2018年數(shù)學總復(fù)習專題14推理與證明、定義分項練習（含解析）理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精25-學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE專題14推理與證明、新定義1。【2006高考北京理第8題】下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段,單位時間進出路口的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中,同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則20，30；35，30;55,50()（A）（B）(C）（D）【答案】C2?！?009高考北京理第8題】點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點,且,則稱點為“點",那么下列結(jié)論中正確的是（）A．直線上的所有點都是“點”B．直線上僅有有限個點是“點"C．直線上的所有點都不是“點”D．直線上有無窮多個點(點不是所有的點)是“點”【答案】A【解析】試題分析：本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解,如圖，設(shè)，則,∵，∴消去n,整理得關(guān)于x的方程（1）∵恒成立，∴方程（1）恒有實數(shù)解，∴應(yīng)選A。考點:創(chuàng)新題型.3.【2014高考北京理第8題】學生的語文、數(shù)學成績均被評為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙,則稱“學生甲比學生乙成績好".如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有（)A．2人B．3人C．4人D．5人【答案】B考點：合情推理,中等題。4.【2017高考北京理第8題】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0。48)（A）1033（B）1053

(C)1073（D）1093【答案】D【考點】對數(shù)運算【名師點睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題以實際問題的形式給出，但本質(zhì)就是對數(shù)的運算關(guān)系,以及指數(shù)與對數(shù)運算的關(guān)系，難點是令，并想到兩邊同時取對數(shù)進行求解,對數(shù)運算公式包含,，。5.【2015高考北京，理8】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況。下列敘述中正確的是（）

A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程,三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油D．某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D考點：本題考點定位為函數(shù)應(yīng)用問題，考查學生對新定義“燃油效率”的理解和對函數(shù)圖象的理解。6?！?005高考北京理第14題】已知n次式項式.如果在一種算法中,計算的值需要k－1次乘法，計算P3(x0）的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算P10（x0）的值共需要次運算。 下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：P0（x)=a0,Pk+1（x）=xPk(x)+ak+1（k=0，1，2，…,n－1）。利用該算法,計算P3(x0）的值共需要6次運算,計算P10（x0)的值共需要次運算.【答案】【解析】試題分析： 由題意知道的值需要次運算,即進行次的乘法運算可得到的結(jié)果對于這里進行了3次運算，進行了2次運算,進行1次運算，最后之間的加法運算進行了3次這樣總共進行了次運算對于總共進行了次乘法運算及次加法運算所總共進行了次由改進算法可知：,,運算次數(shù)從后往前算和為：次考點：信息題。7。【2017高考北京理第13題】能夠說明“設(shè)a，b,c是任意實數(shù)．若a＞b＞c,則a+b＞c"是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為___________?！敬鸢浮?1，?2，?3（答案不唯一）【考點】不等式的性質(zhì)【名師點睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答本題時利用賦值的方式舉反例進行驗證,答案不唯一．8?！?007高考北京理第20題】(本小題共13分）已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合:，．其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和．若對于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）檢驗集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合,寫出相應(yīng)的集合和;（Ⅱ）對任何具有性質(zhì)的集合，證明：；(Ⅲ)判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】試題解析：（Ⅰ)集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì),其相應(yīng)的集合和是。（Ⅱ）證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個，應(yīng)為，所以,又因為當時,，所以當時,。從而，集合中元素的個數(shù)最多為，即(Ⅲ），，證明如下：（1）對于,根據(jù)定義，，且，從而。如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立,故與也是的不同元素，可見,中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即.（2）對于，根據(jù)定義,,且，從而，如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也不至少有一個不成立，故與與也是的不同元素,可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，有（1)（2）可知，【備考提示】數(shù)學考試大綱提出：“創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力是理性思維的高層次表現(xiàn).”命題時要設(shè)計“研究型，探索型或開放型的題目，讓學生獨立思考，自我探索,發(fā)揮主觀能動性”，新題型即創(chuàng)新型有較好的信度和效度，從而有較好的區(qū)分度，能充分考察學生的“創(chuàng)新能力和創(chuàng)造能力"，因此，在近年高考題中經(jīng)常出現(xiàn),本題屬于新定義型信息遷移題，解這類題的策略是：仔細閱讀分析材料，捕捉相關(guān)信息，緊扣定義,圍繞定義和條件,結(jié)合所學的數(shù)學知識和方法，通過歸納，探索，推理，發(fā)現(xiàn)解題方法，然后解決問題.9.【2008高考北京理第20題】（本小題共13分）對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列變換成數(shù)列．對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列；又定義．設(shè)是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．(Ⅰ)如果數(shù)列為5，3，2，寫出數(shù)列;（Ⅱ）對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列,證明;（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù),當時，．【答案】（Ⅰ）解：,，;，．,故．（Ⅲ）證明：設(shè)是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列．當存在，使得時，交換數(shù)列的第項與第項得到數(shù)列，則．當存在，使得時，若記數(shù)列為，則．所以．從而對于任意給定的數(shù)列，由可知．又由（Ⅱ）可知，所以．即對于，要么有，要么有．因為是大于2的整數(shù)，所以經(jīng)過有限步后，必有．即存在正整數(shù)，當時，10?！?010高考北京理第20題】(13分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2,…，xn)，xi∈{0，1},i＝1,2，…,n}（n≥2）．對于A＝（a1，a2，…，an）,B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定義A與B的差為A－B＝（｜a1－b1|，|a2－b2|，…,｜an－bn|)；A與B之間的距離為d(A,B）＝（1）證明：A，B，C∈Sn，有A－B∈Sn,且d(A－C,B－C)＝d(A,B）;（2)證明：A，B，C∈Sn,d(A，B),d（A，C)，d（B，C）三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù);（3)設(shè)PSn，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為（P)，證明：。由題意知ai，bi，ci∈｛0,1}（i＝1,2，…，n)．當ci＝0時，||ai－ci｜－|bi－ci｜|＝｜ai－bi|;當ci＝1時，||ai－ci｜－｜bi－ci||＝｜（1－ai)－（1－bi)|＝|ai－bi|。所以d（A－C，B－C）＝＝d（A，B）．(2設(shè)A＝（a1，a2,…，an)，B＝(b1，b2，…，bn)，C＝(c1，c2，…，cn）∈Sn，d（A，B)＝k，d(A，C)＝l，d(B，C）＝h.記O＝（0，0，…，0）∈Sn，由(1)可知d（A，B)＝d（A－A，B－A)＝d(O，B－A）＝k，d（A,C)＝d（A－A,C－A)＝d(O，C－A)＝l，d（B，C)＝d(B－A，C－A）＝h。所以|bi－ai｜(i＝1,2，…，n)中1的個數(shù)為k，｜ci－ai|(i＝1,2，…，n)中1的個數(shù)為l。設(shè)t是使|bi－ai|＝｜ci－ai｜＝1成立的i的個數(shù),則h＝l＋k－2t，由此可知，k，l,h三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d（A，B),d(A，C），d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．(3)d(A，B）,其中d(A,B）表示P中所有兩個元素間距離的總和．設(shè)P中所有元素的第i個位置的數(shù)字中共有ti個1，m－ti個0，則d（A，B）＝．由于ti(m－ti)≤(i＝1,2，…，n),所以d（A，B）≤。從而d(A，B）≤。11。【2011高考北京理第20題】若數(shù)列：，，…,滿足（，2，…，）,則稱為E數(shù)列。記.（1）寫出一個滿足,且的E數(shù)列；（2）若,，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是；（3）對任意給定的整數(shù)，是否存在首項為0的E數(shù)列,使得？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。是遞增數(shù)列。綜上,結(jié)論得證.（Ⅲ）令，則，因為,所以因為，所以為偶數(shù)所以是偶數(shù)，所以要使必須使為偶數(shù)，即4整除,亦即或當時，E數(shù)列的項滿足，有時，有,當時，E數(shù)列的項滿足，當或時，不能被4整除，此時不存在E數(shù)列，使得12.【2012高考北京理第20題】（本小題共13分）設(shè)是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足:每個數(shù)的絕對值不大于，且所有數(shù)的和為零.記為所有這樣的數(shù)表組成的集合。對于，記為的第行各數(shù)之和（），為的第列各數(shù)之和（);記為，,…，，，，…,中的最小值.（1）對如下數(shù)表，求的值；（2）設(shè)數(shù)表形如求的最大值；（3）給定正整數(shù),對于所有的，求的最大值.則,∴同理可知，∴由題目所有數(shù)和為即∴與題目條件矛盾∴．易知當時，存在∴的最大值為1（3）的最大值為。首先構(gòu)造滿足的:，。經(jīng)計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0,且，，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個數(shù)表,使得。由的定義知的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2,故的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中。由于，故的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于。設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設(shè)，則。另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負.考慮的第一行,由前面結(jié)論知的第一行有不超過個正數(shù)和不少于個負數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過1（即每個正數(shù)均不超過1），每個負數(shù)的絕對值不小于（即每個負數(shù)均不超過）.因此,故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾。因此的最大值為。(lbylfx）13?！?014高考北京理第20題】（本小題滿分13分）對于數(shù)對序列，記，，其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù).（1)對于數(shù)對序列,求的值；(2）記為，,，四個數(shù)中最小的數(shù)，對于由兩個數(shù)對組成的數(shù)對序列和，試分別對和兩種情況比較和的大小;（3）在由五個數(shù)對組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列使最小，并寫出的值。（只需寫出結(jié)論)?！敬鸢浮浚?）7，8；（2)無論還是,都有成立；（3），，，,.試題解析:依題意，，.（2），，當時，，因為，且，所以,當時，，因為，且，所以,所以無論還是，都有成立.（3）數(shù)對序列：（4，6），（11，11），(16,11),(11,8）,（5,2）的值最小.，，，,.考點:新定義題型。14.【2015高考北京，理20】已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；（Ⅱ)若集合存在一個元素是3的倍數(shù),證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．【答案】（1)，（2)證明見解析，(3）8（Ⅱ）因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由已知，可用用數(shù)學歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)，當時，則M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時，因為或，所以是3的倍數(shù),于是是3的倍數(shù),類似可得,都是3的倍數(shù)，從而對任意，是3的倍數(shù)，因此的所有元素都是3的倍數(shù).（Ⅲ）由于中的元素都不超過36，由,易得,類似可得，其次中的元素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外,都是4的倍數(shù),因為第二個數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知,第三個數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外,M中的數(shù)除以9的余數(shù)，由定義可知，和除以9的余數(shù)一樣，①若中有3的倍數(shù)，由（2）知:所有的都是3的倍數(shù),所以都是3的倍數(shù)，所以除以9的余數(shù)為為3，6，3，6，。..。。.，或6,3，6，3。..。..，或0，0，0，。.,而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12，除以9余6且是4的倍數(shù)只有24，除以9余0且是4的倍數(shù)只有36，則M中的數(shù)從第三項起最多2項，加上前面兩項，最多4項。②中沒有3的倍數(shù)，則都不是3的倍數(shù)，對于除以9的余數(shù)只能是1，4，7，2，5，8中的一個,從起,除以9的余數(shù)是1，2，4,8，7,5，1，2，4，8,。。，不斷的6項循環(huán)(可能從2，4，8,7或5開始）,而除以9的余數(shù)是1，2,4，8,5且是4的倍數(shù)(不大于36），只有28，20，4，8，16，32,