2020年高考江蘇版高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題五 解三角形

備戰(zhàn)2020高專(zhuān)題三角形挖命題【真題典例】【考情探究】5

正弦定

2015蘇151.三角形中求邊或角2016江蘇15

正弦定理余弦定理正弦定理

二倍角公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系兩角和與理弦

★★☆定理

2.斷三角形

的余弦公式的形狀

正弦定理與余弦定2014蘇14

基本不等式理備戰(zhàn)2020高1.解實(shí)際問(wèn)題中的邊、角解三角

正弦定理與余弦定

正棱柱正棱臺(tái)的形及其

2.三角形與2017江蘇18

★★★應(yīng)用

理

念分析解讀

三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解三角形是高考的熱點(diǎn)試題類(lèi)型主要為解答題主要考查正、余弦定理與三角變換,考查時(shí)多與平面向量、不等式、函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合,現(xiàn)知識(shí)的交匯性.些年江蘇也有考查以實(shí)際問(wèn)題為背景,過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決的相關(guān)問(wèn)題,要考查運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變換的能力.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一

正弦定理、余弦定理1.(2018江蘇海安中學(xué)階段測(cè)試)在ABC中,已知AB=5,BC=3,B=2A,邊AC的長(zhǎng)為.答案22.(2017江蘇蘇州期中,8)△ABC,角A,B,C所的邊分別為a,b,c,若2-b2=2bc,sinC=3sinB,則A=.答案60°3.(2017江蘇無(wú)錫期中,15)在△ABC,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,知bsinA=acosB.(1)B值;(2)cosAsinC=

-

,求角A的值.解析(1)因?yàn)?/p>

=,所以bsinA=asinB,又bsinA=acosB,所以acosB=asinB,所以tanB=,所以B=.----備戰(zhàn)2020高(2)為cosAsinC=

-

,所以cosAsin

-

=,所以cosA

=cossinA·cosA=·

+sin2A=,所以sin=-,因?yàn)?<A<,所以2A+∈所以2A+=,A=.

,考點(diǎn)二

解三角形及其應(yīng)用1.(2014課標(biāo)Ⅰ,16,5分)如圖,測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A測(cè)得M點(diǎn)仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及MAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°.知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m.答案1502.(2018江蘇東臺(tái)安豐高級(jí)中學(xué)月考)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=b+1=a+2,C=2A,△ABC的面積等于.答案3.(2018江蘇常熟高三期中12)設(shè)ABC內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別是a,b,c,D為AB的中點(diǎn),若b=acosC+csinA且,則△ABC面積的最大值是.答案+14.(2018江蘇如皋高三第一次聯(lián)考14)在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若則cosC的最值為.

,,

成等差數(shù)列,備戰(zhàn)2020高答案5.(2018江蘇南通高三第一次調(diào)研測(cè)試,16)在△ABC,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a=b+c2-bc,a=b.(1)sinB值;的值.(2)cos解析(1)在△ABC,根據(jù)題意得cosA=因?yàn)锳∈(0,π),所以A=.在△ABC中,由正弦定理得sinB=sinA=×=.(2)為a=b>b,所以A>B,0<B<.

-

=.又sinB=,所以cosB=在△ABC中,A+B+C=

-

=.所以cos=cos

--

=-cos=-

-

=-

-

=-.6.(2017江蘇南京、鹽城一模)△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊且bsin2C=csinB.(1)角C;(2)sin

-

=,求A的值解析(1)由bsin2C=csinB,得2sinBsinCcosC=sinCsinB,因?yàn)閟inB>0,sinC>0,所以C=,又C∈(0,π),所以C=.(2)為C=,所以∈,備戰(zhàn)2020高所以B-∈-又sin-

=,

,所以cos

-

=

--

=.又A+B=,即A=-B,所以sinA=sin

-

=sin

--=sincos=×-×=方法一

-

-

-cossin-.煉技法【方法集訓(xùn)】三角形中的幾何計(jì)算題的解法1.(2017江蘇蘇北三市高三調(diào)研,如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D在邊AB,AD=3DB,cosA=,cosACB=,BC=13.求cosB的值求CD的長(zhǎng).解析(1)在△ABC,cosA=,A∈(0,π),所以sinA=

-

=

-

=.因?yàn)閏osACB=,∠ACB∈(0,π),所以sinACB=.所以cosB=cos[π∠A+ACB)]=-cos(∠A+ACB)=sinAsinACB-cosAcos∠ACB備戰(zhàn)2020高=×-×=.(2)△ABC中,由正弦定理得AB=sin∠ACB=×=20.又AD=3DB,所以BD=AB=5.在△BCD中,由余弦定理得CD=

-

·=

-

=9.2.(2018江蘇鹽城中學(xué)高三期末16)如圖,在△ABC中,B=,BC=2,點(diǎn)D邊,AD=DC,DEAC,E垂足.若△BCD的面積為,求AB長(zhǎng)若ED=,求角的大小.解析(1)∵△BCD的面積為,B=,BC=2,∴×2×BD×sin=,∴BD=.在△BCD中,由余弦定理可得CD=

-

··=

-

=.∴AB=AD+BD=CD+BD=

+=.(2)∵DE=,∴CD=AD==,在△BCD中,由正弦定理可得

∠

=.∵∠BDC=2∠A,∴=,∴cosA=.備戰(zhàn)2020高又A∈(0,π),∴A=.思路分析(1)由題意,根據(jù)三角形的面積公式求出BD=,利用余弦定理求出CD的長(zhǎng),進(jìn)而求得AB長(zhǎng);(2)由題意可得DC=AD=,∠BDC=∠A+ACD=2A,合正弦定理可求得角的值.評(píng)析本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換中倍角公式在解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.方法二

利用正、余弦定理判三角形的形狀1.△ABC中,若B=60°,2b=a+c,試判斷△ABC的形狀.解析解法一:∵2b=a+c,∴2sinB=sinA+sinC.∵B=60°,∴A+C=120°.∴2sin60°=sin(120°-C)+sinC.展開(kāi)整理得sinC+cosC=1.∴sin(C+30°)=1.∵0°<C<120°,∴C+30°=90°.∴C=60°.故A=60°.∴△ABC為等邊三角形解法二:∵b=a+c2-2accosB.B=60°,b=

,∴

=a2+c-2accos60°,化簡(jiǎn)得(a-c)2=0,∴a=c.又B=60°,∴a=b=c.----備戰(zhàn)2020高∴△ABC為等邊三角形.2.△ABC中,ab、分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)邊,果(a+b)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判斷三角形的形狀.解析解法一:已知等式可化為a[sin(A-B)-sin(A+B)]=b[-sin(A+B)-sin(A-B)],∴2a2cosAsinB=2bcosBsinA.由正弦定理可知上式可化為sin2AcosAsinB=sinBcosBsinA,∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,∴sin2A=sin2B,2A,2B∈(0,2π),得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.解法二:同解法一可得cosAsinB=2bsinAcosB.由正、余弦定理,可得ab·=ba,∴a2+c2-a22(a+c-b),整理得(a2-b2+b-c2)=0,∴a=b或a+b=c,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.方法三

解三角形應(yīng)用題的方備戰(zhàn)2020高1.(2018江蘇東臺(tái)安豐中學(xué)月考)如圖在海岸線(xiàn)l側(cè)C有一個(gè)美麗的小島旅游公司為方便游客,l上設(shè)立了A,B兩個(gè)報(bào)點(diǎn),足A,B,C中任意兩點(diǎn)間的距離為10km.公司擬按以下思路運(yùn)作A,B兩游客分別乘車(chē)集中到AB間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)處(點(diǎn)D異于A,B點(diǎn)),后乘同一艘游輪前往C.據(jù)統(tǒng)計(jì),每批游客A處需發(fā)車(chē)2,B需發(fā)車(chē)4輛,每輛汽車(chē)每千米耗費(fèi)2,輪每千米耗費(fèi)12元.設(shè)∠CDA=α,每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本為S.寫(xiě)出S于α的函數(shù)表達(dá)式,并指出α的取值范圍;問(wèn):中轉(zhuǎn)點(diǎn)距離A多遠(yuǎn)時(shí),S小?解析(1)由題知在△ACD中,∠CAD=,AC=10,∠ACD=-α.由正弦定理知

=

=,--即CD=,AD=,所以S=4AD+8BD+12CD=12CD-4AD+80--=+80-=20·(2)S'=20·

+60-

,

.令S'=0得cosα=.當(dāng)<cosα<時(shí),S'<0;當(dāng)-<cosα<時(shí),S'>0,所以當(dāng)cosα=時(shí),S得最小值,此時(shí)sinα=,備戰(zhàn)2020高AD==,所以中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距A處

km時(shí),輸成本最小.2.(2018江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研一),18)圖,景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃其直徑AB為6,O圓心,且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q,其中AQC=.計(jì)劃在.

上再建一座觀賞亭記∠POB=θ當(dāng)θ=時(shí),求∠OPQ的大小;當(dāng)∠OPQ越大時(shí),游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳,游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)角θ正弦值.解析(1)設(shè)∠OPQ=在OAQ中OA=3,∠AQO=π∠AQC=π-=,所以O(shè)Q=,在△OPQ,OP=3,∠POQ=-θ=-=.由正弦定理得即=,--

=∠∠

,所以sinα=sin

--

=sin

-

,則sinα=sincosα-cossinα=cosα+sinα,所以sinα=cosα,因?yàn)棣翞殇J角,所以cosα≠0,所以tanα=,得.所以∠OPQ的小為.(2)∠OPQ=β,在△OPQ中OP=3,POQ=-θ,00000000備戰(zhàn)2020高由正弦定理得

=∠∠

,即

=

---

,所以sinβ=sin---=sin

--=cos(βθ)=cosβcosθ+sinβsinθ,從而(-sinθ)sinβ=cosβcosθ,其中-sinθ≠β≠0,所以tanβ=

-

,記f(θ)=

-

,則f'(θ)=

-

-

,θ∈,令f'(θ)=0,則sinθ=,存在唯一θ∈

使得sinθ=,當(dāng)θ∈(0,θ)時(shí),f'(θ)>0,f(θ)單遞增,當(dāng)θ∈

時(shí),f'(θ)<0,f(θ)單調(diào)遞減,所以當(dāng)θ=θ時(shí),f(θ)最大即tan∠OPQ最,又∠OPQ為角,從而∠OPQ最時(shí)sinθ=.答:觀賞效果達(dá)到最佳時(shí),θ的正弦值為.過(guò)專(zhuān)題【五年高考】A組自主命題江蘇卷題組11111111備戰(zhàn)2020高1.(2014江蘇,14,5)若△ABC內(nèi)角滿(mǎn)足sinA+sinB=2sinC,C最小值是.答案

-2.(2015江蘇,15,14分在△ABC,已知AB=2,AC=3,A=60°.求BC長(zhǎng);求sin2C的.解析(1)由余弦定理知,BC=AB2+AC2-2AB·ACcosA=4+9-2×2×3×=7,所以BC=.(2)法一:由正弦定理知,所以sinC=·sinA=

°

=,=.因?yàn)锳B<BC,以C銳角則C=

-

=

-

=

.因此sin2C=2sinC·cosC=2×

×=.解法二:由余弦定理得C=

·

-

=,因?yàn)镃∈(0,π),所以sinC=

-

=,因此sin2C=2sinCcosC=2××=.3.(2017江蘇,18,16分)如圖,平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容Ⅰ的底面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為10cm,容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線(xiàn)EG,EG的長(zhǎng)分別為14cm和cm.分在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長(zhǎng)度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))將l放在容器Ⅰ,l的一端置于點(diǎn)A處,一端置于側(cè)棱上,求入水中部分的長(zhǎng)度;將l放在容器Ⅱ,l的一端置于點(diǎn)E,另一端置于側(cè)棱上,求l入水中部分的長(zhǎng)度.111111111111111111111111111111111111備戰(zhàn)2020高解析本題主要考查正棱柱正棱臺(tái)的概念,查正弦定理余弦定等基礎(chǔ)知識(shí),查空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.(1)正棱柱的定義,CC⊥平面ABCD,所以平面ACC⊥平面ABCD,CC⊥AC.記玻璃棒的另一端落在CC上點(diǎn)M處.因?yàn)锳C=10,AM=40,所以MC=

-

=30,從而∠.記AM與水面的交點(diǎn)為P,過(guò)作PQ⊥AC,Q為垂足,則PQ⊥平面ABCD,故PQ=12,從而AP=

∠

=16.答:玻璃棒l沒(méi)水中部分的長(zhǎng)度為16cm.(如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”則結(jié)果為cm)(2)圖,O,O是正棱臺(tái)的兩底面中心由正棱臺(tái)的定義,OO⊥平面EFGH,所以平面EEGG⊥平面EFGH,OO⊥EG.111111111111111111122222211111111111111111112222222222備戰(zhàn)2020高同理,平面EGG⊥平面EFGH,OOEG.記玻璃棒的另一端落在GG上點(diǎn)N處.過(guò)G作GK⊥EG,K垂足,則GK=OO=32.因?yàn)镋G=14,EG=62,所以KG=

-

=24,從而GG===40.設(shè)∠EGG=α,∠ENG=β,則sinα=sin∠=cos∠KGG=.因?yàn)?lt;α<π,所以α=-.在△ENG中由正弦定理可得

=,解得sinβ=.因?yàn)?<β<,所以β=.于是sin∠NEG=sin(π-αβ)=sin(α+β)=sinαcos+cosαsinβ=×+-

×=.記EN與水面的交點(diǎn)為P,P作PQEG,Q為垂足,則PQ⊥平面EFGH,故PQ=12,從而EP=

∠

=20.答:玻璃棒l沒(méi)水中部分的長(zhǎng)度為20cm.(如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”則結(jié)果為cm)B組

統(tǒng)一命題、省(、市)卷題組正弦定理1.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理改編6,5)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,則AB=.備戰(zhàn)2020高答案42.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的邊分別為已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c-a=8,則△ABC面積為.答案3.(2018浙江,13,6)在△ABC,角A,B,C所的邊分別為a,b,c.若a=,b=2,A=60°,sinB=,c=.答案;34.(2016課標(biāo)Ⅱ,15,5分)△ABC內(nèi)角A,B,C的邊分別為若cosA=,cosC=,a=1,則b=.答案5.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的邊分別為若B=acosC+ccosA,則B=.答案60°6.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文改編,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為已B+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,則.答案解三角形1.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理改編9,5)△ABC的內(nèi)角A,B,C的邊分別為若ABC的面積為C=.答案2.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ改編9,5分)在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sinA=.答案

-

,則備戰(zhàn)2020高3.(2015課標(biāo)Ⅰ,16,5分)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠∠C=75°,BC=2,則AB取值范圍是.答案(-,+)4.(2018北京理,15,13分△ABC中,a=7,b=8,cosB=-.求∠A;求AC上的高.解析(1)在△ABC,因?yàn)閏osB=-,所以sinB=

-

=

.由正弦定理得sinA=

=.由題設(shè)知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=.(2)△ABC中,因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

,所以AC邊上的高為C=7×=.方法總結(jié)處理解三角形相關(guān)的綜合題目時(shí),先要掌握正弦余弦定理,次結(jié)合圖形分析哪些邊角已知的,哪些邊、角是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,后通過(guò)解方程求出邊或角5.(2018天津文,16,13分△ABC中,內(nèi)角A,B,C對(duì)的邊分別為已知bsinA=acos

-

.求角B大小;設(shè)a=2,c=3,b和sin(2A-B)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),查運(yùn)算求解能力.備戰(zhàn)2020高(1)△ABC中,由=,得bsinA=asinB,由A=acos,可得B=.又因?yàn)椤?0,π),可得B=.B=cos-

-

,得B=acos

-

,即(2)△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b=a+c2-2accosB=7,故b=.由bsinA=acos

-

,可得sinA=.因?yàn)閍<c,cosA=.因此sin2A=2sinAcosA=

,cos2A=2cosA-1=.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=

×-×=.方法總結(jié)在三角關(guān)系式中,邊有角時(shí),要利用正弦定理進(jìn)行邊角互化6.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.求C;若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.(4分)可得cosC=,所以.(6分)(2)已知,得absinC=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a+b2-2abcosC=7.故a2+b=13,從而(a+b)=25.(10分)所以△ABC的周長(zhǎng)為5+.(12分)備戰(zhàn)2020高評(píng)析本題重點(diǎn)考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,同時(shí),對(duì)三角恒等變換的公式也有所考查.在解題過(guò)程中,要注意先將已知條件中的“邊”與“角”的關(guān)系通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為“角”之間的關(guān)系再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)求解.7.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理,17,12分eq\o\ac(△,))的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.求cosB;若a+c=6,△ABC面積為2,求b.解析本題考查了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用.(1)題設(shè)及A+B+C=π得sinB=8sin,故sinB=4(1-cosB).上式兩邊平方,整理得2B+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)cosB=得B=,故=acsinB=ac.又=2,ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a+c2-2accosB=(a+c)-2ac(1+cosB)=36-2××

=4.所以b=2.解后反思在余弦定理和三角形面積公式的運(yùn)用過(guò)程中,重視“整體運(yùn)算”的技巧.本題中b=a+c2-2accosB=(a+c)-2ac(1+cosB)的轉(zhuǎn)化就說(shuō)明了這一點(diǎn)8.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理,17,12分eq\o\ac(△,))ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為已知ABC的面積為求sinBsinC;若6cosBcosC=1,a=3,求△的周長(zhǎng).解析本題考查了正弦定理,弦定理,三角形的面積公式及其綜合應(yīng)用

.備戰(zhàn)2020高(1)題設(shè)得acsinB=,即csinB=.由正弦定理得sinCsinB=

.故sinBsinC=.(2)題設(shè)及(1)cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由題設(shè)得bcsinA=,即bc=8.由余弦定理得b2+c-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周長(zhǎng)為3+.方法總結(jié)解三角形的綜合應(yīng)用.(1)用正弦定理余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式以便進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算,例如:csinB=

變形為sinCsinB=.三角形面積公式:S=absinC=acsinB=bcsinA.三角形的內(nèi)角和為π.這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡(jiǎn)中起到消元的作用,如:在△ABC,sin(B+C)=sinA.9.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理,17,12分eq\o\ac(△,))ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.求c;設(shè)DBC上一點(diǎn),且⊥AC,求△ABD的面積.解析本題考查解三角形.(1)已知可得tanA=-,以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即+2c-24=0.△ABD△ACD△ABD△ABD△ABD△ADC△ADC△ABD△ACD△ABD△ABD△ABD△ADC△ADC備戰(zhàn)2020高解得c=-6(舍去),或c=4.(2)題設(shè)可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠.故△ABD面積與△ACD面積的比值為

···

=1.又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面積為.思路分析(1)由sinA+cosA=0,可求得tanA=-,注意到A三角形內(nèi)角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由題意知∠CAD=,∠BAD=,于是可求得

△

的值,再由=×4×2sin∠BAC=2

得解.△一題多解(2)另解一:由余弦定理得C=,在△ACD中,cosC=,∴CD=,∴AD=,DB=CD=,∴S=S=×2××sinC=×=.另解二:∠BAD=,由余弦定理得cosC=,∴CD=,∴AD=,∴S=×4××sin∠DAB=.另解三:過(guò)作直AD,的延長(zhǎng)線(xiàn)于在△ABE,∠EAB=-=,AB=4,∴BE=CA,而可得△ADCEDB,∴BD=DC,即D為BC中點(diǎn),==××2×4×sinCAB=

.10.(2015課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是上的點(diǎn),AD分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.(1)

∠∠

;(2)AD=1,DC=,求AC的長(zhǎng).解析(1)S=AB·ADsin∠=AC·ADsin∠CAD.因?yàn)?2S,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得

∠∠

==.(2)為∶S=BD∶DC,△ABD△ABD備戰(zhàn)2020高所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD-2AD·BDcosADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC=3AD+BD2+2DC=6.由(1)AB=2AC,所以AC=1.思路分析(1)S與的比值?AB與AC的比值,再由正弦定理求得

∠∠

.(2)與的比值確定BD的長(zhǎng).△ACD中,AC2=1+-2×1××cos∠ADC①,△ABD中,AB2=12+()2-2×1××cos(π-∠ADC)將①②聯(lián)立消去cosADC,到一個(gè)AC2與AB的等量關(guān)系將AB=2AC代入,解方程即可.評(píng)析本題考查正弦定理,余弦定理的應(yīng)用,以及三角形的面積公式屬常規(guī)題,中等偏易.C組

教師專(zhuān)用題組1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ文15,5分eq\o\ac(△,))的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已C=60°,b=,c=3,則A=.答案75°2.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ改編,4,5eq\o\ac(△,))ABC的內(nèi)角A,B,C的邊分別為已知a=,c=2,cosA=則b=.答案33.(2014課標(biāo)Ⅱ改編,4,5)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則.答案?jìng)鋺?zhàn)2020高4.(2010江蘇,13,5)在銳角三角形ABC,A、B、C的對(duì)邊分別為a、c,+=6cosC,則+=.答案45.(2014課標(biāo)Ⅱ,17,12分)四邊形ABCD的內(nèi)角與互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.求CBD;求四邊形ABCD的面積解析(1)由題設(shè)及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,①BD2=AB2+DA-2AB·DAcos=5+4cosC.②由①,②得C=,故C=60°,BD=.(2)邊形ABCD的面積S=AB·DAsinA+BCCDsinC=sin60°=2.評(píng)析本題考查余弦定理的應(yīng)用和四邊形面積的計(jì)算,查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化的思想,把四邊形分割成兩個(gè)三角形是求面積的常用方法.6.(2015課標(biāo)Ⅰ,17,12分)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊sinB=2sinAsinC.若a=b,求B;設(shè)B=90°,且,求△ABC面積.備戰(zhàn)2020高解析(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=

-

=.(6)(2)(1)b2=2ac.因?yàn)锽=90°,由勾股定理得a2=b.故a2+c=2ac,得c=a=.所以△ABC的面積為1.(12分)評(píng)析本題考查了正弦定理、余弦定理;查了解三角形的基本方法,容易題.7.(2011江蘇,15,14分在△ABC,角A,B,C的對(duì)分別為若sin=2cosA,求A值;若cosA=,b=3c,C的.解析(1)由題設(shè)知sinAcos+cosAsin=2cosA.從而sinA=cosA,所以cosA0,tanA=.因?yàn)?<A<π,所以.(2)cosA=,b=3c及2=b2+c-2bccosA,得a=b-c2.故△ABC是直角三角形,且B=.所以sinC=cosA=.8.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,17,12)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為已知a=bcosC+csinB.求B;若b=2,求△ABC面積的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得A=sinBcosC+sinCsinB.①備戰(zhàn)2020高又A=π故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①,②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=.(2)ABC的面積S=acsinB=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c.又a2+c≥故ac

-

,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立因此△ABC面積的最大值為+1.9.(2012江蘇,15,14分在△ABC,已知求證:tanB=3tanA;若cosC=,求的值.

·=3·.解析(1)因?yàn)?/p>

·=3·,所以·AC·cosA=3BA·BCcosB,即AC·cosA=3BC·cosB,由正弦定理知從而sinBcosA=3sinAcosB,又因?yàn)?<A+B<π,所以cosA>0,cosB>0,所以tanB=3tanA.(2)為cosC=,0<C<π,

=,所以sinC=

-

=,從而tanC=2,是tan[π-(A+B)]=2,即tan(A+B)=-2,亦即

-

=-2,由(1)

-

=-2,備戰(zhàn)2020高解得tanA=1或-,因?yàn)閏osA>0,故A=1,所以A=.評(píng)析本題主要考查平面向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正切公式、解三角,考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力.10.(2013江蘇,18,16分)如圖游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)下山至C有兩種路徑.一種是從A沿直線(xiàn)步行到C,另一種是先從沿索道乘纜車(chē)到B,然從B直線(xiàn)步行到現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山甲沿AC速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后從A乘纜車(chē)到B,在B處停留1min后,再?gòu)膭蛩俨叫械紺.假設(shè)纜車(chē)勻速直線(xiàn)運(yùn)行的速度為130m/min,山長(zhǎng)為1260m,經(jīng)測(cè),cosA=,cosC=.求索道AB長(zhǎng);問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車(chē)上與甲的距離最短為使兩位游客在C互相等待的時(shí)間不超過(guò)分鐘乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)解析(1)在△ABC,因?yàn)閏osA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.從而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsin×+×=.由=,得AB=×sinC=×=1040(m).所以索道AB長(zhǎng)為1040m.(2)乙出發(fā)t分后,甲、乙兩游客距離為dm,此時(shí),行走了(100+50t)m,乙距離A處m,以由余弦定理得d2=(100+50t)+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),備戰(zhàn)2020高因0t

,即0≤t≤當(dāng)min,甲、乙兩游客距離最短(3)

=,得

×sinA=×=500(m).乙從B發(fā)時(shí),甲已走了50×(2+8+1)=550(m),還需走710m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為vm/min,由題意得3

-≤解得≤v≤,所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi)評(píng)析本題考查正定理,次函數(shù)的最值以及兩角和的正弦等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,查學(xué)生閱讀能力和分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.【三年模擬】一、填空題(每小題5分35分)1.(2018江蘇鹽城高三期中,4)△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2,b=,B=,則A=.答案2.(2019屆江蘇鹽城高三年級(jí)第一學(xué)期期中)在△ABC,A=60°,b=1,面積為,則邊長(zhǎng).答案43.(2018江蘇南京高三二模,7)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若Asin2B=2c,則的值為.答案24.(2019屆江蘇南京期中)在△ABC中,sin2A≤sinB+sinC-sinBsinC,的取值范圍是.答案5.(2018江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研一),10)設(shè)三角形ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知-=,則A=.答案?jìng)鋺?zhàn)2020高6.(2019屆江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三月月考)在△ABC中,若tanAtanC+tanAtanB=5tanBtanC,sinA最大值為.答案7.(2017江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研二,在△ABC,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosA=2c-a,角