2022年甘肅省張掖市高考理科數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷及答案解析

2022年甘肅省張掖市高考理科數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合4={x[y=1},B={x[y=lg（x-1）},4UB=（）

A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|xWl}D.{x|%21}

2.（5分）“O<ev空是“OVsinOV孚”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（5分）已知sing—a）=^,則sin2a=（）

7745/24V2

A.—QB.-C.——D.±—-

9999

4.（5分）已知復(fù)數(shù)Z0=召-1（，表示虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)Z滿足|z-zo|=l,則團的取值范圍

是（）

A.[0,I]B.[0,4]C.[0,2]D.[1,2]

5.（5分）的內(nèi)角4B,C所對邊分別為a,b,c,若b=3,c=2,△48C的面積

為2sin5,則cos4=（）

12V73

A.二B?二C.—D.一

3344

6.（5分）已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）=xf（x）.若a=g（-205）,b=g（-

log20.2）,c=g（3）,則a,h,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<h<aC.b<a<cD.b<c<a

7.（5分）給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每

人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.64種

8.（5分）已知{“”}是等差數(shù)列，公差d>0,其前〃項和為S”若。2，as+2,ai7+2成等比

數(shù)列，S4=5+；）即則不正確的是（）

A.d=lB.mo=2O

Q

2a

C.Sn=n+nD.當(dāng)"22時，Sn>2n

9.（5分）良好的睡眠是保證高中學(xué)生良好學(xué)習(xí)狀態(tài)的基礎(chǔ)，為了解某校高三學(xué)生的睡眠狀

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況，該校調(diào)查了高三年級1200名學(xué)生的睡眠時間（單位：小時），經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這1200

名學(xué)生每天的睡眠時間X?N（8,1）,則每天的睡眠時間為5?6小時的學(xué)生人數(shù)約為

（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

（附：若X?N（u，。2）,則尸（y-。WXWu+。）g0.6827,尸（口-2。<XW“+2。）

心0.9545,P（n-3oWXW+3。）心0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

10.（5分）將函數(shù)y=3sin（x—的圖象向右平移<p（0<<p<n）個單位長度后得到/（x）

的圖象.若/（x）在J上單調(diào)遞增，則年的取值范圍為（）

66

yrnnnTi2nn2n

A?叮B.-]C.[?T]D.[-,y]

/y2

11.（5分）已知雙曲線C：-2-72=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為尸|、Fz，過尸2

的直線/交雙曲線的右支于4、6兩點.點〃滿足易+4力1=2薪，且薪?點i=0.若

則雙曲線的離心率是（）

cos/S8=qC

述LL

A.—B.V3C.2D.V5

12.（5分）己知㈤表示不超過的最大整數(shù)，如：[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3.若函數(shù)/

（x）—x2lnx,xE（0,1）,則[/"']=（）

A.3B.2C.1D.0

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）拋物線C：f=4ay的焦點坐標(biāo)為（0,2）,則C的準(zhǔn)線方程為.

14.（5分）已知四個函數(shù)：①y=-x,②y=/，③y=2*,@y=lnx,從中任選2個，則

事件“所選2個函數(shù)的圖像有且僅有一個公共點”的概率為.

15.（5分）設(shè)a=歹（cosx-sinx）公，則二項式（x?+三）6展開式中的一項的系數(shù)為.

16.（5分）在△力8c中，/8=4,4C=l,P為48邊上一點，+44cl=2?則屆?曲

的最小值為.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

，、―…lla^sinC—sinBsinA-sinB

17.（12^）?E?sin2C-V3cos2C-4sinC-V3,（2）/?=+ccos/4,?------------=----------------,

乙ab+c

這三個條件中任選一個，補充在下面橫線處，然后解答問題.

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在△48C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,己知.

（1）求角C的大??；

（2）若。+6=8,求△/BC的外接圓面積的最小值.

18.（12分）中華民族是一個歷史悠久的民族，在泱泱五千年的歷史長河中，智慧的華夏民

族在很多領(lǐng)域都給人類留下了無數(shù)的瑰寶.比如，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中：十進位制記數(shù)法和零

的采用；二進位制思想起源；幾何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分數(shù)運算法

則和小數(shù)；負數(shù)的發(fā)現(xiàn)；盈不是術(shù)；方程術(shù)；最精確的圓周率一一“祖率”；等積原理一

一“祖睢i”原理；二次內(nèi)插法；增乘開方法；楊輝三角；中國剩余定理；數(shù)字高次方程

方法一一“天元術(shù)”；招差術(shù)……，這些累累碩果都是華夏民族的祖先們?yōu)槿祟惖闹腔蹖?/p>

庫留下的珍貴財富.近代中國數(shù)學(xué)也在一直向前發(fā)展，涌現(xiàn)了蘇步青、華羅庚、陳省身、

吳文俊、陳景潤、丘成桐等國際頂尖數(shù)學(xué)大師，他們在微分幾何學(xué)、計算幾何學(xué)、中國

解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自安函數(shù)論、整體微分幾何、幾何定理機械化證明、

拓撲學(xué)、哥德巴赫猜想研究、幾何分析等諸多領(lǐng)域取得了杰出成就.這些數(shù)學(xué)成就和數(shù)

學(xué)大師激勵了一代代華夏兒女自強不息，奮勇前進.為增強學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)學(xué)

生熱愛科學(xué)、團結(jié)協(xié)作、熱愛祖國的優(yōu)良品德，以及培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，改變學(xué)生的

思維習(xí)慣，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，某中學(xué)在該校高一年級開設(shè)了選修課《中國數(shù)

學(xué)史》.經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，為了解同學(xué)們在數(shù)學(xué)史課程的學(xué)習(xí)后，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否濃

厚，該校隨機抽取了200名高一學(xué)生進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

對數(shù)學(xué)興對數(shù)學(xué)興合計

趣濃厚趣薄弱

選學(xué)了《中國數(shù)學(xué)史》10020120

未選學(xué)《中國數(shù)學(xué)史》Xyn

合計160m200

（1）求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,y,加，〃的值，并確定能否有85%的把握認為對數(shù)學(xué)興

趣濃厚與選學(xué)《中國數(shù)學(xué)史》課程有關(guān)；

（2）在選學(xué)了《中國數(shù)學(xué)史》的120人中按對數(shù)學(xué)是否興趣濃厚，采用分層隨機抽樣的

方法抽取12人，再從12人中隨機抽取3人做進一步調(diào)查.若初始總分為10分，抽到的

3人中，每有一人對數(shù)學(xué)興趣薄弱減1分，每有一人對數(shù)學(xué)興趣濃厚加2分.設(shè)得分結(jié)果

總和為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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附：心g+b）黑溫（b+d）,^=a+b+c+d.

P（片20.1500.1000.0500.0250.010

ko）

ko2.0722.7063.8415.0246.635

1

19.（12分）如圖在四棱錐A-BCDE中，CD//EB,CD=^EB=1,CB±BE,4E=AB=BC=

V2,AD=V3.。是4E的中點.

（I）求證：。?！ㄆ矫鍭BC；

（II）求。/與平面/8C所成角的正弦值.

20.（12分）已知雙曲線C：%—噲=1（。>0，b>0）的左頂點為“（-2,0）,右焦點

為F,點5在C上.當(dāng)8FLNE時，\AF\^\BF\.不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交

于尸，0兩點.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線尸0過點尸，在x軸上是否存在點N,使得x軸平分NPN0?若存在，求出點

的N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=a（竽+1）（其中a為非零實數(shù)）.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若g（x）-f（x）有兩個零點x”X2.

①求實數(shù)a的取值范圍；

2-z

②求證：xtx2>e（i+*2）.

請考生在第（22）,（23）兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時

用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑.

22.（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線Q：眩二;窘北（a為參數(shù)），在以。為極點，

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X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：pcos(9-*)=一苧，曲線C3：P=2sin0.

(1)求曲線。與C2的交點M的直角坐標(biāo)：

(2)設(shè)點48分別為曲線C2，C3上的動點，求|/用的最小值.

23.已知函數(shù)f(x)=|2x-f|+|x+3|.

(1)若對任意的在［-3,+8),/(x)24恒成立，求正實數(shù)f的最小值M；

(2)若ab>0,且(a+6)(a3+h3)=M,求證：az+b2<V2.

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2022年甘肅省張掖市高考理科數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合/={x[y=V%-1},B={x[y=/g(x-1)},4UB=()

A.{x\x>l}B.{x[x<l}C.{x|xWl}D.{x|x>1}

【解答】解：：集合N={Mr=VT=1}={x|xei},

B={x\y—lg(x-1)}—{x|x>1},

故選：D.

2.（5分）“0<5<空是"OVsinOV孕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：當(dāng)0Voy時，利用正弦函數(shù)尸sinx的單兩性知OVsinJV冬

當(dāng)0<sin6〈當(dāng)時，2kn<3<2kn+GZ）或2k+等VO<2kn+n（k6Z）,

綜上可知"OV。是"OVsin”唱"的充分不必要條件，

故選：A.

3.（5分）已知或幾（?一a）=/則sin2a=（）

774V24V2

A.-QB.-C.——D.±——

9999

【解答】解：sin2a=cos-2a）=1-2sin2（^-a）=

故選：B.

4.（5分）已知復(fù)數(shù)zo=占-1（i表示虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z滿足|z-zo|=l,則|z|的取值范圍

是（）

A.[0,1]B.[0,4]C.[0,2]D.[1,2]

【解答】解：，。=白-1=普磊-1=1+,1=，,

??|z-zo|=|z-1]=1,

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由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點在以(0,1)為圓心，1為半徑的圓上,

.?.0W|z|W2,

故選：C.

5.(5分)△N8C的內(nèi)角/,B,C所對邊分別為a,b,c,若6=3,c=2,△48C的面積

為2sin5,則cosZ=()

123

-氏-cV-7a-

A.3344

【解答】解：由題意得，b=3,c=2,△Z8C的面積為2sin5,

所以5〃csin8=2sin^,即5x〃X2Xsin8=2sin5,

因為siMWO,可得Q=2,

旅+。2—Q29+4-4_3

貝！JcosJ=-Zbc~2x3x2=4,

故選：D.

6.(5分)已知奇函數(shù)/G)在R上是增函數(shù)，g(x)=切(工).若a=g(-205),b=g(-

log20.2),c=g(3),貝！Ja,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【解答】解：因為奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，

所以g(x)=xf(x)為偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以。=g(-20,5)=g(20,5)=g(V2),

b=g(-log20.2)=g(log25),

c=g(3),

又因為1V或V2Vlog25V3,

所以g(V2)<g(log25)<g(3),

即a<b<c.

故選：A.

7.(5分)給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每

人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有()

A.12種B.18種C.24種D.64種

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①，將4人分成3組，有C42=6種分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，

第7頁共21頁

將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有422=2種情況，

此時有2X2=4種情況，

則有6X4=24種不同的安排方法；

故選：C.

8.（5分）已知5〃｝是等差數(shù)列,公差,d>0,其前〃項和為若02,。5+2,。17+2成等比

數(shù)列，Sn=則不正確的是（）

A.d=1B.aio=2O

2

C.=n+nD.當(dāng)〃22時，Sn>

【解答】解一由Sn=2,得如"="2空

42z

整理得利=〃。1,取〃=5,得〃5=5C”，

又。5=〃i+4d,??5〃]=〃i+4d,彳￥。1=",

?:42，45+2,417+2成等比數(shù)列,

???（。5+2）2=。2（。17+2）,即（5d+2）2=2?。?7d+2）,

整理得9/-164-4=0,解得d=2（d>0）,故力錯誤；

a\o=a\+9d=104=20,故B正確；

S=2九+"九=n24-n,故C正確；

n

□□

a222

當(dāng)〃22時，Sn-2n=n+n-2x2n=n-2n=（n—I）—1>0,

故。正確.

故選：A.

9.（5分）良好的睡眠是保證高中學(xué)生良好學(xué)習(xí)狀態(tài)的基礎(chǔ)，為了解某校高三學(xué)生的睡眠狀

況，該校調(diào)查了高三年級1200名學(xué)生的睡眠時間（單位：小時），經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這1200

名學(xué)生每天的睡眠時間X?N（8,1）,則每天的睡眠時間為5?6小時的學(xué)生人數(shù)約為

（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

（附：若X?N（\i,o2）,則P（|1-。WXW|i+。）《=0.6827,產(chǎn)（口-2。<XW|i+2。）

~0.9545,P卬-3。WXW+3。）弋0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

【解答】解：,:X?N（8,1）,

.,.“=8,。=1,

第8頁共21頁

P(5<X<6)=P(n-3o<^<n-2o)

1

=/[P(n-3。<%<n+3o)-P(n-2o<X<[i+2。)]

1

(0.9973-0.9545)=0.0214,

:高三年級有1200名學(xué)生，

,每天的睡眠時間為5~6小時的學(xué)生人數(shù)約為1200X0.0214=25.68=26.

故選：C.

10.（5分）將函數(shù)y=3sin（x-g）的圖象向右平移叩（0<（p<n）個單位長度后得到/（x）

的圖象.若/?）在（3號）上單調(diào)遞增，則叩的取值范圍為（）

66

717171717127rn27r

A。0B.-]C,[-,y]D,[-,y]

【解答】解：由題意知,/（x）=3sin（x-

當(dāng)W<xV等時，-（p<x-甲一看〈竽一華

V0<(p<TT,

A-n<-<p<0,-1-<p<^-

2n,n'

3一"2

解得25?

64

故選：B.

%2/

11.（5分）已知雙曲線C：靛一次=16>0）的左、右焦點分別為Q、尸2,過B

的直線/交雙曲線的右支于4、8兩點.點M滿足/8+AFi=2AM,月8%=0.若

cosN4"="，則雙曲線C的離心率是（）

V5―廣

A.—B.V3C.2D.V5

【解答】解：VAB+AF1=2AM,AM-BF^O,

為線段的中點，AM±BF\,即垂直平分尸出,

二所|=網(wǎng),設(shè)|/尸1|=〃?，則

又/I為直角三角形，

第9頁共21頁

11

9COS

：cos/-AFxB=^即〃％M=3

11

??.|FM=%7n,尸道|=今小，

由雙曲線定義可得M尸i|-M尸2|=2m\BFi\-\BF2\=2a,

：.\AF\\+\BF[\-|^|=4^,

??m~-8Q，

：.\F\B\=4a,\FzB\=2a,

又cos乙F2BFi=cosZ-ABFy=cos4AF1B=

|BF2|2+|M|2一尸同21

由余弦定理可得

2|8F211Ml41

4a24-16a2-4c21

2x2ax4a4’

/.C2=4(72,

「?離心率

e=—a=2.

故選：C.

12.(5分)已知四表示不超過的最大整數(shù)，如：[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3.若函數(shù)/

(x)=好妙,xE(0,1),則[V]=()

A.3B.2C.1D.0

第10頁共21頁

1

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/'（X）=xlnxfxG（0,1）,必有/（x）<0,

則OV/.）V1,故［/（x」=0,

故選：D.

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）拋物線Cf=4少的焦點坐標(biāo)為（0,2）,則C的準(zhǔn)線方程為尸-2.

【解答】解：拋物線C：￥=4。的焦點坐標(biāo)為（0,2）,

可得4=2.

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：歹=-2.

故答案為：y--2.

14.（5分）已知四個函數(shù)：①歹=-戈，②y=f，③y=2\?y=lnx,從中任選2個，則

事件“所選2個函數(shù)的圖像有且僅有一個公共點”的概率為

【解答】解：選①②時，畫出兩個函數(shù)的圖像，如下圖，

可以看出有兩個公共點，不符合要求；

選①③時，畫出兩個函數(shù)的圖像，如下圖,

第11頁共21頁

有且只有一個公共點，符合要求；

選①④時，畫出兩個函數(shù)的圖像,

選②④時，畫出兩個函數(shù)的圖像,

沒有交點，不符合題意;

第12頁共21頁

選③④時，畫出兩個函數(shù)的圖像，如下圖,

無有交點，不符合題意，

綜上，一共有6種情況，其中2種滿足要求，故所求事件事件為尸=觸］

o3

故答案為：

15.(5分)設(shè)a=(cosx-sinx)dx,則二項式(%2+右),展開式中的43項的系數(shù)為___

160.

【解答】解：Va=(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)=—2,

/.(x2+￡)6=(X2_|)6

.?2+1=《(/)6T.(一,)k=(一了.2〃.哈婢』

A12-3k=3

解得，k=3

???(-?2〃.C：=(-l)3?23?圖=-160.

故答案為：-160.

16.(5分)在△力8C中，46=4,4C=1,0為48邊上一點，■||/8+44C|=26，則尾?而

的最小值為——答

1T—J—

【解答】解：??；|48+44(?|=2陋，

：.\AB+4AC\=4^3,

第13頁共21頁

故4辟+84小4。+164c2=48,

又\AC\^\,

：.AB>AC=2,

?.?尸為邊上一點，

：.]^PB=xAB(OWxWl),

PB-PC=xAB*(PB-AB+AO

=xAB'(xAB-AB+AC)

=X2AB2-XAB2+XAB-AC

—16x2-16x+2x

=16%2-14x,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，

當(dāng)x=畬寸，PB-而取得最小值-需，

故答案為：—黑.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

laSnC-sinBsinA—sinB

17.(12分)在①sin2C-?遍cos2c=4sinC一遮，②6=務(wù)+ccos/,③-------——=———

這三個條件中任選一個，補充在下面橫線處，然后解答問題.

在△/8C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知.

(1)求角C的大小；

(2)若a+b=8,求△/8c的外接圓面積的最小值.

【解答】解：(1)若選①，因為sin2c-百cos2c=4sinC-VI

所以2sinCcosC-V3(1-2sin2C)=4sinC—V3,

可得2sinCcosC+2V3sin2C=4sinC,

由于C是三角形的內(nèi)角，所以sinC>0,

所以cosC+V^sinC=2,即sin(C+?)=1,

o

又ce(0,TT),

所以c=*

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若選②因為b=?+ccos4

ab^+c2—a2,

由余弦定理得可得而'

a2,|_/j2_c21

可得cosC=

2abT

又。6(0,7i),

所以c=*

jrsinC-sinBsinA-sinB

若選③，m因為---------=-7------，

ab+c

/?CL^~b

所以由正弦定理可得一=—,整理可得〃2+房一2=",

ac+b

Q2+/)2-c21

可得cosC=

2ab2'

Xce(0,TT),

所以c=*

C1

(2)因為——=2R,a+b=8,cosC=4，

sinCz

所以c?=(a+b)2-lab(Z+cosC)=64-3ab,

a+b=822V^,可得16,

可得C?，16,可得Cmin=4,

所以Rnun=警，

所以(S外接圓)，而尸兀碌”=等.

18.(12分)中華民族是一個歷史悠久的民族，在泱泱五千年的歷史長河中，智慧的華夏民

族在很多領(lǐng)域都給人類留下了無數(shù)的瑰寶.比如，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中：十進位制記數(shù)法和零

的采用；二進位制思想起源；幾何思想起源：勾股定理(商高定理)：幻方；分數(shù)運算法

則和小數(shù)；負數(shù)的發(fā)現(xiàn)；盈不是術(shù)；方程術(shù)；最精確的圓周率一一“祖率”；等積原理一

-“祖眶”原理；二次內(nèi)插法；增乘開方法；楊輝三角；中國剩余定理；數(shù)字高次方程

方法一一“天元術(shù)”；招差術(shù)……，這些累累碩果都是華夏民族的祖先們?yōu)槿祟惖闹腔蹖?/p>

庫留下的珍貴財富.近代中國數(shù)學(xué)也在一直向前發(fā)展，涌現(xiàn)了蘇步青、華羅庚、陳省身、

吳文俊、陳景潤、丘成桐等國際頂尖數(shù)學(xué)大師，他們在微分幾何學(xué)、計算幾何學(xué)、中國

解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自安函數(shù)論、整體微分幾何、幾何定理機械化證明、

拓撲學(xué)、哥德巴赫猜想研究、幾何分析等諸多領(lǐng)域取得了杰出成就.這些數(shù)學(xué)成就和數(shù)

第15頁共21頁

學(xué)大師激勵了一代代華夏兒女自強不息，奮勇前進.為增強學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)學(xué)

生熱愛科學(xué)、團結(jié)協(xié)作、熱愛祖國的優(yōu)良品德，以及培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，改變學(xué)生的

思維習(xí)慣，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，某中學(xué)在該校高一年級開設(shè)了選修課《中國數(shù)

學(xué)史》.經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，為了解同學(xué)們在數(shù)學(xué)史課程的學(xué)習(xí)后，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否濃

厚，該校隨機抽取了200名高一學(xué)生進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

對數(shù)學(xué)興對數(shù)學(xué)興合計

趣濃厚趣薄弱

選學(xué)了《中國數(shù)學(xué)史》10020120

未選學(xué)《中國數(shù)學(xué)史》Xyn

合計160m200

(1)求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,修m,〃的值，并確定能否有85%的把握認為對數(shù)學(xué)興

趣濃厚與選學(xué)《中國數(shù)學(xué)史》課程有關(guān)；

(2)在選學(xué)了《中國數(shù)學(xué)史》的120人中按對數(shù)學(xué)是否興趣濃厚，采用分層隨機抽樣的

方法抽取12人，再從12人中隨機抽取3人做進一步調(diào)查.若初始總分為10分，抽到的

3人中，每有一人對數(shù)學(xué)興趣薄弱減1分，每有一人對數(shù)學(xué)興趣濃厚加2分.設(shè)得分結(jié)果

總和為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:(a+b)(a+c)(c+dXb+dyn^a+b+c+d-

P(爛20.1500.1000.0500.0250.010

ko)

ko2.0722.7063.8415.0246.635

【解答】解：(1)由題意可得x=60,y=20,加=40,〃=80,

斫以曰_兀(ad-bc)2_200x(100x20—20x60)2_25

如以K—(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)-160x40x120x80-12?4必＞&u/2,

故有85%的把握認為對數(shù)學(xué)興趣濃厚與選學(xué)《中國數(shù)學(xué)史》課程有關(guān)：

(2)在選學(xué)了數(shù)學(xué)史的20人中按對數(shù)學(xué)是否興趣濃厚，采用分層隨機抽樣的方法抽取

12人，

可知其中對數(shù)學(xué)興趣濃厚的有10人，對數(shù)學(xué)興趣薄弱的有2人，

再從12人中抽取3人，當(dāng)這3人中恰好有2人對數(shù)學(xué)興趣薄弱時，X=10,

當(dāng)這3人中恰好有1人對數(shù)學(xué)興趣薄弱時，X=13,

第16頁共21頁

當(dāng)這3人都對數(shù)學(xué)興趣濃厚時，X=16,

所以X的可能取值為10,13,16,

,CgC九1

則尸（X=10）=號^=言，

C12ZZ

、C7Cw9

P（X=13）=-^=另，

P（X=16）*=裊，

故X的分布列為:

X101316

P196

222211

iqA29

所以E(X)=1Ox22,4-13x4-16xyy=

19.(12分)如圖在四棱錐A-BCDE中,CD〃EB,CD=*EB=1,CBLBE,AE=AB=BC=

V2,AD=y/3.。是/E的中點.

(I)求證：。。〃平面/8C；

(II)求加與平面/8C所成角的正弦值.

【解答】（I）證明：取中點尸，連結(jié)CF、OF,

'：OF//EB,CD//EB,：.CD//OF.又?：CD=OF,二四邊形。尸CD為平行四邊形，

J.DO//CF,而CFu平面/8C,二。?！ㄆ矫?BC.

（II）解：取￡8中點G,連結(jié)/G、DG,-：AE=AB=V2,BE=2,

為等腰直角三角形，；./G=l,

又,：AD=W,DG=BC=&,：.AG2+DG2=DA2,J.DGVAG,

又DGLBE,AGC\BE=G,所以。G_L平面/BE,

以G為原點，以GB,GA,GO方向分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐

標(biāo)系.

第17頁共21頁

G(0,0,0),A(0,1,0),D(0,0,V2),￡(-1,0,0).40=(0,-1,企),

而ZEJ_平面/8C,故平面/8C的一個法向量￡=族=(一1,-1,0)

sind=\cos{AD,AE)\=\-4—4-I=^=$-

\AD\-\AE\46e>

V6

所以。/與平面/8C所成角的正弦值為高.

6

20.(12分)已知雙曲線C：*翁=1(40,b>0)的左頂點為4(-2,0),右焦點

為凡點8在C上.當(dāng)8尸，/尸時，\AF\^\BF\.不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交

于P，0兩點.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線尸。過點?在x軸上是否存在點N,使得x軸平分/PN。？若存在，求出點

的N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【解答】解：(I)依題意，a=2,a+c=~,b2=c2-a2,

解得2c-8=0,得c=4,序=12,

-C-爛—g=1

412L

(2)假設(shè)存在N(?,0),F(4,0),設(shè)P(xi,川)，Q(X2,”)，

x=my+4

設(shè)直線P。：x=my+4(mKO),則/y2,得(3加2-1)f+24叩+36=0,

(T-T2=1

3m2-1H0

A=(24m)2-4x36(3*-i)>o

則《24m,且(加yi+4)(加及+4)>16,

加+先?萬口

36

*二赤』

3m2-8m

即m2(yi~^2)+4/7?(yi+)2)>0,即石

依題意,kpN+kQN=0,

yiy?

即----+-----=0,Vi(my2+4_ri)+y2^y^+4-n)=0,

x^-n%2~~n

2my/2+(4—n)(yi+力)=0，2m-4=0，

3恐j-1m

即3陽-〃？(4-〃)=0,

;加K0,n=\f

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故存在N(1,0).

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=a(竽+1)(其中。為非零實數(shù)).

(1)討論/(X)的單調(diào)性：

(2)若g(x)=ex-f(x)有兩個零點X2.

①求實數(shù)。的取值范圍；

②求證：％1%2>。2一(勺+%2).

【解答】解：(1)/⑺=磯1；產(chǎn)),

若。>0,則當(dāng)尤(0,e)時，一竺>0,f(X)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)(e,+8)時，與竺<0,/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

若°<0,則當(dāng)xe(0,e)時寧?>0,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

1—Inx

當(dāng)(e,+8)時，-J-<0,f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

(2)由已知得g(x)="一噌葉曾=。有兩個不等的正實根,

所以方程Unx+x)=0,即xe"-(x，)=0,

即(xerv)=x/有兩個不等正實根.

①設(shè)則〃/〃/=，(>0)有兩個不等根，

又a為非零實數(shù)，即蛆=工有兩個不等根，

ta

由(1)知，函數(shù)y=色竺在(0,e)遞增，在(e,+~)遞減，有極大值士

xe

又X—O時，，f(%)-8；、f+8時，f(x)-0.

/nt111

若——=一有兩個不等根，則ov5<3

taae

即實數(shù)。的取值范圍是(e,+8)