生活中的三角模型 論文

生活中的三角模型摘要：在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多同學(xué)對(duì)幾何問(wèn)題的解決較為吃力，尤其是遇到幾何問(wèn)題與生活實(shí)際相聯(lián)系的時(shí)候，無(wú)從下手.而三角形的相關(guān)學(xué)習(xí)又是初中幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn).通過(guò)將生活中的物體進(jìn)行抽象、提取出基本的幾何圖形，利用不同圖形的性質(zhì)加以解決.關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)生活幾何圖形三角形隨著新課標(biāo)改革的不斷推進(jìn)，初中的數(shù)學(xué)教學(xué)也在不斷的發(fā)生著變化，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于圖形知識(shí)占據(jù)著特殊而又重要的地位，這種圖形知識(shí)的學(xué)習(xí)與學(xué)生之前所熟知的代數(shù)學(xué)習(xí)有著很大的差異.對(duì)于部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，幾何需要立體與發(fā)散的思維，而要從生活現(xiàn)象中抽象出具體貼合實(shí)際的幾何圖形則有很大難度.同時(shí)對(duì)于初中教數(shù)學(xué)的老師來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和發(fā)散性思維，以及對(duì)圖形教學(xué)方法進(jìn)行改革和創(chuàng)新也是教學(xué)中的一大難點(diǎn).因此，在平時(shí)教師要培養(yǎng)學(xué)生善于觀察和發(fā)現(xiàn)生活中的幾何圖形，通過(guò)抽象、變化、應(yīng)用、歸納等盡自己的所能來(lái)提高學(xué)生識(shí)圖、歸納的能力.任何一門學(xué)科的學(xué)習(xí)，要想達(dá)到理想的效果，必然是離不開興趣的支持的.如果一個(gè)學(xué)生對(duì)幾何問(wèn)題產(chǎn)生了極大的興趣，那么很多困難的問(wèn)題都會(huì)迎刃而解.那么如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣呢？其實(shí)就是要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何的美.“小紅旗”模型看到校門口飄揚(yáng)的彩旗，我們可以把它旗桿看成一條直線，紅旗看成是一個(gè)三角形，從中抽象出我們初一時(shí)候?qū)W習(xí)的“三角形”的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即∠DCA=∠A+∠B.這里的∠DCA是直角，如果我們觀察紅領(lǐng)巾，把紅領(lǐng)巾的長(zhǎng)邊看成是直線，則仍然有∠CAB+∠C=∠DBC.如果學(xué)生在生活中善于觀察，那么在學(xué)習(xí)三角形外角這一章節(jié)的時(shí)候就可以自然聯(lián)想到生活中的一些幾何圖形，從而對(duì)幾何學(xué)習(xí)更有興趣，并且掌握的更好.CCABDBCBCDAA生活中的“勾股定理”據(jù)史料記載在2500年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家參加餐會(huì)時(shí)，由于大餐遲遲不上桌，畢達(dá)哥拉斯就觀察起朋友家的裝飾，后來(lái)他注意到腳下有一些方形瓷磚，它們這些排列規(guī)則并且圖案優(yōu)美，但是畢達(dá)哥拉斯并不只是欣賞瓷磚的美麗，還想到了他們和數(shù)之間的關(guān)系，便拿了畫筆蹲在地板上，選擇其中了一塊磁磚，以它的對(duì)角線AB為邊畫一個(gè)正方形，算出正方形的面積，他又計(jì)算了兩塊磁磚的面積和.結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)的面積相等，這引起了他的好奇，于是他再以兩塊磁磚拼成的矩形之對(duì)角線作另一個(gè)正方形，算出面積，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和.此時(shí)畢達(dá)哥拉斯作了一個(gè)大膽的假設(shè)：對(duì)于任意一個(gè)直角三角形，斜邊的平方等于兩條直角邊平方之和.這就是著名的“勾股定理”.其實(shí)勾股定理在我們的生活中隨處可見(jiàn)并且應(yīng)用廣泛.例如實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到的問(wèn)題測(cè)量小河的寬度.方法一：在河岸邊選取點(diǎn)A，在點(diǎn)A的對(duì)岸選取一個(gè)參照點(diǎn)C，測(cè)得∠CAD=30°，小明沿河岸向前走30m選取點(diǎn)B，并測(cè)得∠CBD=60°.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以求得小河的寬度.分析1：我們可以根據(jù)題意先畫出示意圖，將小河的一邊看成是一條直線，則點(diǎn)C在另一邊上，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，則CE的距離就是小河的寬度.設(shè)BE=,則在Rt△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出BC，繼而在Rt△BCE中，再次利用勾股定理求出的值，也可得出CE的長(zhǎng)度.CCABED解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E.由題意得：AB=30,∠CAD=30°,∠CBD=60°.∴∠ACB=∠CAB=30°,∴BA=BC=30.設(shè)BE=,在Rt△BCE中，可得CE=.又∵BC2=BE2+CE2,即900=2+32.∴=15，CE=.感悟：此解法考察直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵就在于畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.這就要求學(xué)生能夠?qū)⑸顚?shí)際和幾何圖形有效的聯(lián)想到一起，快速準(zhǔn)確的畫出示意圖，找出解題之法.方法二：在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,在河的另一邊選點(diǎn)C,作AB⊥BC，EC⊥BC，取BC中點(diǎn)D，測(cè)得BD=9米，DC=9米，EC=米，則可求出AB之間的距離.ABDCCE 分析2：我們根據(jù)題意畫出示意圖，將小河的河岸兩邊看成是兩條平行線，在河一邊取點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)的河對(duì)岸取點(diǎn)B，在B的同一側(cè)取點(diǎn)D、C和E，利用△ABD≌△ECD，求出AB.解：如圖所示，作AB⊥BC,EC⊥BC，AE與BC相交于點(diǎn)D.所以∠ABD=90°,∠ECD=90°.在△ABD與△ECD中，∵∠ABD=∠ECD,BD=CD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD.∴AB=CE=感悟：此解法考察全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵在于畫示意圖并且構(gòu)造出一對(duì)全等三角形，再根據(jù)生活實(shí)際，測(cè)量出三條邊的長(zhǎng)度，利用角邊角求出AB的長(zhǎng).方法三：在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在河的這一邊選點(diǎn)B和C,使AB⊥BC,然后再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點(diǎn)為D，測(cè)得BD=9米，DC=米，EC=5米，則可求出AB之間的距離.ABDCE分析3：我們根據(jù)題意畫出示意圖，將小河的河岸兩邊看成是兩條平行線，在河一邊取點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)的河對(duì)岸取點(diǎn)B，在B的同一側(cè)取點(diǎn)D、C和E，利用△ABD∽△ECD，求出AB.解：如圖所示，作AB⊥BC,EC⊥BC，AE與BC相交于點(diǎn)D.所以∠ABD=90°,∠ECD=90°.在△ABD與△ECD中，∵∠ABD=∠ECD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD.∴∵BD=9，DC=，EC=5所以代入得,則AB=.∴AB=CE=感悟：此解法考察相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵在于畫示意圖并且構(gòu)造出一對(duì)相似三角形，再根據(jù)生活實(shí)際，測(cè)量出三條邊的長(zhǎng)度，以此來(lái)求得AB的長(zhǎng).總結(jié)：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又反饋于生活，得出三種解決問(wèn)題的辦法，這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中要在注重學(xué)生的幾何圖形與生活實(shí)際的聯(lián)系。實(shí)際上通過(guò)抽象把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為課本上的幾何知識(shí)，一題多解、一題多變來(lái)發(fā)掘?qū)W生思考問(wèn)題的能力.三角形和其他幾何圖形相結(jié)合生活中三角形和圓三角形具有穩(wěn)定性，而圓是平面圖形中最完美的圖形，所以在日常生活中，人們常常把三角形和圓組合到一起進(jìn)行搭配，使物體保證了穩(wěn)固性又達(dá)到了美觀的效果.下圖是我們常見(jiàn)的一些組合搭配：課程性質(zhì)根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.在幾何探究性的學(xué)習(xí)過(guò)程中，緊扣實(shí)際生活，結(jié)合所學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)，對(duì)實(shí)際物體進(jìn)行抽象概括，實(shí)現(xiàn)由所學(xué)內(nèi)容聯(lián)想到實(shí)際物體和由實(shí)際物體聯(lián)想到所學(xué)圖形的自由轉(zhuǎn)化.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)習(xí)者是通過(guò)不斷地嘗試搭建、選擇分類、組合分解等活動(dòng)來(lái)增加自己的體驗(yàn)，豐富自己的想象，進(jìn)而理解課本知識(shí)的.使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.教學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容構(gòu)造基本圖形是一種重要的解題策略，應(yīng)用非常廣泛.因此在教學(xué)中，我們要立足基本圖形，有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本圖形的特征，從構(gòu)造的基本圖形中尋求解決問(wèn)題的突破口，構(gòu)造不同的圖形就可能實(shí)現(xiàn)不同的解法，實(shí)現(xiàn)一題多解，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)方法按照從具體實(shí)物到抽象圖形的一般方法探索實(shí)際物體和幾何圖形之間的聯(lián)系.經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、推理、作圖和應(yīng)用的過(guò)程.讓學(xué)生掌握基本圖形，滲透轉(zhuǎn)化的思想，從而對(duì)生活中的實(shí)例進(jìn)行快速的概括和抽象.教學(xué)要求“能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象概括并做出分析和判斷（直觀抽象思維）；會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)、圖形、文字）對(duì)問(wèn)題進(jìn)行描述或論證（運(yùn)算推理能力）；能基于陌生的情境，進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析和判斷（應(yīng)用建模意識(shí)）.”這是初中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求.培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度審視題目，采取多種構(gòu)造方法，在不斷思考、創(chuàng)新、驗(yàn)證的過(guò)程中提高學(xué)生的構(gòu)造水平.鏈接中考（2019年江蘇省宿遷中考）宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中AB、CD都與地面l平行，車輪半徑為32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐墊E與點(diǎn)B的距離BE為15cm．（1）求坐墊E到地面的距離；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適．小明的腿長(zhǎng)約為80cm，現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E'，求EE′的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）分析：（1）作EM⊥CD于點(diǎn)M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；作E′H⊥CD于點(diǎn)H，先根據(jù)E′C＝求得E′C的長(zhǎng)度，再根據(jù)EE′＝CE﹣CE′可得答案.解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，由題意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），則單車車座E到地面的高度為67.5+32≈99.5（cm）；（2）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)E′作E′H⊥CD于點(diǎn)H，由題意知E′H＝80×0.8＝64，則E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．感悟：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，準(zhǔn)確的構(gòu)造出題目中所含的三角形和圓，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答．學(xué)習(xí)反思對(duì)于初中學(xué)生，考慮到他們的知識(shí)儲(chǔ)備，遇到生活中的實(shí)物時(shí)，盡可能多的往大家所熟知的圖形中引導(dǎo)，比如：三角形、圓、正方形等.在三角形的學(xué)習(xí)中，結(jié)合勾股定理、全等三角形和相似三角形尋求一題多解，這樣不僅可以開闊學(xué)生的眼界，體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力，更能拓展學(xué)生的思維.從生活中聯(lián)想到并且抽象出具體圖形，也能增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的求真、至簡(jiǎn)、尚美.教學(xué)中還要關(guān)注六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.對(duì)于生活中的常見(jiàn)物體，我們準(zhǔn)確的構(gòu)建和利用基本圖形的概念和性質(zhì)，思維含量要求非常高，具有邏輯推理與直觀想象并行，數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)思想并重的特色.在問(wèn)題分析中提升學(xué)生的應(yīng)用能力，在方法研究中強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，觸發(fā)廣度學(xué)習(xí)，使學(xué)生素養(yǎng)提升真實(shí)發(fā)生.斯托利亞曾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)（思維活動(dòng)）的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果