2020年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)幾何體與球切、接的問題

11111熱點(diǎn)七

幾何體與球切、接問題縱觀近幾年高對(duì)組體的考查，與相的接與內(nèi)切問題高命的點(diǎn)之一命小題綜合化傾向尤為明，

要求學(xué)生有較的間象能力和準(zhǔn)確計(jì)能力，才能順解

實(shí)教學(xué)來，部知識(shí)學(xué)生掌握為弱認(rèn)識(shí)較為模糊看到就頭疼的題目

析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，

主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，

以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理

.面結(jié)合近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接問題作深入的探究

便更好地把握高考命題的趨勢(shì)和高考的命題思路題、填空題為主，大題很少見.

爭在這部分內(nèi)容不失分

近幾年全國高考命題來看

部內(nèi)容以擇首先明確定義

1若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面

體是這個(gè)球的接面，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義：若個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，面體的內(nèi)切球.1球與柱體的切接

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，

這個(gè)球是這個(gè)規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題

.1.1

球與正方體如圖所示，正方體

A11D1

，設(shè)正方體的棱長為a

，

F,H的點(diǎn)，為球的球心見組合方式有三類：

一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形

EFGH

和其內(nèi)切圓，則

OJr

a

方22體各棱相切的球，截面圖為正方形

EFGH

和其外接圓，則

a

；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面2圖為長方形

C

和其外接圓，則

AOR

3a

通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，2常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題

.（）正方體的內(nèi)切球，如圖

1.位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為

a

，球的半徑為這時(shí)有

2r

a

.（）正方體的外接球，如圖

2.位置關(guān)系：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為

a

，球的半徑為

r

，這時(shí)有

3a

.（）正方體的棱切球，如圖

3.位關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為

a

，球的半徑為

r

，這時(shí)有

2a.例1【屆福建省三明市接球的表面積為（）

A片區(qū)高中聯(lián)盟校高三上學(xué)期期末】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外A.

4

B.

8

C.

10

D.

12【答案】D【針對(duì)練習(xí)】==如圖，虛線小方格是邊長為為

1正方形，粗實(shí)虛線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體外接球的表面積A．π

B．π

C．π

D．π答案及解析：1.B幾何體的直觀圖如圖所示為三棱錐，三棱錐，所以外接球的直徑為，則半徑

中，

，所以外接球表積,

故選

B.1.2

球與長方體例

自半徑為

R

的球面上一點(diǎn)

M

，引球的三條兩直弦

MA,MB,MC

，求

MA

2

2

MC

2

的值．【答案】

2

.【解析】以MB,MC為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐

M

ABC

補(bǔ)成一個(gè)長方，另四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對(duì)角線長是球的直徑．

2

2

22

2

．例3【屆二輪復(fù)習(xí)專題】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．

若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB＝，AC＝，三棱錐

P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球

O的球面上，則球

O的表面積為

(

)A.8πC.20π

B.12πD.24π【答案】C【針對(duì)練習(xí)】已知邊長為

的等邊三角形ABC，為BC中點(diǎn)，以

AD為折痕，將△

ABC折成直二面角，則過A，CD點(diǎn)的球的表面積為A.2π

B.3π

C.4π

D.5π答案及解析：1.D折后的圖形可放到一個(gè)長方體中，體對(duì)角線長為

5

，

故其外接球的半徑為

5

，其表面積為25

選D.2

球與錐體的切接規(guī)則的錐體，正面、正棱錐、特的些錐等能夠和球行分組，以外接內(nèi)兩

種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題2.1正四面體與球的切接問題

.（1正四面體的內(nèi)切球，如圖合；

系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四面體的中心與球心重?cái)?shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為

a，高h(yuǎn)；球的半徑為

R

，這時(shí)有

h

6

a

；（可以利用體積橋證3明）（2正四面體的外接球，如圖位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體棱長為

a

，高為

；球的半徑為

R

6a

四

減去內(nèi)切球的半得）（）四面體的棱切球，如圖

6.位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為

a

，高為h

；球的半徑為

R

，這時(shí)有

h

6

a.3例4【屆廣西防城港市高三

1月模擬】面均為等邊三角形的四面體

ABCD

的外接球的表面積為

，過棱

作球的截面，則截面面積的最小值為

__________．【答案】2【解析】將四面體放回一個(gè)正方體中

正四面體的棱都是正方體的面對(duì)角線

么正四面體和正方體的外接球是同一個(gè)球是面圓的直徑時(shí)

面面積最小

.因外接球的表面積為

3

球的直徑為

3

正方體的體對(duì)角線為

3

長為面對(duì)角線為

2

面圓面積最小值為

2222

.點(diǎn)評(píng)：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.【針對(duì)練習(xí)】設(shè)，，C，D是一個(gè)半徑為4的球的球面上四，△體積的最大值為（）

ABC為等邊三角形且其面積為

9，則三棱錐D-ABCA.

543

B.

243C.183D.3答案及解析：1.C在四面體ABCD

中，

ADDBACCB1

，則四面體體積最大時(shí)，它的外接球半徑

R=

．答案及解析：2.6如圖，取中點(diǎn)，連接，DE，設(shè)AB=2x（＜1），則CE=DE=

，∴當(dāng)平面ABC⊥平面ABD時(shí)，四面體體積最大，為

V===

．V′=

，當(dāng)

∈（，）時(shí)，

V為增函數(shù)，當(dāng)

∈（

，1）時(shí)，V

為減函數(shù)，則當(dāng)

x=

時(shí)，V

有最大值．設(shè)△ABD的外心為

G，△ABC的外心為

H分別過

、作平面ABD、平面

ABC的垂線交于

O則O為四面體ABCD的外接球的球心．在△ABD中，有sin

，則

cos

，

=

．設(shè)△ABD的外接圓的半徑為

，則，即DG=r=

．又DE=

，∴OG=HE=GE=

．∴它的外接球半徑

R=OD=

．2.2其它棱錐與球的切接問題球與正棱錐的合常的有兩類，一球三錐的外接球，時(shí)棱的個(gè)頂點(diǎn)在面，據(jù)面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解

是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，

例如正三棱錐的內(nèi)切球，

球與正三棱錐個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑

R

．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積

.球與一些特殊棱進(jìn)組合，一定要住錐幾何性質(zhì)，可合用面、補(bǔ)形法進(jìn)求

如四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置

.例5【南省長市長郡中學(xué)CABD為折成二面角

2017屆高三摸底】已知邊長為23的形ABCDABCD，則四面體的接的面積為（的四面體

中，

）

，沿對(duì)角線

BDA．

25

B．

26

C．

27

D．

28【答案】

DAAOB

E

DC

2

G

E

例6江西省新余市第一中學(xué)

2017屆三上學(xué)期調(diào)研考試（一）

】某幾何體的視和視圖如圖（

1所示,

它的府視圖的直圖

A'B2所示,其中

A'

3

該何體的接的面積為．11112112【答案】3【解析】由斜二測(cè)畫法易知，

該幾何體的俯視圖是一個(gè)邊長為

4的等邊三角形合正視圖和側(cè)視圖可知，

該幾何體是如下圖所示的高為

4的棱錐

DABC，將其補(bǔ)形為三棱柱

ABC-EDF,設(shè)球心為

O，

EDF

的中心為

O

1

，則OE

2

43

所以該幾何體的外接球的半徑

ROEOO

2

OE

2

2

2

)2

28

,3

3

1

1

3

3其表面積為

S4R

2

.3FO

1E

DOCAB例7屆山西省太原十二中高三上學(xué)期

1月在四棱錐

PABCD

中，

PC

底面

ABCD

，底面為正方形，//，

，記四棱錐

P

ABCD

的外接球與三錐

B

的外接球的表面積分別為

SS

，則

S

2

15

S

1【答案】7【解析】設(shè)正方形的邊長為

a

，設(shè)

O2為的中點(diǎn)，因?yàn)?/p>

PC

平面

ABCD

，而CD,CB平ABCD

，所以，又，故，又，故4CBAQ/

CB，CD

CBC

，故AQ

平面

AC

平面

ABCD

，所以AQ

，故

為直角三角形

CQ

為斜邊，所以

2

2

AQ

2

．同理

也為直角三角，合

，所以

3a3

，又

CB

A

，所以

CB平面

AQB

，

平面

，所以

QB

，

為直角三角形所

2

2

，O三棱B

外接球的球心且徑

R

1QC11a22223

21a6

．同理設(shè)

O

1

為AP

的中點(diǎn)，則

為四棱錐

P

外接球的球心且徑

R

1122

2

2

552115a，以:27

．填

7

．點(diǎn)睛：球的半的算關(guān)鍵在球心位的定三棱錐

B

中

,

均為直角三角形，因此外接球的球心就

的中點(diǎn)，因它到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是等．

同理四棱錐

P

外接球的球心是

的中點(diǎn)．【針對(duì)練習(xí)】

已知在三棱錐

P-ABC

中，

PAPB

BC1

，

AB

2

，

AB

BC

PABABC，平面⊥平面，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（

）A．

32

B．

3

C．

D．

2答案及解析：1.B題分析：如下圖所示，設(shè)球心為O，則可知球心O在面的投影在

ABC

外心，即中點(diǎn)E處，取AB2222222中點(diǎn)

F，連PF，EF，OE，，由題意得，

PF

面

ABC

，∴在四邊形

POEF中，設(shè)OEh

，∴半徑r(h2)(1)

r

2

(3)

h，r

3

，即球心即為AC中點(diǎn)，∴表面積

S

4r

3

，22

2

2故選B.在四面體S﹣中SA⊥面，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面為

π

π

πA．π．

C．

D．3

3

3答案及解析：2.D∴BC=

∵

，，°，∴三角形ABC的外接圓半徑為

，2r=

，r=

，∵SA平面

ABC，，由于三角形OSA為等腰三角形，

O是外接球的球心．則有該三棱錐的外接球的半徑

R=

，∴該三棱錐的外接球的表面積為D.選

2S=4

．在四面體ABCD

與△

均是邊長為

4的邊角，二角A-CD-B

的大小為

ABCD外接球的表面為

）208

52

64

52A

9

B

9

C

3

D

3答案及解析：3.A根據(jù)題意得到個(gè)型兩個(gè)全等的三形二角大小為，CD的中點(diǎn)記為

O，結(jié)OB，OA，22222222意需要找到外球球，選擇

OA

的離

O點(diǎn)近的3等分店記為E，理OB

上一點(diǎn)記為

F自這兩點(diǎn)分別做兩個(gè)面的垂線交點(diǎn)

P，點(diǎn)P就球。三角形

POE

中，角

POE

為三十度，OE=A.故答案為：已知在三棱錐

A

-BCD中

6

，

2

3

，底面

BCD為等邊三角形，且平

ABD⊥平面BCD，三棱錐A

-BCD外球的面為．答案及解析：π取的中點(diǎn)，連接AE，CE，取CE的三等分點(diǎn)為

面，使得CO=2，則O等邊△BCD的中心平面

ABD⊥平面BCD，且平面

ABD∩平面BCD=BD，CE⊥，以平面

⊥平面ABD由于AB+AD=BD，所以△ABD為直角三角形，且E為△ABD的外心，所以O(shè)A=OB=OD.又OB=OC=OD的半徑三棱錐A-BCD外接球的表面積為

，所以O(shè)三棱錐A-BCD外接球的球心，且球.3

球與球相切問題對(duì)于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解

.例8已知有半徑分別為2、3的各兩個(gè)，且這四個(gè)球彼此相外切，現(xiàn)有一個(gè)球與此四個(gè)球都相外切，則此球的半徑為.6【答案】【解析】如圖：設(shè)四個(gè)球的球心分別為

A、、、，則AD=AC=BD=BC=5

，AB=6，CD=4.設(shè)AB中點(diǎn)為、CD中點(diǎn)為，連結(jié)在△ABF中求得BF=

，在△中求得23由于對(duì)稱性可得第五個(gè)球的球心

O在EF，連結(jié)

OA設(shè)第五個(gè)球的半徑為OA=r+3，OD=r+2，于是OE=

2rr

，OF=

2r2=r∵OE+OF=EF∴

r

+6r+r+4r=23r2+6r=23r2+4r

平方整理再平方得111111112112

2

r解得r=6或6（舍掉），故答案為6

.D55

F4OC5A

5E

6B例把四個(gè)半徑都是1球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離．26【答案】

2

3

.【針對(duì)練習(xí)】1球1和O2在棱長為1正方體ABCD-A

1

BCD的內(nèi)部，且互相外切，若球

O與過點(diǎn)

A

的正方體的三個(gè)面相切，球

O與過點(diǎn)C的正方體的三個(gè)面相切，則球

O和O的表面積之和的最小值為

()()A．32-

()B．2-

()C.32+3p

()D．42+3p答案及解析：1.A4球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過112構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解

如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：

r

a

.例10把一個(gè)皮球放入如圖

10所示的由

4根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（

）A．3cmB．10cmC．cmD．【答案】【解析】如圖所示，由題意球心在

AP上，球心為

，過O作BP的垂線

ON垂足為

ON=R

，OM=R

，因?yàn)楦鱾€(gè)棱都為

20，所以

AM=10，BP=20,BM=10，AB=102設(shè)

BPA

，在

Rt

BPM中，

222

在

PAM中

22

2

以BPBMPM

3

.

Rt

,

PMAM

AP2

RtABP中,

2

2

，在

Rt

ONP中

R

以

2

R

2，所以O(shè)P

OAM

中,

2

2

2

以，

2R

2

2

得，R或（舍），

R

故選4

球與旋轉(zhuǎn)體切接問題首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系．例求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．【答案】

V∶球

柱

V

錐

6∶9【解析】如圖，等邊

SAB

為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形

C

1

，截球面得球的大圓圓

O

1

．13321332設(shè)球的半徑

1

R

，則它的外切圓柱的高為

2R

，底面半徑為R；

OO30

，

3

，4∴

V

球

R3V柱R22RV1(3R3R33

，∴

V

球

VV柱

錐

．例12在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．為多少時(shí)，兩球體積之和最?。敬鸢浮?/p>

（求兩球半徑之和；（球的半徑【解析】如圖，球心

O

1和O2

在上，過O1，O2分別作

的垂線交于

．則由

1,3得AO

1

CO3R

．rRR)3

，

Rr

333

．312【反思提升】綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，應(yīng)用三角形中的邊角關(guān)系，建立與球半徑

r,聯(lián)系，將球的體積之和用

r

或R

表示果外切的是多面，則作截面主抓多體過球心對(duì)面作把一個(gè)多面的個(gè)點(diǎn)放在球面上即為球的接題解決這類問題關(guān)是住內(nèi)接的特點(diǎn)即心多體的頂點(diǎn)距等球半徑．發(fā)揮好空間想象，助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行化問即可得解．如是些殊幾何體，正體正面體等可以借助結(jié)論直接求解

時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確

考往往與視相合，題目的難不，復(fù)習(xí)中切忌好高騖遠(yuǎn)，應(yīng)重視各種題型的備考演練，重視高考信息的搜集，不斷充實(shí)題目的類型，升華解題的境界

.【針對(duì)練習(xí)】已知四棱錐S—ABCD，⊥平面ABCD⊥∠DAB，

BC

2

3

6

，二面角

S——A的小為

π3

個(gè)頂該球A．

42

B．π

C．π

D答案及解析：10.C已知三棱柱

11C1的側(cè)棱垂直于底面點(diǎn)都在同一球面上該棱柱的體積為的體積等于()

9

A.

3

B.

2

C.

3

D.

3答案及解析：19.B3.在四面體

ABCD中，AD⊥底面

，

，BC=2，E為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AE上且滿足AG=2GE，若四面體

ABCD

的外接球的表面積為

2449

，則

tanAGD

（）A．

1

B．

2

C．

2

D．22答案及解析：3.D

2設(shè)△

的外心為

O，則點(diǎn)O在AE

上，設(shè)

則

.設(shè)四面體

ABCD

的外接球半徑

R，

.因?yàn)樗?/p>

.故選D.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球的研究，如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1粗線畫出的是某幾何體的三視圖，

則該幾何體的外接球的體積是（）A．π

B．π

C.56

Dπ答案及解析：4.D由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的四棱錐，其中

是邊長為4的方形，平面

平面．設(shè)為

的中點(diǎn)，為正方形

的中心，

為四棱錐外接球的球心，

為

外接圓的圓心，則球心

為過點(diǎn)且與平面

垂直的直線與過

且與平面

垂直的直線的交點(diǎn)．由于

為鈍角三角形，故

在

的外部，從而球心

與點(diǎn)P在平面

的兩側(cè)．由題意得

，設(shè)球半徑為

，則

,即

，解得

，∴∴

，．選D．正三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若球的半徑為（）

4，該棱的面積最大值為（A）

3

（B）

3

（C）

172831

（）

7答案及解析：5.A設(shè)正三棱柱高為

h底面正三角形邊長為

a則三棱柱側(cè)面面積為，因?yàn)?/p>

，所以因此三棱柱側(cè)面面積最大值為，選A四棱錐P

-243ABCD

的底面為正方形，⊥面，AB=2，若四棱的有點(diǎn)都在體積為

16

的同一球面上，則（）7

9（A）

（B）

（C）

23

（D）22答案及解析：6.B試題分析：連結(jié)

交于點(diǎn)，取

的中點(diǎn)，連結(jié)

，則，所以

底面，則到棱的所有頂點(diǎn)的距離相等，即

為球心，半徑為

所以球的體積為

，解得，故選．某棱錐的三視圖如下圖所示

該棱錐的外接球的表面積為（）A．π

B．π

C.13

D．14π答案及解析：7.A由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐

ABCD

，外接球球心

O在過CD中點(diǎn)E且垂直于平面

BCD的直線，又點(diǎn)

O

到

D

距離相等，∴點(diǎn)O又在線段

AD

的垂直平分面

上，故

O是直線面

的交點(diǎn)，可知是線直

MN

的交點(diǎn)（

M,分別是左側(cè)正方體對(duì)棱的中點(diǎn)）∴

OENE3，ODOE

2

DE

2

BD

2

，2故三棱錐

A

BCD

外接球的半徑

R

11

，表面積為

S1122下圖是某四棱錐的三視圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A．

5141B42

C.

D．π答案及解析：8.C根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐

O﹣ABCD

，正方體的棱長為

2A，為棱的中點(diǎn).其中根據(jù)幾何體可判：心應(yīng)該在過

AD

的平行于底面中面，設(shè)球心到截面

BCO

的距離為

，則到AD

的距離為：

4﹣R=x+（

），=2+（﹣），解得出：，該多面體外接球的表面積為：故選：C．

24=

，三棱錐P-ABC中，底面ABC滿足

BABC

，

，點(diǎn)在底面ABC的影為AC的中點(diǎn)，且該19

2三棱錐的體積為

，當(dāng)其外接球的表面積小時(shí)，

P到面的距離

.6答案及解析：9.

3

67.在三棱錐P-ABC中，

,

ACBC,BC1

,

PA

3

該棱錐的接的面積為答案及解析：π68.在四面體ABCD

中，若AB=CD=

3

，AC=BD=2，

5

，則四面體ABCD的外接球的表面積為

__________．答案及解析：68.6π69.已知三棱錐

A,

均為等邊三角形，二面角

A-BC-D

的平面角為

°則三棱外接球的表面積是

.81.表面積為

40

的球面上有四

S

，

A

，B

，C

，且

△SAB

為等邊三角形，球

到平面SAB

的距離

2，平心

為面SAB

平面ABC，則三棱錐S

的體積的最大為

．答案及解析：81.66過作OF⊥平面F為△的中心F作⊥于E點(diǎn)E為SA中點(diǎn)°取AB中點(diǎn)連結(jié)則∠ASD=30，設(shè)球O半為

解得

.連結(jié)OS,則.過OOM⊥平面

ABC，則當(dāng)

，M，D點(diǎn)共線時(shí)，

C平面

SAB的距離最大，即三棱錐

S-ABC

體積最大.連結(jié)OC，∵平面

SAB⊥平面ABC，∴四邊形OMDF是矩形，∴三棱錐S-ABC

體積

.點(diǎn)睛：求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，83.已知三棱錐

ABCD中，AB

ADBD22

，當(dāng)三棱錐

A

BCD

的體積最大時(shí)，其外接球的體積為答案及解析：83.

．1256當(dāng)

平面

時(shí)，三棱錐的積大由于，三棱錐

，則的外接球就是以

為直角三角形，為棱的長方體外球長方體的對(duì)角線等于外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，球體的體積為，故答案為

.87.在三棱錐

PABC中，ABBCAC3

,PACPAB,PA2,PA與平面

ABC所成角的余弦值為

3

，則三棱3錐P-外接球的表面積為．答案及解析：87.12π89.在幾何體

PABC

中，

PAB

是正三角形，平面

PAB

平面

ABC，且ABBC2，ABBC

，則

P

ABC的外接球的表面積等于．答案及解析：89.28π3的球的球由題意，取AB,PB的中點(diǎn)，連接，且，則點(diǎn)M為正三角形PAB的中點(diǎn)，，易證PE平面ABC，取AC中點(diǎn)D，連接，作OD∥PE，OM∥ED，接OA，則OA為外接球的半徑，又，

，則，所以外接球的表面積為，從而問題可得解

.91.已知一個(gè)四面

ABCD

的每個(gè)頂點(diǎn)都表積

9O

的表面積，且

AB

CD

a

AD

5

，則

a

．答案及解析：91.

2298.矩形ABCD

中，AB4

，BC

，PA

平面ABCD

，PA2

，E

，F(xiàn)

分別是

AB

，DC

的中點(diǎn)，則四棱錐

PEBCF的外接球表面積為．答案及解析：98.

4499.某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖了便于設(shè)計(jì)，可將該品看成是由圓

O及其內(nèi)接等腰三角形

ABC繞底邊BC上的高所在直線

AO旋23322332轉(zhuǎn)180°而成，如圖已知圓

O的半徑為10cm，設(shè)

BAO,0

2

，圓錐的側(cè)面積為

.的