第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第一頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日注：一.協(xié)方差1.定義1.量稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差，記為：即：協(xié)方差中當(dāng)X=Y時(shí)即為方差的定義，即：故方差是協(xié)方差的特例。2.協(xié)方差的簡(jiǎn)單性質(zhì)是常數(shù)第二頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日顯然，若X與Y相互獨(dú)立則：Cov(X,Y)=03.計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得：證明：注：4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系第三頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日

若X1,X2,…,Xn兩兩獨(dú)立，上式化為：協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)的概念。.問題：例如：第四頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日稱為隨機(jī)變量二.相關(guān)系數(shù)1.定義2.量(無(wú)量綱)X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為：即：2.相關(guān)系數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)存在常數(shù)使得：X和Y以概率1線性相關(guān)第五頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知，對(duì)任意實(shí)數(shù)令，則上式為：證明：有：由于方差D(Y)是正的，故必有：所以證得：第六頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日由方差與協(xié)方差協(xié)關(guān)系有：因此有：證明：存在常數(shù)使得：與是標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，故其均值為0，方差為1第七頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日由方差的性質(zhì)，可知:整理得：當(dāng)時(shí)有:為常數(shù)其中：第八頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日同理，當(dāng)時(shí)也可推出此結(jié)論。因此得證。又所以：第九頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日于是得：所以：即：注：X和Y獨(dú)立時(shí)，

但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)=0，故但并不一定能推出X和Y獨(dú)立。第十頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日例1.設(shè)在上服從均勻分布，即：驗(yàn)證：與是不相關(guān)的，但不是相互獨(dú)立的。證明：由已知，X,Y的邊緣概率密度為:與第十一頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日又因?yàn)椋猴@然，所以：與是不獨(dú)立的所以：從而有：于是得：故得：是不相關(guān)的。奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為0第十二頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。一般：故有：若X與Y相互獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)；但反之不真。但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y相互獨(dú)立X與Y不相關(guān)1.2.注:相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.若考慮以X的線性函數(shù)a+bX來近似表示Y，以均方誤差來衡量以a+bX近似表示Y的好壞程度。第十三頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日則：e

值越小表示a+bX

與Y的近似程度越好.

現(xiàn)用微積分中求極值的方法，求出使e

達(dá)到最小時(shí)的a，b

：e=E{[Y-(a+bX)]2}

=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)令：第十四頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日解得：這樣求出的最佳逼近為：L(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是：則Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系;可見：則Y與X無(wú)線性關(guān)系;的值越接近于1，Y與X的線性相關(guān)程度越高;若若若則當(dāng)：的值越接近于0，

Y與X的線性相關(guān)程度越弱.第十五頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日例2.設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，它的概率密度為：求：X與Y的相關(guān)系數(shù)解:由已知，X,Y的邊緣概率密度為:其數(shù)學(xué)期望與方差分別為：第十六頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日而：于是：結(jié)論：其積分過程見教材P132~P