生活中的三角模型 論文

生活中的三角模型摘要：在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多同學(xué)對幾何問題的解決較為吃力，尤其是遇到幾何問題與生活實際相聯(lián)系的時候，無從下手.而三角形的相關(guān)學(xué)習(xí)又是初中幾何學(xué)習(xí)中的重點.通過將生活中的物體進行抽象、提取出基本的幾何圖形，利用不同圖形的性質(zhì)加以解決.關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)生活幾何圖形三角形隨著新課標(biāo)改革的不斷推進，初中的數(shù)學(xué)教學(xué)也在不斷的發(fā)生著變化，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于圖形知識占據(jù)著特殊而又重要的地位，這種圖形知識的學(xué)習(xí)與學(xué)生之前所熟知的代數(shù)學(xué)習(xí)有著很大的差異.對于部分學(xué)生來說，幾何需要立體與發(fā)散的思維，而要從生活現(xiàn)象中抽象出具體貼合實際的幾何圖形則有很大難度.同時對于初中教數(shù)學(xué)的老師來說，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和發(fā)散性思維，以及對圖形教學(xué)方法進行改革和創(chuàng)新也是教學(xué)中的一大難點.因此，在平時教師要培養(yǎng)學(xué)生善于觀察和發(fā)現(xiàn)生活中的幾何圖形，通過抽象、變化、應(yīng)用、歸納等盡自己的所能來提高學(xué)生識圖、歸納的能力.任何一門學(xué)科的學(xué)習(xí)，要想達(dá)到理想的效果，必然是離不開興趣的支持的.如果一個學(xué)生對幾何問題產(chǎn)生了極大的興趣，那么很多困難的問題都會迎刃而解.那么如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣呢？其實就是要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何的美.“小紅旗”模型看到校門口飄揚的彩旗，我們可以把它旗桿看成一條直線，紅旗看成是一個三角形，從中抽象出我們初一時候?qū)W習(xí)的“三角形”的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，即∠DCA=∠A+∠B.這里的∠DCA是直角，如果我們觀察紅領(lǐng)巾，把紅領(lǐng)巾的長邊看成是直線，則仍然有∠CAB+∠C=∠DBC.如果學(xué)生在生活中善于觀察，那么在學(xué)習(xí)三角形外角這一章節(jié)的時候就可以自然聯(lián)想到生活中的一些幾何圖形，從而對幾何學(xué)習(xí)更有興趣，并且掌握的更好.CCABDBCBCDAA生活中的“勾股定理”據(jù)史料記載在2500年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家參加餐會時，由于大餐遲遲不上桌，畢達(dá)哥拉斯就觀察起朋友家的裝飾，后來他注意到腳下有一些方形瓷磚，它們這些排列規(guī)則并且圖案優(yōu)美，但是畢達(dá)哥拉斯并不只是欣賞瓷磚的美麗，還想到了他們和數(shù)之間的關(guān)系，便拿了畫筆蹲在地板上，選擇其中了一塊磁磚，以它的對角線AB為邊畫一個正方形，算出正方形的面積，他又計算了兩塊磁磚的面積和.結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個的面積相等，這引起了他的好奇，于是他再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，算出面積，他發(fā)現(xiàn)這個面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和.此時畢達(dá)哥拉斯作了一個大膽的假設(shè)：對于任意一個直角三角形，斜邊的平方等于兩條直角邊平方之和.這就是著名的“勾股定理”.其實勾股定理在我們的生活中隨處可見并且應(yīng)用廣泛.例如實際生活中經(jīng)常會遇到的問題測量小河的寬度.方法一：在河岸邊選取點A，在點A的對岸選取一個參照點C，測得∠CAD=30°，小明沿河岸向前走30m選取點B，并測得∠CBD=60°.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，可以求得小河的寬度.分析1：我們可以根據(jù)題意先畫出示意圖，將小河的一邊看成是一條直線，則點C在另一邊上，過點C作CE⊥AD，則CE的距離就是小河的寬度.設(shè)BE=,則在Rt△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出BC，繼而在Rt△BCE中，再次利用勾股定理求出的值，也可得出CE的長度.CCABED解：過點C作CE⊥AD于點E.由題意得：AB=30,∠CAD=30°,∠CBD=60°.∴∠ACB=∠CAB=30°,∴BA=BC=30.設(shè)BE=,在Rt△BCE中，可得CE=.又∵BC2=BE2+CE2,即900=2+32.∴=15，CE=.感悟：此解法考察直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵就在于畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.這就要求學(xué)生能夠?qū)⑸顚嶋H和幾何圖形有效的聯(lián)想到一起，快速準(zhǔn)確的畫出示意圖，找出解題之法.方法二：在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A,在河的另一邊選點C,作AB⊥BC，EC⊥BC，取BC中點D，測得BD=9米，DC=9米，EC=米，則可求出AB之間的距離.ABDCCE 分析2：我們根據(jù)題意畫出示意圖，將小河的河岸兩邊看成是兩條平行線，在河一邊取點A，對應(yīng)的河對岸取點B，在B的同一側(cè)取點D、C和E，利用△ABD≌△ECD，求出AB.解：如圖所示，作AB⊥BC,EC⊥BC，AE與BC相交于點D.所以∠ABD=90°,∠ECD=90°.在△ABD與△ECD中，∵∠ABD=∠ECD,BD=CD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD.∴AB=CE=感悟：此解法考察全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵在于畫示意圖并且構(gòu)造出一對全等三角形，再根據(jù)生活實際，測量出三條邊的長度，利用角邊角求出AB的長.方法三：在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A,再在河的這一邊選點B和C,使AB⊥BC,然后再選點E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點為D，測得BD=9米，DC=米，EC=5米，則可求出AB之間的距離.ABDCE分析3：我們根據(jù)題意畫出示意圖，將小河的河岸兩邊看成是兩條平行線，在河一邊取點A，對應(yīng)的河對岸取點B，在B的同一側(cè)取點D、C和E，利用△ABD∽△ECD，求出AB.解：如圖所示，作AB⊥BC,EC⊥BC，AE與BC相交于點D.所以∠ABD=90°,∠ECD=90°.在△ABD與△ECD中，∵∠ABD=∠ECD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD.∴∵BD=9，DC=，EC=5所以代入得,則AB=.∴AB=CE=感悟：此解法考察相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵在于畫示意圖并且構(gòu)造出一對相似三角形，再根據(jù)生活實際，測量出三條邊的長度，以此來求得AB的長.總結(jié)：數(shù)學(xué)來源于生活又反饋于生活，得出三種解決問題的辦法，這就要求教師在平時的教學(xué)中要在注重學(xué)生的幾何圖形與生活實際的聯(lián)系。實際上通過抽象把實際問題轉(zhuǎn)化為課本上的幾何知識，一題多解、一題多變來發(fā)掘?qū)W生思考問題的能力.三角形和其他幾何圖形相結(jié)合生活中三角形和圓三角形具有穩(wěn)定性，而圓是平面圖形中最完美的圖形，所以在日常生活中，人們常常把三角形和圓組合到一起進行搭配，使物體保證了穩(wěn)固性又達(dá)到了美觀的效果.下圖是我們常見的一些組合搭配：課程性質(zhì)根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力.在幾何探究性的學(xué)習(xí)過程中，緊扣實際生活，結(jié)合所學(xué)過的幾何知識，對實際物體進行抽象概括，實現(xiàn)由所學(xué)內(nèi)容聯(lián)想到實際物體和由實際物體聯(lián)想到所學(xué)圖形的自由轉(zhuǎn)化.在這個過程中，學(xué)習(xí)者是通過不斷地嘗試搭建、選擇分類、組合分解等活動來增加自己的體驗，豐富自己的想象，進而理解課本知識的.使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.教學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容構(gòu)造基本圖形是一種重要的解題策略，應(yīng)用非常廣泛.因此在教學(xué)中，我們要立足基本圖形，有意識的引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本圖形的特征，從構(gòu)造的基本圖形中尋求解決問題的突破口，構(gòu)造不同的圖形就可能實現(xiàn)不同的解法，實現(xiàn)一題多解，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)方法按照從具體實物到抽象圖形的一般方法探索實際物體和幾何圖形之間的聯(lián)系.經(jīng)歷觀察、實驗、歸納、推理、作圖和應(yīng)用的過程.讓學(xué)生掌握基本圖形，滲透轉(zhuǎn)化的思想，從而對生活中的實例進行快速的概括和抽象.教學(xué)要求“能對問題進行抽象概括并做出分析和判斷（直觀抽象思維）；會用數(shù)學(xué)語言（符號、圖形、文字）對問題進行描述或論證（運算推理能力）；能基于陌生的情境，進行數(shù)據(jù)的分析和判斷（應(yīng)用建模意識）.”這是初中數(shù)學(xué)教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求.培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度審視題目，采取多種構(gòu)造方法，在不斷思考、創(chuàng)新、驗證的過程中提高學(xué)生的構(gòu)造水平.鏈接中考（2019年江蘇省宿遷中考）宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB、CD都與地面l平行，車輪半徑為32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐墊E與點B的距離BE為15cm．（1）求坐墊E到地面的距離；（2）根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時，坐騎比較舒適．小明的腿長約為80cm，現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E'，求EE′的長．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）分析：（1）作EM⊥CD于點M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；作E′H⊥CD于點H，先根據(jù)E′C＝求得E′C的長度，再根據(jù)EE′＝CE﹣CE′可得答案.解：（1）如圖1，過點E作EM⊥CD于點M，由題意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），則單車車座E到地面的高度為67.5+32≈99.5（cm）；（2）如圖2所示，過點E′作E′H⊥CD于點H，由題意知E′H＝80×0.8＝64，則E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．感悟：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，準(zhǔn)確的構(gòu)造出題目中所含的三角形和圓，利用銳角三角函數(shù)進行解答．學(xué)習(xí)反思對于初中學(xué)生，考慮到他們的知識儲備，遇到生活中的實物時，盡可能多的往大家所熟知的圖形中引導(dǎo)，比如：三角形、圓、正方形等.在三角形的學(xué)習(xí)中，結(jié)合勾股定理、全等三角形和相似三角形尋求一題多解，這樣不僅可以開闊學(xué)生的眼界，體會數(shù)學(xué)的魅力，更能拓展學(xué)生的思維.從生活中聯(lián)想到并且抽象出具體圖形，也能增加學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的求真、至簡、尚美.教學(xué)中還要關(guān)注六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象，數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.對于生活中的常見物體，我們準(zhǔn)確的構(gòu)建和利用基本圖形的概念和性質(zhì)，思維含量要求非常高，具有邏輯推理與直觀想象并行，數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)思想并重的特色.在問題分析中提升學(xué)生的應(yīng)用能力，在方法研究中強化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，觸發(fā)廣度學(xué)習(xí)，使學(xué)生素養(yǎng)提升真實發(fā)生.斯托利亞曾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動（思維活動）的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動的結(jié)果