________________2_________1①

AOAC=AABAC+/JAC'=AABAC+/J=~,

因?yàn)?幾一〃=2,(2)

54

聯(lián)立方程①②可得2=2，〃=;，ABAC=-l＞因?yàn)槿?恁-通，

63

所以配2=恁2+初一2而?通=7,即幽="

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

5.A

【解析】

將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓X2+2x+y2—2y—3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程(x+1尸+(y—=5，圓心坐標(biāo)為(一1,1),半徑為小，因?yàn)橹本€2x+y+m=Q

與圓/+2》+產(chǎn)一2丁一3=0相交所得弦長(zhǎng)為26,所以直線2%+丁+機(jī)=0過(guò)圓心,得2、(-1)+1+m=0,即加=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

由AcB={3},得3GB,代入集合B即可得

【詳解】

■-Ar>B={3},:.9-3+h=0,即：b=-6,

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

作出圖象，取48中點(diǎn)E,連接Eg,設(shè)為A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到，2=7。2,進(jìn)而得

到e的值

【詳解】

解：取45中點(diǎn)E,連接EB,則由已知可得8F1JLEF2,FtA=AE=EB,

設(shè)FiA=x,則由雙曲線定義可得A尸2=2a+x,BFi-BF2=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,貝！|E尸2=2&a,

由勾股定理可得(4a)2+(26a)』(2c)2,

22

所以c=7a9

則e=3=g

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問(wèn)題，關(guān)

鍵是列出含有“力,C中兩個(gè)量的方程，有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理，從而求出離心率.

8.A

【解析】

首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為=32個(gè)，再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求

出重復(fù)數(shù)量，可得事件的樣本點(diǎn)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】

樣本空間樣本點(diǎn)為=32個(gè)，

具體分析如下：

記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”，

有以下3種位置1___1.

剩下2個(gè)空位可是()或1,這三種排列的所有可能分別都是2x2=4，

但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù)，重復(fù)數(shù)量為2+2=4,

事件的樣本點(diǎn)數(shù)為：4+4+4—2—2=8個(gè).

Q1

故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，—

324

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題

9.B

【解析】

由/(x)=0,解得f一以=(),即4=0或x=a,「a＞。,.??函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，不正確，設(shè)。=1,

則/(x)=(x2—x)e；./，(x)=(x2+x-i)/,由/(％)=(/+x—l),＞0,解得%＞或》＜,

由1(x)=儼＜0,解得：_=二＜%＜一丁，即x=—1是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，二。不成立，排除D,

故選B.

【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，

屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)

路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及

xf+oo,x--oo時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除.

10.c

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

A錯(cuò)誤

由EVu平面A￡C,BC\"AD、

而與平面AEC相交，

故可知BCi與平面A￡C相交，所以不存在EFHBCx

B錯(cuò)誤，如圖，作用

由AC工BD,AC工BBpBDcBB]=B

又平面BBQQ,所以AC_L平面68QQ

又gMu平面8片2。，所以AVLAC

由OE//BD],所以AVLOE

ACC\OE=O,AC,OEu平面AEC

所以81M_L平面A￡C,又A￡u平面A￡C

所以gMLAE,所以存在

C正確

四面體EMAC的體積為乙一AEC=g.SMEC?〃

其中〃為點(diǎn)M到平面AEC的距離，

由OEMBD},Ofu平面AEC,BD、（Z平面AEC

所以8烏〃平面AEC,

則點(diǎn)M到平面AEC的距離即點(diǎn)B到平面AEC的距離,

所以〃為定值，故四面體EMAC的體積為定值

。錯(cuò)誤

由AC〃4G，AGu平面AC/,AC.平面AG8

所以AC〃平面AG6,

則點(diǎn)F到平面AC6的距離%即為點(diǎn)A到平面4GB的距離,

所以％為定值

所以四面體的體積匕屋為定值

E41C1BFGB=].SAA1G4

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,

中檔題.

【解析】

由圖象可知/(g]=-1河解得m=-1，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得/(x)=sin(2x+看]，令/(X)=0,即可

求得為.

【詳解】

依題意,-1,BP2cos--sin—+/n=-l,

36

Bsinx.lcosx1

解得tn=~因?yàn)?(x)=2cosx?sinx+———2cosx-

2I6；21222

=sincosx+cos2x——=--sin2x+—cos2x=sin2x+—

222I6j

TT7T77r

所以2X0+2=2版■+/,當(dāng)％=1時(shí)，/=」.

626

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量，考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，難度

一般.

12.A

【解析】

在AP耳心中，由余弦定理，得到JIPKI,再利用|。耳|-|。行|=2"即可建立”,6,。的方程.

【詳解】

由已知，|=J"。?-。"？=="在APf；居中，由余弦定理，得

2

|PF21=《PF：+/工2_2?6?g.cosNPg=J4c2+9/>-2x2cx3Z>x1=

府壽，又歸耳|=3|孫|=36\PFt\-\PF2\=2a,所以3b-向葭*=2a，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問(wèn)題，處理雙曲線離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-3,1)

【解析】

根據(jù)題意計(jì)算￡%=/+2^<3,解得答案.

【詳解】

a=卜2,2)石=(1,％),故a=X2+2xv3,解得-3<X<1.

故答案為：(—3,1).

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

14.1

【解析】

先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉〃，h,再處理只含C的算式即可.

【詳解】

3acc6(3a163a2+16

解：——+—+----=c|——+——+-----=c--------+-----,

babc-2vbab)c-2abc-2

因?yàn)閍+O=l,所以(”+加2=1,

所以

3acc63a2+(a+b)264a2+b2+lab62\l4-a2h2+lab6

------1------1--------=C---------------------1--------=C----------------------1-------->C-----------------------1--------

babc-2abc—2ahc-2abc-2

-6cH-------=6(c-2)d---1-12>2.6(c-2)x―-——(-12=24,

c-2c-2Vc-2

1?

當(dāng)且僅當(dāng)。=一，b=-,c=3時(shí)等號(hào)成立，

33

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，但是由于有3個(gè)變量，導(dǎo)致該題不易找到思路，屬于中檔題.

15.5.

【解析】

由約束條件作出可行域，令z=3x+y,化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)

得答案.

【詳解】

-1<V

由題意?,，作出可行域如圖陰影部分所示.

y-l<x<l-y

設(shè)z=3x+y,y=z-3x,

當(dāng)直線/。：y=z-3x經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)時(shí),z取最大值5.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

1fiV2

10.------

2

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)Q4=a,O3=6,利用三角形相似求得a,。的值，代入三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】

如圖所示，設(shè)OA=aQB=b,

由AABC,與AADC,相似，可得"1=1,解得。=2,

a+42

再由AAO8與A4EC,相似，可得1=J=+4,解得人=立，

132

由三角形的面積公式，可得A4O8的面積為S=』ab=!x2xYZ=Y2.

2222

故答案為：叵.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及三角形相似的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(I)丁==(％+1)；(II)a=l；(HI)證明見解析

e

【解析】

(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

(II)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，并構(gòu)造函數(shù)h(x)="X)-依根據(jù)單調(diào)性分析可得h(x)只能在x=0處取得最小值求解

即可.

在上恒成立，再分別設(shè)b=

(ni)根據(jù)(i)(H)的結(jié)論可知/(x)之X(x+1),/(x)2XRb=x的

解為七、%.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.

【詳解】

(I)由題/'(x)=e'—l+(x+l)e*,故/(-1)=0-|-1=1一1.且/(-1)=0.

e

]一0

故/(X)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線方程為y=」(x+1).

e

(II)設(shè)〃(x)=〃x)-or=(x+l乂e*-1)一orNO恒成立，故〃'(x)=(x+2)e*-a-l.

設(shè)函數(shù)0(x)=(x+2)e*則°'(x)=(x+3)e[故o(x)=(x+2)e"在(-8,-3)上單調(diào)遞減且0(x)<0,又°(x)在

(-3,+8)上單調(diào)遞增.

又°(0)=2,即"(O)=1-a且//(0)=0,故刈力只能在％=0處取得最小值，

當(dāng)a=1時(shí)，此時(shí)。'(x)=(尤+2)—2，且在(YO,0)上〃'(X)<0,/z(x)單調(diào)遞減.

在(0,+力)±/?'(%)>0,/z(x)單調(diào)遞增.故/?(%)>A(0)=0，滿足題意；

當(dāng)a>1時(shí)，此時(shí)0(x)=(%+2)e*=a+1有解%>0,且/z(x)在(0,天)上單調(diào)遞減，與//(%)>〃(0)矛盾；

當(dāng)a<1時(shí)，此時(shí)以力=(x+2)=a+1有解-3</<0,且/z(x)在(xo,O)上單調(diào)遞減，與〃(x)>〃(0)矛盾；

故a=l

(ID)尸(x)=e'-l+(x+l)e*=(x+2)e、—l.由(I)J'(x)=(x+2)e'—1在(YO,—3)上單調(diào)遞減且1(x)<0,

又/'(x)在(-3,-HX))上單調(diào)遞增，故f\x)=0最多一根.

又因?yàn)閞(一1)=(一l+2)e-i—l=eT—1<0,7(0)=(0+2"°-1=1>0,

故設(shè)尸(x)=0的解為x=r,因?yàn)?(一1)/(0)<0,故咋(一1,0).

所以/(x)在(-?V)遞減，在。,+8)遞增.

因?yàn)榉匠?CO=6有兩個(gè)實(shí)數(shù)根不々,故匕>/。).

結(jié)合(I)(II)有〃x)2=(x+l)"(x)Zx在R上恒成立.

e

[—c

設(shè)萬(wàn)=——(x+1)的解為則七4玉；設(shè)。=x的解為4,則4NX2.

e

.eb.,

故t七=；-----1,%=b.

1-e

故X2一玉~X3＜8+1+----，得證.

e-1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問(wèn)題.同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問(wèn)的

結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.

18.(1)e；(2)2.

【解析】

(1)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出/(x)=lnx,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線y=lnx在點(diǎn)A處的切線為

＞一方=一。一%),構(gòu)造函數(shù)"(x)=xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出與的值；

龍o

(2)設(shè)g(x)=lnx-'a?+(i-a)x+l,求導(dǎo),,、,求出g(x)的單調(diào)性，從而得出最大值

2g(%)=---------------

為gd=，--lna,結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)”的最小值.

\a)2a

【詳解】

(1)根據(jù)題意，、=/。)與＞=d的圖象關(guān)于直線'=》對(duì)稱，

所以函數(shù)/(x)的圖象與了=，互為反函數(shù)，則/(x)=Inx,,

設(shè)點(diǎn)A(Xo，%),%=lnxo，又曠=：,

,1

當(dāng)x=x()時(shí)，＞=一，

xo

曲線y=InX在點(diǎn)A處的切線為y-%=一。一%),

即yTnx0=--1,代入點(diǎn)(一芻一1),

玉)

~~e

得一1一In無(wú)o=----1,即In=e,

構(gòu)造函數(shù)"(x)=xlnx,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，H(x)<0,

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，H(x)>0,

且H'(x)=lnx+1,當(dāng)x>l時(shí)，〃'(x)>O,”(x)單調(diào)遞增,

而"(e)=e,故Xoln/=e存在唯一的實(shí)數(shù)根.%=e.

(2)由于不等式/(X),,；0?一(］一。?_］恒成立，

可設(shè)g(x)=Inx-gox?+(l-a)x+l,

所以g，(x)=f2+(l-a)x+la(x+1)

x

X

令g'(x)=0,得x=L.

a

所以當(dāng)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,

因此函數(shù)g(x)在尤』0-］是增函數(shù)，在xw化,+8)是減函數(shù).

ka)\a

\2

故函數(shù)g(x)的最大值為g［，］=ln，-!ax1

+(l-a)xi+l-■-Ina.

\a)a2a2a

令〃(a)=-!——Ina,

2a

因?yàn)椤?l)=L>0,〃(2)=L-ln2<0,

24

又因?yàn)??(?)在aw(0,+8)是減函數(shù).

所以當(dāng)a.2時(shí)，〃⑷<0.

所以正整數(shù)。的最小值為2.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計(jì)算能力.

19.(1)x2+y~=—(2)

【解析】

試題分析：(1)確定圓。的方程，就是確定半徑的值，因?yàn)橹本€AP與圓。相切，所以先確定直線方程，即確定點(diǎn)P

坐標(biāo)：因?yàn)檩S，所以尸(1,土章，根據(jù)對(duì)稱性，可取P(l,j),則直線AP的方程為y=］(x+2),根據(jù)圓心到

2

切線距離等于半徑得一=了(2)根據(jù)垂徑定理，求直線P。被圓。截得弦長(zhǎng)的最大值，就是求圓心。到直線PQ的

,\b\3

距離的最小值.設(shè)直線p。的方程為丫=丘+匕，則圓心。到直線PQ的距離1=娟?=,利用=得

yjk~+14

3元/2+4%%=°，化簡(jiǎn)得(3+4/)玉4+4kb⑺+/)+4〃=0,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)

定理得26=4公+3,因此Q=，當(dāng)％=0時(shí)，d取最小值，PQ取最大值為6.

試題解析：解：(1)

22

因?yàn)闄E圓。的方程為三+匕=1,所以4—2,0),尸(1,0).

43

3

因?yàn)镻尸，x軸，所以P(l,±p,而直線AP與圓。相切，

2

3

根據(jù)對(duì)稱性，可取PQ—),

2

則直線AP的方程為y=；(x+2),

即x-2y+2=0.

2

由圓。與直線AP相切，得尸=；百，

所以圓。的方程為尤2+y2=].

(2)

易知，圓。的方程為f+y2=3.

93

①當(dāng)PQ-Lx軸時(shí)，kop-kOQ——kOp―――,

所以％=士冬

此時(shí)得直線PQ被圓。截得的弦長(zhǎng)為處.

7

②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=P(xl,yl),e(x2,y2)(xlx2*0),

3

首先由勺沖?/2=-1，得3不々+4乂M=0，

即3xtx2+4(Axt+b)(kX]+b)=0,

所以(3+4左2)工|工2+4妨(X]+X2)+4〃=0(*).

y=kx+b

聯(lián)立｛J丫2,消去x,得(3+4/)》2+8妨x+4〃-12=0,

—+—=1

43

將％+%2=——---T,XiX2-———三代入(*)式，

-3+4/1-3+4公

得2/=4^+3.

由于圓心。到直線PQ的距離為d=.11,

收+i

所以直線PQ被圓。截得的弦長(zhǎng)為/=213—a?=，4+正片,故當(dāng)％=0時(shí)，/有最大值為后.

綜上，因?yàn)?＞辿，所以直線PQ被圓。截得的弦長(zhǎng)的最大值為

7

考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系

20.(1)(I)填表見解析(ii)沒有99%的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”(2)詳見解析

【解析】

(1)⑴由已給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，(ii)計(jì)算出K?后可得；

(2)由列聯(lián)表知從運(yùn)動(dòng)達(dá)人中抽取1個(gè)用戶為女用戶的概率為5，4的取值為0,1,2,3,由二項(xiàng)分布

概率公式計(jì)算出各概率得分布列，由期望公式計(jì)算期望.

【詳解】

解(1)(/)

非運(yùn)動(dòng)達(dá)

運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)

人

男352560

女142640

總計(jì)4951100

5)由2x2列聯(lián)表得左=l°°x(35x26-14x25)a5.229<6.635

60x40x49x51

所以沒有99%的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”

（2）由列聯(lián)表知從運(yùn)動(dòng)達(dá)人中抽取1個(gè)用戶為女用戶的概率為:2，.

易知6）#=°』23

所以自的分布列為

0123

125150408

P

343343343343

E『x旦lx當(dāng)+2X-3」_6

343343343343-7,

【點(diǎn)睛】

2

本題考查列聯(lián)表,考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查隨機(jī)變量的概率分布列和期望.屬于中檔題.本題難點(diǎn)在于認(rèn)識(shí)到g?B（3,-）.

2L(咤.⑵￥

【解析】

（1）由已知利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求口〃3=1,結(jié)合范圍8w（0,?），可求8=7,由已知利用二

倍角的余弦函數(shù)公式可得2cos2A—COSA—1=0,結(jié)合范圍Aw（O,乃），可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C

的值.

（2）由（1）及正弦定理可得〃的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求s加C的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

(1),.?由已知可得其。53=加比。，

be.

又由正弦定理----=——,可得ccosB=csi〃B,即幻〃B=1,

sinBsinC

VBG(O,ZT),

：.B=-

49

cosA=cos2A=2COS2A-1,即2。。$%—CQSA-1=0，

又A?0㈤,