矩形中的折疊問題20200508

課前準(zhǔn)備

期中模擬四1.學(xué)案P21-222.練習(xí)本請(qǐng)大家坐到書桌前！山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)孟慶玲矩形中的折疊問題小專題（一）

例1：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出折痕，并求折痕的長．情境創(chuàng)設(shè)問題驅(qū)動(dòng)敲黑板：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕（對(duì)稱軸）垂直平分.探究1：如圖,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在F處，BF交AD于點(diǎn)E.你能得到哪些結(jié)論？1、全等三角形：

△FBD≌△CBD;△ABE≌△FDE

敲黑板：角平分線與平行線組合時(shí),能得到等腰三角形2、相等的線段：BF=BC=AD;DF=DC=AB;AE=FE;BE=DE3、相等的角：∠FBD=∠CBD;∠FDB=∠CDB;∠BAE=∠DFE;∠EBD=∠EDB

…

4、重要結(jié)論：

△BED是等腰三角形探求發(fā)現(xiàn)形成新知小結(jié)：折疊過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)軸對(duì)稱變換，折痕就是對(duì)稱軸，變換前后兩個(gè)圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕（對(duì)稱軸）垂直平分.知識(shí)歸納拓展應(yīng)用

1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6B。

小結(jié)：在矩形的折疊問題中，求線段長問題，一般設(shè)未知數(shù)，找到相應(yīng)的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解決問題。知識(shí)歸納拓展應(yīng)用

2．如圖，已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上一點(diǎn)，∠BEG＝60°．沿直線EG將紙片折疊，使點(diǎn)B落在紙片上的點(diǎn)H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2A知識(shí)歸納拓展應(yīng)用

3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長為（）D重點(diǎn)考點(diǎn)：折疊前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕（對(duì)稱軸）垂直平分.知識(shí)歸納拓展應(yīng)用

4.如圖，將矩形ABCD沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)D恰好與BC邊上的點(diǎn)H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度數(shù)等于

．56°知識(shí)歸納拓展應(yīng)用

5.在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；解:（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠ABD＝∠CDB，由折疊的性質(zhì),∴∠EBD＝∠BDF，又∵AD∥BC∴BE∥DF∴四邊形BFDE為平行四邊形；在Rt△ABE中，由勾股定理得，x2+22=（2x）2解得x=知識(shí)歸納拓展應(yīng)用

5.在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于E．將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F．（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB＝2，求BC的長．解：∵四邊形BFDE為菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴設(shè)AE=x，則BE=2x∴BE＝2AE＝∴BC＝AD＝AE+ED＝AE+BE＝＝知識(shí)歸納拓展應(yīng)用

6.將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），點(diǎn)D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）當(dāng)m＝3時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和點(diǎn)E的坐標(biāo)；（自己重新畫圖）

在Rt△CDE中，知識(shí)歸納拓展應(yīng)用

6.將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），點(diǎn)D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．（2）隨著m的變化，試探索：點(diǎn)E能否恰好落在x軸上？若能，請(qǐng)求出m的值；若不能，說明理由．（2）點(diǎn)E能恰好落在x軸上．理由如下：∵四邊形OABC為矩形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°，由折疊性質(zhì)可得：DE＝BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3，AE＝AB＝OC＝m，在Rt△AOE中，OA2+OE2＝AE2，如圖1，點(diǎn)E恰好落在x軸上，知識(shí)歸納拓展應(yīng)用7.如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．（1）求矩形ABCD的周長；（2）E是CD上的點(diǎn)，將△ADE沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)F處．①求DE的長；

∴FC＝4，在Rt△ECF中，42+（8﹣DE）2＝EF2，知識(shí)歸納拓展應(yīng)用7.如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．E是CD上的點(diǎn)，將△ADE沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)F處．

(2)②點(diǎn)P是線段CB延長線上的點(diǎn)，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長．

解：②分三種情形討論：當(dāng)AP＝AF時(shí)，∵AB⊥PF，∴PB＝BF＝6當(dāng)PF＝AF時(shí)，則PF＝AF=10，∴PB=PF-BF=10-6=4當(dāng)AP＝PF時(shí)，設(shè)PB=x在Rt△APB中，AP2＝PB2+AB2＝x2+82∴x2+82＝（x+6）2解得x＝綜上所述，PB＝6或4或問題變式思維提升

例2：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=4cm，點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A′落在BC邊上,當(dāng)折痕EF移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A′在BC邊上也隨之移動(dòng)。則A′C的范圍為

1≤A′C≤331443敲黑板：點(diǎn)E、F分別在AB、AD上移動(dòng)，可畫出兩個(gè)極端位置時(shí)的圖形。知識(shí)歸納拓展應(yīng)用7.如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．E是CD上的點(diǎn)，將△ADE沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)F處．（3）M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，在DC上存在點(diǎn)N，使△MDN沿折痕MN折疊，點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和．解：（3）當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，所以線段CT長度的最大值與最小值之和為：8+4=12．CT取最大值是8當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，CT取最小值為4，學(xué)習(xí)小結(jié)，反思提升1.折疊過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)軸對(duì)稱變換，折痕就是對(duì)稱軸，變換前后兩個(gè)圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕(對(duì)稱軸)垂直平分.2.求折疊問題中的線段的長的方法一般有：設(shè)未知數(shù)后，利用勾股定理、面積法解決問題。今后我們還會(huì)學(xué)習(xí)更多解決折疊問題的方法）3.在折疊問題中，若直接解決較困難時(shí)，有時(shí)還可采用動(dòng)手操作，通過折疊觀察得出問題的答案。當(dāng)堂檢測(cè)學(xué)以致用布置作業(yè)數(shù)學(xué)作業(yè)：1、學(xué)案P36-372、整理小專題（一）3、選做題：如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE