第六講熱量傳遞過(guò)程選論

第六講熱量傳遞過(guò)程選論第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2不可壓縮層流下的

穩(wěn)態(tài)傳熱過(guò)程

本課討論運(yùn)用變化方程組求解非等溫系統(tǒng)中的多維傳遞問(wèn)題，包括動(dòng)量傳遞和能量傳遞。通過(guò)典型問(wèn)題的示例，主要介紹兩種求解技巧：

漸近解方法。

Sturm-Liouville本征值問(wèn)題的級(jí)數(shù)解方法。第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

Sturm-Liouville本征值問(wèn)題

的級(jí)數(shù)解方法（1）Sturm-Liouville

定理：(1)對(duì)于下列形式的常微分方程

如果系數(shù)函數(shù)k(x)、q(x)和p(x)恒為正值，且k(x)、k’(x)、q(x)和p(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則必然存在無(wú)窮多個(gè)特征值(a.1)第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

Sturm-Liouville本征值問(wèn)題

的級(jí)數(shù)解方法（2）當(dāng)?shù)扔谌魏我粋€(gè)特征值n時(shí)，式(a.1)必然具有一個(gè)非平凡解fn(x)滿足相應(yīng)的邊界條件。該fn(x)被稱為對(duì)應(yīng)于n的特征函數(shù)。(2)不同的特征函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上加權(quán)正交：(a.2)第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

Sturm-Liouville本征值問(wèn)題

的級(jí)數(shù)解方法（3）(3)

任何滿足式(a.1)中邊界條件并在閉區(qū)間[a,b]上具有分段連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都可以展開(kāi)為特征函數(shù)的絕對(duì)一致收斂級(jí)數(shù)：(a.3)展開(kāi)式中的系數(shù)可由下式計(jì)算：(a.4)第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（1）問(wèn)題描述：

一股牛頓流體流經(jīng)一根長(zhǎng)的圓直管內(nèi)。從遠(yuǎn)離管進(jìn)口的某個(gè)位置起，一個(gè)電加熱線圈設(shè)置在管壁外并通過(guò)恒定電流加熱。

要求解析求解流體溫度沿管長(zhǎng)和半徑方向的分布。第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（2）1.物理模型:常物性;充分發(fā)展的穩(wěn)態(tài)層流;穩(wěn)態(tài)傳熱;恒定壁面熱通量;軸向熱傳導(dǎo)可忽略;周向均勻;粘性耗散可忽略;不存在內(nèi)熱源。第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（3）2.數(shù)學(xué)模型:1) 選用柱坐標(biāo)系，令z-軸與管道中心線重疊且設(shè)加熱起始點(diǎn)為z=0

。2)列出以下簡(jiǎn)化:(1)根據(jù)物理模型(1)和(2)兩點(diǎn)第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（4）(2)根據(jù)物理模型第(3)點(diǎn)(3)根據(jù)物理模型第(5)點(diǎn)(4)根據(jù)物理模型第(6)點(diǎn)(5)根據(jù)物理模型第(7)點(diǎn)(6)根據(jù)物理模型第(8)點(diǎn)(7)根據(jù)物理模型第(1)點(diǎn)第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（5）3) 化簡(jiǎn)柱坐標(biāo)系下的能量方程[式(B.9-2)]舍棄等于零的項(xiàng)，該式簡(jiǎn)化為第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（6）把簡(jiǎn)化(1)代入上式，再結(jié)合物理模型(4)，我們得到了此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：(10.8-12)第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（7）3.

求解數(shù)學(xué)模型把數(shù)學(xué)模型無(wú)因次化

取R作為特征長(zhǎng)度是很自然的選擇。于是有

以及第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（8）邊界條件

可以重新整理寫(xiě)為令邊界條件和變?yōu)檫吔鐥l件可被齊次化，只需令第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（9）就有上式中的無(wú)因次準(zhǔn)數(shù)可被合并到*中以使控制方程更為簡(jiǎn)單?？刂品匠套?yōu)榈谑捻?yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（10）(10.8-19)式(10.8-12)簡(jiǎn)化為第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（11）式(10.8-19)在

=

1處具有非齊次邊界條件，因而不能將變量分離法直接應(yīng)用于它。由于忽略了軸向熱傳導(dǎo)，可以合理地推測(cè)在遠(yuǎn)離加熱起始點(diǎn)的下游區(qū)域的溫度場(chǎng)具有充分發(fā)展的分布剖形：在恒定管壁熱通量的作用下，流體的溫度正比于軸向距離z線性升高，但沿半徑方向的無(wú)因次溫度分布曲線的形狀保持不變。2)

長(zhǎng)距離時(shí)的漸近解第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（12）這個(gè)推測(cè)可以用數(shù)學(xué)方式表示為(10.8-23)將式(10.8-23)代入式(10.8-19)

，得到(10.8-26)第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（13）

對(duì)式(10.8-26)積分兩次，就得到該方程的通解為(10.8-27)根據(jù)邊界條件，C1=0。根據(jù)邊界條件B.C.2，

C0=4。于是這個(gè)解并不滿足邊界條件B.C.1，因此不能夠根據(jù)B.C.1確定積分常數(shù)C2。第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（14）為了確定C2，我們對(duì)z=0到z=z管段內(nèi)的流體做熱量衡算：(10.8-31)即可得

于是第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（15）3)完全解(12.2-4)上述長(zhǎng)距離漸近解滿足方程(10.8-19)和=1處的邊界條件B.C.2，因此可以用它來(lái)使方程(10.8-19)的邊界條件B.C.2齊次化。

令將式(12.2-4)代入式(10.8-19)，我們得到d的數(shù)學(xué)模型如下：第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（16）(b.1)可以看見(jiàn)，式(b.1)左側(cè)的算子僅與自變量有關(guān)而右側(cè)的算子僅與自變量有關(guān)。因此我們可以運(yùn)用變量分離法求解此方程。第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（17）(12.2-8)令可以看見(jiàn)，式(b.2)的等號(hào)左側(cè)是的函數(shù)而右側(cè)是的函數(shù)。由于是和彼此獨(dú)立的自變量，所以式(b.2)成立的唯一途徑是等號(hào)兩側(cè)都等于同一個(gè)常數(shù)（稱為變量分離常數(shù)）。將其代入式(b.1)

，我們有用除以上式的等號(hào)兩側(cè)，得(b.2)第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（18）(12.2-9*)即式(12.2-9*)的通解是此式可以分離成兩個(gè)常微分方程：(12.2-10*)因?yàn)楫?dāng)→時(shí)的值應(yīng)該有限，所以必然有C

0，記為C=-c2。第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（19）于是令=2和=c2/4，式(12.2-10)可改寫(xiě)為(12.2-10)對(duì)比式(a.1)，此方程是一個(gè)Sturm-Liouville問(wèn)題。(b.4)(b.3)第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（20）遵照Sturm-Liouville定理，此方程必然存在無(wú)窮多個(gè)本征值k和本征函數(shù)k，而此方程的任何解都可以展開(kāi)為這些特征函數(shù)的級(jí)數(shù)。于是方程(b.1)的解可以表示為第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（21）展開(kāi)式中的系數(shù)Bk可以根據(jù)式(b.1)的邊界條件B.C.1確定：而特征值k和特征函數(shù)k本身則需通過(guò)在相應(yīng)的邊界條件下求解式(b.4)獲得。R.Siegel曾經(jīng)求解此問(wèn)題并獲得k等于1到7的結(jié)果。第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（22）4.結(jié)果分析1)完整解

Siegel

的結(jié)果如下表kck2k(1)Bk125.67960.4925170.403483283.8618-0.395508-0.1751113174.1670.3458720.1055944296.536-0.3140470.07328045450.9470.2912520.05503576637.387-0.2738080.0434837855.8500.2598520.035597第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（23）由表可見(jiàn)，隨著k值增加，ck2迅速增大，從而只要不是非常小，exp(-ck2)將快速收斂。例如，在=0.05處，此結(jié)果表明當(dāng)

0.05時(shí)，取d=

d1的誤差小于2%。第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（24）2)長(zhǎng)距離(大值)下的漸近解在=0.1處，此結(jié)果表明當(dāng)

0.1時(shí)，取

=

的誤差小于2%。第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（25）取接近層流上限的條件，Re=2000：對(duì)于空氣，

Pr=0.7，

z/R=140；對(duì)于水，

Pr=2.2(20

C)，

z/R=440。無(wú)因次距離

0.1，所對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離是多少呢？第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解

(1)對(duì)于非常小的值(距加熱起始點(diǎn)非常短的距離)

，完整解中的高次項(xiàng)就不能被省略。高次項(xiàng)使解的公式復(fù)雜而不便于應(yīng)用。由于這個(gè)原因，人們又發(fā)展了適用于進(jìn)口區(qū)的漸近解，其原理是基于在小值下熱量從壁面向流體中傳遞的距離(熱滲透深度)很小。第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解

(2)1)物理模型所采用的簡(jiǎn)化(1)幾何結(jié)構(gòu)的線性化

使用平壁面替代圓柱壁面。(2)半無(wú)窮空間近似

流體的外邊界被延拓到距壁面無(wú)限遠(yuǎn)處。(3)速度分布剖形的線性化在壁面處將速度分布函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，略去高次項(xiàng)，僅保留線性部分。第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解

(3)2)化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型(1)選用直角坐標(biāo)系，令y代表距壁面距離。(2)線性化的速度分布表達(dá)式為(3)能量方程簡(jiǎn)化為(12.2-13)第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解

(4)將此式等號(hào)兩側(cè)同時(shí)對(duì)y求導(dǎo)，得整理為(12.2-14)根據(jù)傅立葉定律我們有第三十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解

(5)我們有為使數(shù)學(xué)模型無(wú)因次化，令(12.2-15)邊界條件為(12.2-16)第三十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解

(6)選擇一組特征量(1)導(dǎo)出組合變量定義以下無(wú)因次變量3)用變量組合法求解式(12.2-16)

可被重寫(xiě)為此方程的相似解可表示為第三十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日改變{*,*}

而使{0,0}保持常數(shù)；改變{0,0}而使

{*,*}保持常數(shù)。

§12.2-2具有恒定壁面