一元一次不等式組解題技巧

一一不式解技一重難提重點(diǎn)：理解一元一次不等式組的概念及解集的概念。難點(diǎn)：一元一次不等式組的解集含義的理解及一元一次不等式組的幾個(gè)基本類(lèi)型解集的確定。二、學(xué)習(xí)導(dǎo)：1、幾個(gè)一元一次不式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。但這“幾個(gè)一元一次不等式”2前面學(xué)習(xí)過(guò)的二元一次方程組是由二個(gè)一次方程聯(lián)立而成，在解方程組時(shí)，兩個(gè)方程不是獨(dú)立存在的（代入法和加減法本是獨(dú)立的，而且組成不等式組的不等式的個(gè)數(shù)可以是三個(gè)或多個(gè)。（課本上主要學(xué)習(xí)由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組）。3在不等式組中，幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的一元一次不等式組的解集。（注意借助于數(shù)軸4一元一次不等式組的基本類(lèi)型（以?xún)蓚€(gè)不等式組成的不等式組為例）類(lèi)型（設(shè)a>b）不等式組的解集）（同大型，同大取大）（同小型，同小取?。ㄒ淮笠恍⌒?，小大之間）（比大的大，比小的小空集）無(wú)解

數(shù)軸表示三、一元次不等式組的解法例1.解不等式組

并將解集標(biāo)在數(shù)軸上分析：解不等式的基本思路是求組成這個(gè)不等式組的各個(gè)不等式的解集的公共部分，在解的過(guò)程中各個(gè)不等式彼此之間無(wú)關(guān)“組”的角度去求“組”的解集，在此可借助于數(shù)軸用數(shù)形結(jié)合的思想去分析和解決問(wèn)題。步驟：解：解不等(1)得x>（1）分別解等式組的每解不等式(2)x≤4

一個(gè)不等式∴（2求組的解集（借助數(shù)軸找公共部分）（利用數(shù)軸確定不等式組的解集）∴原不式組的解集為<x

≤

（）寫(xiě)出等式組解∴（）將解集在數(shù)軸上例2.不等式組解：解不等式(1)得x>-1,解不等式(2)得x

≤解不等式(3)得x<2,∴∵在軸上表示各個(gè)解為：∴原不式組解集為-1<x

≤注：助數(shù)找公共解，應(yīng)選圖陰影部分，解集應(yīng)用小于號(hào)連接，小到大排，解集不括1而包1（2）來(lái)畫(huà)。例3.不等式解：解不等(1)得x>-1,解不等式(2),

∵≤5,∴≤≤5,∴將(3)(4)在數(shù)軸上示出來(lái)如，∴原不式組解集為-1<x

≤

∴四一一不式的用。例4.不等式

的正整數(shù)解。步驟：解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3,1、先求出不式組解不等式

≤1

得x

≤

的解集?！?、在集中找出∴原不式組解集為x

≤

所要求的特殊解，正整數(shù)解?！噙@個(gè)等式組的正整數(shù)解1、2。例5m為何整時(shí)，方程組

的解是非負(fù)數(shù)？分析：本題綜合性較強(qiáng)，注意審題，理解方程組解為非負(fù)數(shù)概念，即。先解方程組用m的代數(shù)表示x,再件列出不等組尋求m的取值圍，最后切勿忘記確定m整數(shù)值。解：解方程組∵方程

得的解是非負(fù)，∴即解不等式組∴此不式組解集為≤m≤,又∵m

為整數(shù)，∴

或m=4。例6解不等式

<0.分：“這分可看成二個(gè)數(shù)“商此題轉(zhuǎn)化求商為負(fù)的問(wèn)題兩個(gè)的商為負(fù)數(shù)這兩個(gè)數(shù)異或(2)

因此，本題轉(zhuǎn)化為解個(gè)不等式。解∵<0,∴

或(2)由(1)∴無(wú)解，由(2)

∴∴原不式的解為-<x<.例7

.

解不等式-3

≤3x-1<5.解（）:原等式相當(dāng)于不等式組解不等式組

≤

，∴原不等式集為

≤解（）:將不等式的兩邊和中間都上1，-2將這個(gè)不等的兩邊和間都除以得，

≤3x<6,-

≤

∴原不式解集為-

≤例

x

取哪些整數(shù)，代數(shù)式

與代數(shù)式

的差不小于6小于8。分析：(1)不小于”即6,(2)

由題意轉(zhuǎn)化不等式問(wèn)解決，解：由題意可得6

≤-<8,將不等式轉(zhuǎn)為不等式，∴∴解不式(1)得

≤解不等式(2)得,∴∴原不等式組解集<x

≤∴-<x≤6

的整數(shù)解為±3,±2,±0,4,∴當(dāng)x取±3，±，±，0，4，5，6時(shí)個(gè)代數(shù)式不小于6而小8。例9.一個(gè)兩數(shù)，它十位的數(shù)比個(gè)上的數(shù)小2如果這兩位數(shù)大于20并且小于40求這個(gè)兩數(shù)。分析：這題是一個(gè)數(shù)字應(yīng)用題，題目中既含有相等關(guān)系，又含有不等關(guān)系，需運(yùn)用不等式的知識(shí)來(lái)解決。題目中有兩個(gè)主要未關(guān)系：個(gè)位的數(shù)十位上數(shù)+2,一個(gè)等關(guān)系：原位數(shù)40。解法（1）:設(shè)位上的數(shù)為x,則個(gè)上的數(shù)為(x+2),原位數(shù)為10x+(x+2),由題意可得20<10x+(x+2)<40,解這個(gè)不等得，<x<3,∵x

為正整數(shù)，

<x<3

的整數(shù)為x=2或x=3，∴當(dāng)x=2時(shí)，∴當(dāng)x=3時(shí)，∴答：這個(gè)兩數(shù)為24或35解法（2）:設(shè)位上的數(shù)為x,個(gè)位的數(shù)為y,則兩位數(shù)為10x+y,由題意可得

（這是由一方程和一不等式構(gòu)的整體，既不是方程組也不是不等將(1)代入(2)得，20<11x+2<40,解不等式得<x<3,∵x

為正整數(shù)，<x<3

的整數(shù)為x=2或x=3,∴當(dāng)x=2時(shí)，y=4∴當(dāng)x=3時(shí)，

∴答：這個(gè)兩數(shù)為24或35解法（3:可過(guò)“心算直接求解方法如下：既然這個(gè)兩位數(shù)大于20且小于40所以它十上的數(shù)只是2時(shí)，個(gè)位數(shù)5，以原兩數(shù)分別為24或35。例10.解下列不等式：(1)||

≤

(2)<0;(3)(3x-6)(2x-1)>0.（1）析這個(gè)不等不是一一次不等式，因此，不用解一元次不等式方法來(lái)解但由絕對(duì)值的知識(shí)若|x|>a,(a>0)則x>a或x<-a.解||

≤

-4

≤≤4,∴由絕值的定義可轉(zhuǎn)化為：即解不等式(1)，去分：3x-1

≥

解不等式(去分母3x-1

≤8,移項(xiàng)：

≥

移項(xiàng)：3x

≤8+1,合并同類(lèi)項(xiàng)3x系數(shù)化為1，∴

≥

≥-,

合并同類(lèi)項(xiàng)3x≤9,系數(shù)化為1∴x≤3,∴，∴原不式的解集

≤≤3.（2析不式的左邊

是兩個(gè)一次的比的形（也以后要講的分式形式右是零它以理由除法的符法則可知只要被除與除式異號(hào)，商就為負(fù)值。因此這不等式的解問(wèn)題，以轉(zhuǎn)化為一元一次解∵<0,∴3x-6

與2x+1異號(hào)，即：I

或II解I的不等組得,不等式組解，解II的不等式組得,不等式的解集為-<x<2,∴原不式的解集為-<x<2.（3）析不等式的邊是3x-6)(2x+1)兩個(gè)一次式積的形式右邊是零它可以理為“當(dāng)x取何值，只要兩個(gè)因同號(hào)，積為正值。此這個(gè)不等式的求解問(wèn)題，也可以化為解一一次不等組的問(wèn)題解∵(3x-6)(2x+1)>0,或II即I

∴(3x-6)

與(2x+1)同號(hào)，解I的不等組得,不等式組解集為x>2,解II的不等式組得,不等式組的集為x<-∴原不式的解集為x>2或x<-.說(shuō)：ab>0(或>0)與或<0）這類(lèi)不等式可以轉(zhuǎn)化不等式組的形式，進(jìn)行分類(lèi)討論。這類(lèi)問(wèn)（1）ab>0(或>0),

∴

、b同號(hào)，即I

或II,再分別不等式組III如例10的（3）題。（2）ab<0或<0）∵ab<0(

或<0),

∴

、b異號(hào)，即I

或II,再分別解不式組I和等式組II。例11.已知整數(shù)x滿(mǎn)足等式3x-4

≤6x-2

和不等式-1<并且滿(mǎn)足方3(x+a)=5a-2試求代數(shù)式分析：同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)不等式的解的值實(shí)是將這兩個(gè)不等式組成等式組，個(gè)不等式的解集中整數(shù)為x值。求出a，再將a代入數(shù)式5a

即可。解∵整x滿(mǎn)3x-4

≤

和-1<∴x為解不等式(1)，得

≥-,

，解集的整數(shù)值，解不等式(2)得，x<1,∴

的解集為-

≤∴-≤x<1滿(mǎn)足方程3(x+a)=5a-2,的整數(shù)x為x=0,又∵x=0∴將x=0代入3(x+a)=5a-2中

∴

∴a=1,當(dāng)a=1時(shí)，5a

3

-=51

-=4,答：代數(shù)式5a

3

-

的值為4.。測(cè)選題1．解下列不等組,結(jié)果正確是（）不等式組不等式組不等式組不等式組

的解集是x>3的解集是-3<x<-2的解集是x<-1的解集是-4<x<22．不等式組

的解集是（）A、x>1Bx<3C、x<1或x>3D1<x<33．不等式組

的解集是（）A、x<1Bx>1C、x<2D無(wú)解4．如果不等式

有解，那么m取值圍是：（）A、m>8Bm≥8C、m<8Dm≤85．使兩個(gè)代數(shù)x-1與x-2的值的符相同的取范圍是（）A、x>2Bx<1C、x<1x>2D、x>1或x<2答與析答：、D2D3、4、C5、C解：2.分：由（）得x<3由（2得∴1<x<3

答案：3.分：先解不等，看是否解，由（1）得x<1，（）得x>2，者無(wú)公部分，所選D。答案D5.因與x-2的值的符號(hào)同，所以或可求得x>2或x<1.所以選C.注比較簡(jiǎn)，應(yīng)該全部確。一一不式它解考掃．了解一元次不等式概念．．會(huì)用不等的基本性解一元一不等式．名師精講一元一次方：只含有個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不于0的不式，叫一元一次不等式其標(biāo)1．一元一次不式經(jīng)過(guò)去母、去括、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等變形后，能為ax>b或ax<b，中x是未知，2．一元一次不式的解法驟與解一一次方程類(lèi)似，基本思想是化為最形式（ax>b或ax<ba

≠）后都乘以或除同一個(gè)負(fù)時(shí)，不等的方向必須改變．中考典例1．解不等式–(x–1)<1

，并把它的集在數(shù)軸表示出來(lái)考點(diǎn)：一元一次不等式的解法評(píng)析：一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法相類(lèi)似，只要注意不等式性質(zhì)3的運(yùn)用該題可先去母（不要乘后得出解集解題過(guò)程下：解：原不等式化為：

–22(x–1)<2x

–22x+2<2即：-＜∴x>2

．它在數(shù)軸上表示為：2．（河北?。┮淮巍叭俗匀弧敝?jìng)賽中,競(jìng)試題共有道題,每題都出4答案,其中只有一答案分,不選或選倒扣2分．果一個(gè)學(xué)在本次競(jìng)賽中的得分不低于60分,那么他至少選對(duì)________________題考點(diǎn)：一元一次不等式的應(yīng)用評(píng)析：可設(shè)選對(duì)x，那么錯(cuò)或不選共有（

–x

）道題。根題意，可列不等式4x

–2(25–≥60

，解說(shuō)明：列不等式解的應(yīng)用題，一般所求問(wèn)題有至少、或最多、或不低于等詞的要求，要正確理解這幾個(gè)詞的含義．3．商場(chǎng)出售的A型冰每臺(tái)售價(jià)元每日耗電為1度，而B(niǎo)型節(jié)能冰箱臺(tái)售價(jià)雖比A型冰箱出10%售（打一折的售價(jià)為價(jià)的

），問(wèn)商場(chǎng)至少打幾折，消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)才合算（按使用期為年，每年365天，每度電0考點(diǎn)：一元一次不等式的應(yīng)用評(píng)析列一元一次不等式解應(yīng)用題首先要弄清題意，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)．消費(fèi)者要型箱10年的花費(fèi)用比B型少才+365×10××0.4010年的費(fèi)用為（1+10%+365×10×0.55×0.40根題意得不式2190×

+365×0.40

解得x8，所以至少打折，解題過(guò)如下：解：設(shè)商場(chǎng)將A型冰箱打x出售，消者購(gòu)買(mǎi)才算依題意，有2190+36510×1×0.4

≤

×(1+10%)+365×10×0.550.4即219ｘ＋1460≤解這個(gè)不等，得x

≤

＋803答：商場(chǎng)應(yīng)A型冰箱至打八折出售消費(fèi)者購(gòu)才合算．真題專(zhuān)練1．不等式7

–2x>1

的正整數(shù)解

．2．若代數(shù)式+2x的值大于代數(shù)8

–

的值，那么x的正數(shù)解是

．3．恩格爾系數(shù)示家庭日飲食開(kāi)支家庭經(jīng)濟(jì)總收入的比例，它反映了民家庭的際生活水，各種類(lèi)型家家庭類(lèi)型

貧困家庭

溫飽家庭

小康家庭

發(fā)達(dá)國(guó)家家最思格爾系數(shù)75%以

50%—75%40%—49%20%—39%(n)則用含n的不式表示小家庭的恩爾系數(shù)為_(kāi)___________．4．（杭州市）的2倍減的差不大于1列出的等式是（）A、2x

–≤1

B、2x

–31

C、2x

–3

＜1D、2x

–3

＞15．（內(nèi)江市）不等式≥6．（安徽?。┎坏仁?x

–2(12x)≥

，并把解集數(shù)軸上表出來(lái)．7．（陜西?。┠吵鞘械姆N出租汽起價(jià)是元（即駛路程在5km以?xún)?nèi)都需10元車(chē)費(fèi)），達(dá)到或超過(guò)1km計(jì)）．在某人這種出租汽車(chē)從甲地到地，支付費(fèi)17．元，甲地到乙地的路大約是多少？答案：1、1，2；2、1，2，3（提示：根據(jù)意得不等

+2x

≤–

解不等式得x

≤

，∴正整數(shù)解1，，3）；3、40%

≤n≤A；解去分母8x

–4––15x–移項(xiàng)合并同項(xiàng)得–27x≥–54解得x≤26、解3x

–2+4x≥1

，7x

≥3

，x

≥

．所以

原不等式的解集為x≥

．在數(shù)軸上表示為：7、解設(shè)從甲到乙地的路大約是xkm，據(jù)題意，16<10+1.2(x

–5)≤解此不等式，得10<x

≤答：從甲地乙地的路大于10km，于或等于11km．一一不式和的法考掃．了解一元次不等式及其解集概念．．掌握一元次不等式的解法，用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解．名師精講1．一元一次不式組及其集：幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組．幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分．求不等式的解集的程，叫做不等式組．解一元一不等式組步驟：（1）分別求出不式組中各不等式的解集；（2）利用數(shù)軸求這些不等的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集．中考典例1．不等式組考點(diǎn)：一元一次不等式組的解法．

的解集是____________．評(píng)析：分別求出不等式組中的每一個(gè)不等式的解集，解不等式(1)得x<4，解等式(2)得x<5，公共分是x<4，為不2．若不等式組

的解集為–1<x<1,

那么（a+1）(b–

的值等于

．考點(diǎn)：不等式組解集的應(yīng)用評(píng)析：此題類(lèi)型是；已知不等式組的解集，求其中字母系數(shù)，進(jìn)而求關(guān)于字母系數(shù)的代數(shù)式的值。這類(lèi)問(wèn)題解法是：先解不等數(shù)的值，進(jìn)而代入所給代數(shù)式，求出代數(shù)式的值，具體解法如下：解：2ｘ－ａ＜x＜；由—

＞3得x＞因?yàn)榉浇M有解，所，

＞3+2b方程組解＜1，∴∴ａ=1，ｂ-2．∴(a+1)(b-1)=-63．不等式組A、–

的最小整數(shù)解為（）B、0C、1D、4考：不等組的整數(shù)評(píng)析：解不等式(得

≤

，所以不等組的解集

＜x

≤4

，在此不等中最小整為0，所以B說(shuō)明：解此類(lèi)問(wèn)題是先求出不等式組的解集，然后在解集中，求整數(shù)值．真題專(zhuān)練1．不等式組

的解集是，這個(gè)不等式組的最小整數(shù)解是．．不等式組．不等式組．不等式組

的解集是________．的解集是．的解集是．．不等式組．若不等式．不等式組

的解集是．有三個(gè)整數(shù)解則a取值圍是的解集是（）

．A、x>1B、x<6C、1<<6D、x<1或x>68．不等式組

的解在數(shù)軸上可表示為（）9．不等式組

的解集（）A、x

≥1

B、x＜2C、1＜x＜2D、1

≤x

＜210．不式組

的整數(shù)解是（）A、–1

，0，1B、–

，1C、–1

，0D、0，111．不式組成

的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是()A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)．12．一一次不等組

的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）13．不式組

的解集是（）A、–2<x<1

B、x<1C、x>

–2

D、無(wú)解14．不式組

的解集是（）A、–4<x<1

B、–4<x<–

C、–1<x<4

D1<x<415．不式組

的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、416．有集為2<x<3的不式組是（）A、B、C、D、17．解等式組18．解等式組19．求等式組

的整數(shù)解．20．解等式組21．解等式組

并寫(xiě)出不等式組的整數(shù)解．22．解等式組，

并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．23．解等式組

并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．24．解等式組25．解等式組

并在數(shù)軸上表示解集．26．求等式組

的整數(shù)解．答案：1、–4<–，–；2、–2≤

；3、1

≤x<2

；4、x<

–3

；5、–10<x26、0<a

≤1

（提示由已得x＞，

≤，則其解集a<x

≤3

，故a的范圍為0<a

≤1

；7、C8、A9、D10、1112、13、14、15、17、解解不等式1)，得x<3解不等式(2)，得x+8＞–3x

16、x＞–2

．在數(shù)軸上表示不等式(1)，(2)的集．∴不等組的解集為-2＜ｘ＜318、解解10

––3)≥(x–1)

，得x

≤4

．解x

–

＞

，

得x＞

．∴不等組的解集為<x．19、解解3x+7<5(x+2)，得x＞解，得x＜2．∴不等組的解集為

＜x＜2在

＜x＜2中的整數(shù)–

、0、1∴不等組的整數(shù)解是：–、0、1．20、解解不等式得x<2．解不等式②x–1．所以不等式的解集是1x<2

．21、解解不等式2x+5

≤3(x+2),得x–1．解不等

得x<3∴原不式組的解集是–≤x

＜3．∴不等組的整數(shù)解是–．22、解由不等式x－4（x－5）＞8．得x＜4．由不等式．∴不等組的解集是這個(gè)不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下：23、提：原不等變?yōu)?/p>

解得解集為–1x

＜9在數(shù)軸表示如圖示24、提：解不等①得x＜，解不等②得x0，所以不等組解集為0≤＜

．25、提：解不等①得x＞，解不等式得x＜4，所以等式組的解為1＜＜4．在軸上表示如所示26、解由①得ｘ-，由得≤∴原不式組的解集為：-

＜ｘ≤∵ｘ為數(shù)，∴ｘ＝-1，0，1．即等式組的數(shù)解為-1，1．一次不等式組）中參取值范圍解技巧已知一次不式（組）解集（特），求其中參數(shù)的取值范圍，以及含方程與等式的混組中參變（參這類(lèi)問(wèn)題綜性強(qiáng)，靈性大，蘊(yùn)著不少的技能技巧。下面舉例介紹用的五種巧方法。一、化簡(jiǎn)等式（組），比較列求解例1若不等式

的解集為，求k。解：化簡(jiǎn)不等式，得x

≤5k

，比較已知集

，得

，∴。例2（山東威海市中考題若不等式組

的解集是x>3則m的取值圍是（）。A、m

≥

B、m=3C、m<3Dm

≤解化簡(jiǎn)不式組，得例3（重慶市中考題）若等式組

，比較已知解集x>3，得3≥m,∴選D。的解集是-1<x<1，么的等于_____。解：化簡(jiǎn)不等式組，得∵它的集是-1<x<1，∴

也為其解集比較得∴(a+1)(b-1)=-6.評(píng)：當(dāng)一不等式（）化簡(jiǎn)后知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)（字母數(shù)）時(shí)，比較已知解列不等式組）或列程組二、結(jié)合質(zhì)、對(duì)照求解例4（江蘇鹽城市中考題已知關(guān)于x的不式(1-a)x>2的解集A、a>0Ba>1Ca<0Da<1

，則a取值圍是（）。解對(duì)照已解集，結(jié)合等式性質(zhì)3得1-a<0,即a>1，選B例5（湖北荊州市中考題若不等式組

的解集是x>a，則a的取值范是（）。A、a<3Ba=3Ca>3Da

≥解根確定等式組解集則：“大取較大”對(duì)照已知解集x>a,得a≥3,∴選D。三、利用質(zhì)，分類(lèi)求解例6已知不等式

的解集是，求的取值范圍。解：由解集

得x-2<0,脫絕對(duì)值號(hào)，得。當(dāng)a-1>0時(shí)，得解

與已知解集

矛盾；當(dāng)a-1=0時(shí)，化為0·x>0解；當(dāng)a-1<0時(shí)，得解∴

與解集

等價(jià)。例7．不等式組

有解，且每一個(gè)解x不在-1

≤x4

范圍內(nèi)，求a的值范。解：化簡(jiǎn)不等式組，得∵它有5a-6<3aTa<3;用解集質(zhì)意轉(zhuǎn)化