2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一（下）

第一次月考數(shù)學(xué)試卷

1.(3+4i)+(l-2i)=()

A.4+2tB.4-2iC.1+4iD.1+5i

2.下列命題錯誤的是（）

A.若非零向量為，b,c^a//b,b//c,則勿/不

B.零向量與任意向量平行

C.己知向量優(yōu)至不共線，且五〃乙b//c,則下=U

D.平行四邊形ABCO中，AB=CD

3.已知正方形ABC。的邊長為6,用在邊BC上且BC=3BM,N為OC的中點(diǎn)，則宿?

BN=（）

A.-6B.12C.6D.-12

4.若向量落石滿足|磯=|石1=1,且4?色一另）=;,則向量E與方的夾角為（）

A.-B.-C.-D.-

6336

5.在△力BC中，AB=c,m=3.若點(diǎn)。滿足前=2萬乙則而=（）

A?.-2b-r+,-1c-.BD.-5c-—2三b小C.-2Tb-—IfcDc.-1b/+,-2cf

33333333

6.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Zi=-3+2i,z2=1-4i,則復(fù)數(shù)z=z1+z2在復(fù)平面內(nèi)

表示的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.如圖所示，隔河可以看到對岸兩目標(biāo)A,B,但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距的

C,。兩點(diǎn)，測得乙4cB=75。,ABCD=45°,/.ADC=30%/.ADB=45\A,B,C,D

在同一平面內(nèi)），則兩目標(biāo)4,B間的距離為k/n.（）

---------------＞、B

'、、、、/、

'、、、、/\

'或東赤即

C4kmD

A.延B.皿C.泊D.2V5

333

8.歐拉公式e漢=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，他將指

數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)

理論中占有非常重要的地位，特別是當(dāng)％=兀時，e^+1=0被稱為數(shù)學(xué)上的優(yōu)美

.71.2

公式.根據(jù)歐拉公式，e7+e’/表示復(fù)數(shù)z,則|z|=（）

A.2+遮B.V2C.2D.2-V3

9.在三棱柱A8C-4B1G中，NBAC=90°,aB=AC=a,zA4iBi==60°,

乙BBG=90°,側(cè)棱長為4則其側(cè)面積為（）

A,2B.3abC.(V3+V2)abD卓就

42

10.下列說法正確的個數(shù)（）

①空間中三條直線交于一點(diǎn)，則這三條直線共面;

②梯形可以確定一個平面；

③如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等;

@24ea,460且。口0=[,則A在/上.

A.1B.2C.3D.4

11.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是（）

B1+27TCl+2ir

A嚶?2n'n

12.PA垂直于正方形ABC。所在平面，連接P2,PC,PD,

AC,BD,則下列垂直關(guān)系正確的個數(shù)是（）

①面24B1面PBC；

②面PAB1_面PAD；

③面P4B1面PCD-.

④面P4Bl^PAC.

A.1

B.2

C.3

D.4

13.在平行四邊形ABC。中，荏=可，前=可，血=（近，麗=：祝，則而=

（用瓦，石表示）.

14.如圖，設(shè)A,8兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量

者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一

點(diǎn)C,測出AC的距離為50/n/4CB=45°,

ZC2B=105°后，則A,B兩點(diǎn)的距離為

______m.

15.如圖所示，在上、下底面對應(yīng)的比為1：2的三棱臺中，過

上底面一邊41當(dāng)作一個平行于棱CiC的平面4/iEF,記平

面分三棱臺兩部分的體積為匕（三棱柱為B1G-FEC）,彩

兩部分，那么匕：V2=.

第2頁，共15頁

16.如圖，S為等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且$4=

SB=SC=AB,E,尸分別為SC,AB的中點(diǎn)，則異面直

線EF與AC所成的角為.

17.如圖所示，在AAB。中，OC=-0A,OD=-OB,與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)立？=方，

42

~0B=b.

(1)試用向量五、b表示?！?；

(2)在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BO上取一點(diǎn)尸，使EF過點(diǎn)用，設(shè)而=2就,

OF=HOB,求證：i+-=7.

Ag

18.如圖，一艘船從港口O出發(fā)往南偏東75。方向航行了100k"?到達(dá)港口A,然后往北

偏東60。方向航行了160h〃到達(dá)港口8試用向量分解知識求從出發(fā)點(diǎn)。到港口3的

直線距離(&“1.414,舊荻=12.065,結(jié)果精確到0.1km).(提示：將瓦?，荏分

解為垂直的兩個向量.)

19.如圖所示，圓形紙片的圓心為。，半徑為6cm,該紙片上的等邊三角形A8C的中

心為。，點(diǎn)O,E,尸為圓。上的點(diǎn)，△DBC,△ECA,△凡4B分別是以BC,CA,

AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起ADBC,

△EC4,△凡4B,使得。，E,F重合，得到三棱錐，則當(dāng)AZBC的邊長變化時，求

三棱錐的表面枳的取值范圍.

20.如圖，長方體ABC。一公當(dāng)口/中，AB=BC=2,AAr=3.

(1)求異面直線和C。所成角的正切值；

(2)求三棱柱4遇8-OiDC的體積和表面積.

21.如圖，四邊形ABCD中，AB1AD,AD//BC,AD=6,BC=4,AB=2,E,F

分別在BC,A。上，EF〃AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面4BEFJ■平面

EFDC.

(1)當(dāng)BE=1,是否在折疊后的4力上存在一點(diǎn)P,使得CP〃平面4BEF?若存在,

求出P點(diǎn)位置，若不存在，說明理由；

(2)設(shè)8E=x，問當(dāng)x為何值時，三棱錐4-CDF的體積有最大值？并求出這個最

大值.

22.如圖，正方體4"。-48道也中，E,尸分別為GDi，&G的中點(diǎn).

(1)求證：E,F,B,。四點(diǎn)共面；

(2)若4CDBD=P,&GnEF=Q,AC1與平面EFBO交于點(diǎn)上求證：P,Q,R

三點(diǎn)共線.

第4頁，共15頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：(3+4i)4-(1-2i)=(3+1)+(4-2)i=4+2i.

故選：A.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解非零向量方〃及3〃乙則存在非零實(shí)數(shù)；I,4滿足石=Aa,c=nb=Afia,

根據(jù)向量共線定理可判斷五〃乙故A正確

B-.由零向量的定義可知6與任意向量平行，故B正確

C：若不羊6,則根據(jù)A可知五〃石與已知矛盾，故C正確

D：平行四邊形ABC。中，AB=DC,故。錯誤

故選：D.

A：非零向量方〃3,b//c,則存在非零實(shí)數(shù)九“滿足3=2五，c=/j.b=A^a,根據(jù)向

量共線定理可判斷；B：由零向量的定義可知6與任意向量平行；C：若3彳6,則根據(jù)A

可知方〃方與已知矛盾；D：平行四邊形A8c。中，AB=DC

本題主要考查了命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的基本概念與定理.

3.【答案】A

【解析】解：以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖所示:

則4(0,0),B(6,0),M(6,2),N(3,6),

AM=(6,2),BN=(-3,6),

AM-F/V=-18+12=-6.

故選4

建立坐標(biāo)系，求出兩向量的坐標(biāo)，再計算數(shù)量積.

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

4.【答案】B

【解析】解：由己知|初=|9|=1,且五?0一石)=%則五2-五1=%所以五不=點(diǎn)

所以向量方與方的夾角的余弦值為儒=p

所以向量方與用勺夾角為全

故選B.

首先由已知等式求出向量五與加勺數(shù)量積，利用平面向量的數(shù)量積公式可得.

第6頁，共15頁

本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用；屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：???由同一荏=2(前一而)，

3AD=AB+2AC=c+2b,

__,2一

AD=-c+-b.

33

故選：A.

把向量用一組向量來表示，做法是從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，盡量沿著己知向量，走到要

求向量的終點(diǎn)，把整個過程寫下來，即為所求.本題也可以根據(jù)。點(diǎn)把分成一比二

的兩部分入手.

用一組向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解

決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題

都是以向量為載體的

6.【答案】C

【解析】解：因為z1=-3+2i,z2=1-41,

則復(fù)數(shù)z=zx+z2=-2-2i,

其對應(yīng)的點(diǎn)(-2,-2)在第三象限.

故選：C.

直接由已知的復(fù)數(shù)得到其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案

本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用問題，也考查了計算求解能力

和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

在△AC。中由正弦定理可求AD的值，在△BCD中由正弦定理可求8。的值，再在△480

中由余弦定理可求A8的值.

【解答】

解：由已知，△ACD中，^ADC=30°,^ACD=120°,可得/乙4。=30°,

由正弦定理，得一發(fā)=一當(dāng)就，

sinz.CADsinz.ACD

4x-

AC乙

所以力。=CO.sin…4co7,k

smz.CAD=T--=4V3；

2

△BCD中,"DB=75°,ABCD=45°,可得/CBD=60°,

由正弦定理，得一妥=一發(fā)，

s\nz.CBDsinz.BCD

CDsin/BCO_4x>4>/6

所以BD

sxnLCBD一更3

2

△48。中，由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos乙4OB=48+—-2x4bx—x—=—,

3323

解得：4B=苧，

則兩目標(biāo)4,B間的距離為手km.

故選：B.

8.【答案】B

【解析】解:z=e?+el3n=cos%+isin+（cosy+isiny）=y+1J+（-1+yi）=

6_]I遮+1i

22'

則|Z|=J（等）2+（等）2=

故選：B.

運(yùn)用歐拉公式和復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)z為代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)的模的定義，計算

可得所求值.

本題考查歐拉公式的運(yùn)用，以及復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模的求法，考查化簡運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：由題意知I,斜三棱柱4BC-&B1G的底面是一個等腰直角三角形，且ZB=

AC=a,

??BC=y/2a,

v乙44/1=乙4alei=60°,AB=AC—a,AA^=b,

'S四邊形ABB[A]=S四邊形ACC、A\=^bsin60°=yah,

又cBBiCi=90°,.??側(cè)面881cle為矩形，

???S矩形BB,JC=bx近a=V2ab.

二斜三棱柱力BC-的側(cè)面積S=^abx2+近ab=（V3+版）ab.

故選：C.

由平行四邊形面積公式求出側(cè)面和ACCi&的面積，再由矩形面積公式求出側(cè)面

BCC/i的面積得答案

本題考查柱、錐、臺體表面積與體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題.

10.【答案】B

第8頁，共15頁

【解析】解：①空間中三條直線交于一點(diǎn)，則這三條直線共面；反例：正方體的一個頂

點(diǎn)處的3條棱，確定3個平面，所以①不正確；

②梯形可以確定一個平面；滿足平面的基本性質(zhì)，②正確；

③如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等；或互補(bǔ)；所以③不

正確；

④/lea,=則4在/上，滿足平面的基本性質(zhì)，所以④正確；

故選：B.

利用反例判斷①；平面的性質(zhì)判斷②；等角定理判斷③，平面的性質(zhì)判斷④.

本題考查平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用，命題的真假的判斷，是基本知識的考查.

11.【答案】B

【解析】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r,圓柱的高為近

???圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，

???2nr=h,ERr=—.

2lt

二圓柱的側(cè)面積為2n?7i=4772r2,

2

圓柱的兩個底面積為271T2,...圓柱的表面積為271T2+2nrh=2nr+4712r2,

圓柱的表面積與側(cè)面積的比為：23+4廣、竽,

4712r227r

故選：B.

根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，得到圓柱的高和底面半徑之間的關(guān)系，然后求出

圓柱的表面積和側(cè)面積即可得到結(jié)論.

本題主要考查圓柱的側(cè)面積和表面積公式的計算，利用圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形,

得到高和半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

12.【答案】B

【解析】解：對于①，因為底面為正方形，

所以BC_L4B,

由題意可知P41平面ABCD,

所以8c1PA,

而PAfW=A,

所以BC1?平面PAB,

又因為BCu平面PBC,

所以平面PAB_L平面P8C,所以①正確；

對于②，因為AD〃BC,

故由①可得，401平面PAB,

而ADu平面PAD,

所以平面PAO_L平面PAB,所以②正確；

③④不滿足面面垂直的判定定理，錯誤，不垂直.

綜上可知，正確的為①②，

故選：B.

根據(jù)題意，底面為正方形且P4_L平面A8CD,則BC_L平面PA8；即可判斷.

本題考查了平面與平面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】-河+/1

【解析】解：由麗=：覺得流=|元，且能=前一費(fèi)=宅一百，

又NC=-AC=-e^,

44

...MN=祝一配=|(另一2一:或=一|瓦+■宅.

故答案為：—1ei+

根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，由的=［覺得配=|萬，利用向量的三角形

法則得就=而-近=部-可，且麗=祝-枇，最后將左式的兩個向量都用用

瓦,瓦表示即得.

本題考點(diǎn)是向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，考查了向量加法與減法法則，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握向量加減法的法則，根據(jù)圖象將所研究的向量用基向量表示出來，本題考查

數(shù)形結(jié)合的思想，是向量在幾何中運(yùn)用的基礎(chǔ)題型.

14.【答案】50V2

【解析】解：在中，???NACB=45。，/.CAB=105°

ZB=30°

由正弦定理可得：急=缶

^^=50V2m

ACxsinZ.ACB

/.AB=

--------si：-n-z--.-f-i-------

2

故答案為：50V2

先利用三角形的內(nèi)角和求出48=30。，再利用正弦定理，即可得出結(jié)論.

本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理，求三角形的邊，屬于基礎(chǔ)

題.

15.【答案】:

4

【解析】解：設(shè)三棱臺的高為/?,上底的面積是S,則下底的面積是4S,

??明esc=?(S+4S+2S)=

"V棱柱A、B\C、-EFC=SH,

第10頁，共15頁

...%=上齒或—=三.

V棱臺-V棱柱A、B\C\-EFC5s八一S/l4

故答案為：

24,

設(shè)三棱臺的高為/?,上底的面積是S,則下底的面積是4S,再由棱臺與棱柱的體積公式

計算得答案.

本題考查了三棱臺的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

16.【答案】45。

【解析】解：如圖，取AS的中點(diǎn)G,連接GE,GF,則GE//AC,GF//SB,

二NGEF是異面直線EF,AC所成角，

設(shè)48=2,則GE=1,GF=1,

取AC的中點(diǎn)為M,連接MS,MB,

vSA=SB=SC=AB,SAC,△ABC為等邊三角形，

.-.SM1AC,BM1AC,SMCiBM=M,SM,BMu平面BMS,

???ACl￥ffiSBM,：.ACLSB,???EGIGF,

???4GEF=45°,

二異面直線EF與AC所成的角為45。.

故答案為：45。.

取AS的中點(diǎn)G,連接GE,GF,則NGEF是異面直線EF與AC所成角，證明AC1平面

BMC,能求出異面直線EF與AC所成的角.

本題考查異面直線所成角的定義、線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

17.【答案】解：（1）不妨設(shè)麗=7nN+n石，

由于4、。、M三點(diǎn)共線，則存在a（a于一1）使得而f=a而,

即麗一次=a（函—而），于是麗=OA+a^D

1+a

又麗=白而，所以麗=OA+^OB

m=——

1+a，即？n+2n=l,①

由于8、C、M三點(diǎn)共線，則存在0(￡#-1)使得由=/?說,

即麗一記=/?(而一初彳)，于是兩=叱竿

又小=工雨，所以麗=

1+04(1+0)

所以,+“),即4m+n=l,②

由①②可得m=；,n=|,所以。時=加+7；

(2)證明：由于E、M、F三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)〃(〃羊—1)使得前=?7而,

即雨一反=〃(而-而)，于是而=卓攀，

又灰=4列，OF=iiOB,所以而=如迺=2五+也九

1+〃1+41+4

所以"+為=54+蜀反則A1+〃

37rj'

1+7J77-節(jié)

兩式相加得：+三=7.

【解析1(1)設(shè)麗=皿1+兀3,根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出〃3",從而用向量次石表示

0M；

(2)根據(jù)麗=〃而以及左=2成，OF=nOB,表示出面7,從而證明結(jié)論成立.

本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

18.【答案】解：一艘船從港口。出發(fā)往南偏東75。方向航行了100的?到達(dá)港口A,然后

往北偏東60°方向航行了1605到達(dá)港口B,

建立如圖所示的坐標(biāo)系：

顯然4Aoe=90°-75°=15°,4BAE=90°-60°=30°,OA=100,AB=160,

于是有：

sinl5"=—OA=>AC=100OsAinl5°,cosl5"=—=>OC=100cosl50,sin30°=

BE=160sin30°=80,cos30°=—^AE=160cos300=80A/3,

第12頁，共15頁

所以市=(100cosl50,-100sinl5°),^B=(80祗80),

因為麗=OA+XB=(100cosl50+80V3,-100sinl5°+80),所以有：

\08\=J(100cosl50+80V3)2+(-100sinl50+80)2

=J(100cosl50)2+(80V3)2+(-100sinl5)2+802+16000V3cosl50-16000sinl50

=V35600+32000cos450

=20^89+40V2

?20V89+40x1.414

=20,145.56

a20x12.065

=241.3.

【解析】建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量加法的幾何意

義和坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.

本題考查了平面向量加法的幾何意義和坐標(biāo)表示公式，屬于中檔題.

19.【答案】解：由題意知，等邊△ABC的中心為O,/--------------

圓O的半徑為6,(

設(shè)三棱錐的底面邊長為a,即等邊AABC的邊長為a,下、：\

如圖所示：「、、、、/Zc

連接O。，交8C與點(diǎn)G,由題意可知，ODJ.BC,\；/

所以04="G=jasin；=OD=6,

因為。4<00,所以當(dāng)<6,解得0<a<6V5，n

又因為OD=6,OG=：04=華，

26

所以DG=DO-GO=6--,

6

所以三棱錐的底面積為：SAABC=-AC-sin60。=9a2.乎=罕；

由題意知，ADBgbECAAFAB,所以它們的面積相等，

所以三棱錐的側(cè)面積為：3S"CD=3?；?BC?GD=1?a?(6-華)=9a-卑，

2264

所以三棱錐的表面積為：S表而積=S“BC+3SADBC=竿+9a-等=9a,

因為ae(0,6g),所以9a€(0,54百)，即S袤面積W(0,54百)，

所以當(dāng)△4BC的邊長變化時，三棱錐表面積的取值范圍是(0,54百).

【解析】根據(jù)題意設(shè)三棱錐的底面邊長為m連接O。，交BC與點(diǎn)、G,求出OA、OD

和。G的值，由此計算三棱錐的底面積和側(cè)面積，即可求出三棱錐的表面積，再求表面

積的取值范圍.

本題考查了三棱錐的表面積計算問題，也考查了邏輯推理與運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：（1）在長方體中，因為4B〃C0,

所以與所成的角即為與48所成的角，即或補(bǔ)角），

因為力B=BC=2,44i=3,A^IAB,

所以tan乙

1AB2

所以異面直線&B和CD所成角的正切值為|；

（2）易知三棱柱4MB-DiDC是直三棱柱，底面4遇8是直角三角形，

-I1

所以SAA.B=鼻?公力?4B=yx3x2=3.

又為三棱柱