層次分析法例子

張老師需要購買一輛私家小轎車，他考慮的主要因素有：價格適中，售后比較好，轎車的動力性較好，燃油經(jīng)濟性相對較好。經(jīng)過轎車銷售商的介紹，他初步選擇了甲、乙、丙三款轎車，情況如表5-2所示：表5-2甲乙丙價格（萬元）352822售后服務稍差較好好動力性好較好一般燃油經(jīng)濟性較好好稍差下面利用AHP方法來幫助張老師選擇一套盡可能滿意的轎車。解：用AHP方法研究解決問題的具體步驟是：第一步：分析和細化具體問題，明確該問題的總目標。第二步：構建遞階的層次結(jié)構模型。這是AHP的關鍵步驟。通常模型結(jié)構分為3層，其中頂層為目標層，中間層為準則層（根據(jù)問題的復雜程度，每項準則還可以細分為若干子準則），最底層為方案層。（1） 目標層。這是最高層次，或稱為理想結(jié)果層。如需要，可再分為總目際層，戰(zhàn)略目標層，戰(zhàn)術目標層以至子戰(zhàn)術目標層等；（2） 準則層。第二層次為評價準則或衡量準則，也可為因素層、約束層。同樣，可再分為子準則層、子因素層等；（3） 措施層。第三層次為措施層，或?qū)Σ邔?、備擇對象（人選、方案）等層，對不同問題可有不同的描述。同樣，可再分為子措施層或子對策層等。構造一個好的層次結(jié)構對于問題的解決極為重要．它決定了分析結(jié)果的有效程度。層次結(jié)構建立在決策者（或分析者）對問題全面深入認識的基礎之上。如果在層次的劃分和確定層次的支配關系上舉棋不定，最好的辦法是重新分析問題，打亂原來的結(jié)構，重新定義要素并建立新的結(jié)構。第三步：構造判斷矩陣，求本層次要素相對于上一層次要素的權重。建立了遞階層次后，上下層之間元素的隸屬關系就被確定了。假設上一層次的元素C作k為準則，對下一層次的元素A,,A有支配關系。在此要在準則C下，按其相對重要性對1nkA, ,A賦予相應的權重（Weight）。對于大多數(shù)社會經(jīng)濟問題，特別是那些沒有統(tǒng)一指標1n表示而僅靠人的經(jīng)驗判斷和估計的問題，往往要通過適當?shù)姆椒▉韺С銎錂嘀兀越o出某種量化指標或直接判斷元素之間的重要性。AHP中的方法是將本層次的要素Ai和Ajij（i,j=l,2,…，n）相對于上一層次要素ck（k=l,2,…,m）按照重要程度進行兩兩比較，從而得到判斷矩陣A=（aij）nXi。在此，決策者或?qū)＜蚁到y(tǒng)要反復回答，對于準則C，下層元素A和A哪一個更為重kij要，且重要多少，并對重要多少賦予1—9的比例標度。比例標度的意義見表5-3

表5-3比例標度的意義標度值兩個兀素相比，其中一個兀素比另一個兀素的重要程度1同樣重要3稍微重要5明顯重要7強烈重要9絕對重要2，4，6，8為上述相鄰判斷的中值若因素i與j比較得a，則因素j與因素i相比得1/aijij采用上述這種比例標度的依據(jù)是：其一，心理學的實驗表明，大多數(shù)人對不同事物在相同屬性上的差別的分辨能力在5?9級之間.采用1?9的標度反映多數(shù)人的判斷能力；其二，大量的社會調(diào)查表明，1?9的比例標度早已為人們所熟悉和采用；其三，科學考察表明：1?9的比例標度已完全能夠標度引起人們感覺差別的事物的各種屬性。在例中將甲、乙、丙轎車的相對價格因素（C1）兩兩比較時，得到如下的判斷矩陣表5-4：表5-4C1甲乙丙甲11/31/4乙311/2丙421合計810/37/4此外應當指出，當被比較元素的屬性處于不同數(shù)量級時，應將較高數(shù)量級元素進一步分解，以保證被比較元素在所考慮的屬性上屬于同一數(shù)量級，視問題的特點，還可以采用0－1標度、指數(shù)標度等。由此，可以得到準則C下的判斷矩陣A：A二（a）k ijnxnA矩陣的性質(zhì)見上一節(jié)內(nèi)容。若記A的最大特征根為九，屬于九的標準化的特征maxmax向量為W=（W],…,wn）T,則W],…,wn給出了因素A],…,An相對于因素C的按重要（或偏好）程度的一個排序，即層次單排序。第四步：計算判斷矩陣A的最大特征值九，對判斷矩陣A進行一致性檢驗。max檢驗的方法和原理見上一節(jié)內(nèi)容。主要利用一致性指標CI進行檢驗，一般只要CI<0.1就可認為判斷矩陣A是滿意的。AHP計算的根本問題是如何計算判斷矩陣的最大特征根和相應的特征向量，對于這一問題可利用一般的線性代數(shù)的方法進行計算。但從實用的角度來看，一般采用下面三種近似的算法來進行計算：1、和積法為了簡化計算，可采用近似方法－和積法計算，它使得我們可以僅使用小型計算器在保證足夠精確度的條件下運用AHP。其具體計算步驟為：（1）將判斷矩陣的每一列正規(guī)化，有：b二a/工a,i,j二1,2, ,n，ijij ijj=1

(2)每一列經(jīng)過正規(guī)化后的判斷矩陣按行相加：W=￡b,j=1,2 ,ni ijj=1W12(3)將向量W=[WW ,W]T正規(guī)化，得到：W=―—,i=1,2,,n121 2 n ie——￡W???j???j=1所得到的w=[w1,w2, ,wn]T即為所求的特征向量。(4)計算判斷矩陣的最大特征根九(4)計算判斷矩陣的最大特征根九，有:max九max￡naWnWi=1 inWi=1 i式中(AW)表示向量AW的第i個分量。i2、方根法為了簡化計算，AHP也可以采用另一種近似方法一方根法計算，其步驟為：(1)將判斷矩陣A的元素按行相乘，得到：u=寸aij ijj=12)所得的乘積分別開n次方，有：u=:2)iVj3)將方根向量正規(guī)化，即得到特征向量W：Wiu3)將方根向量正規(guī)化，即得到特征向量W：Wiu i—￡uii=14)計算判斷矩陣的最大特征根九，有:max九=max￡ni=1n^aWijjnWi=1 i式中(AW)同樣表示向量AW的第i個分量。i3、冪法計算特征根的幕法使我們有可能利用計算機來得到任意精度的最大特征根九及其max對應的特征向量W。這一方法的計算步驟為:1)任取與判斷矩陣A同階的正規(guī)化的初始向量W0，例如w0=(1n,in/,Tn；/)(2)計算Wk+1=AWk,k=0,1,2n 1i=1(3)令卩=2W.z，計算Wk+1=Wk+1,k=0,1,2,(正規(guī)化)： i=1（4）對于預先給定的精確度￡，當|Wk+1-Wk||<8對所有的i=1,2 ,n成立時，則計算停止，此時W=Wk+1即為所求的特征向量，否則繼續(xù)進行（2）。判斷矩陣的最大特征值九可由下式求得:max九maxWk+九maxi nWki式中：n為矩陣的階數(shù)；Wk為向量Wk的第i個分量。例3用和積法計算下列判斷矩陣的最大特征根及其對應的特征向量。表5-5BGBGC.5C.3C2C31/51/3131/31解：（1）按照上述的和積法的計算步驟（1），得到按列正規(guī)化后的判斷矩陣為：0.1110.1300.0770.5560.6520.6920.3330.2170.2312）按照步驟（2），按行相加得：W=￡b=0.111+0.130+0.077=0.317ij_ j=1W=0.556+0.652+0.692=1.9002W=0.333+0.217+0.231=0.7813（3）將向量W=[0.317 1.9000.781]T正規(guī)化得：_ =0.317j_ =0.317jj=1W=W,1jj=1W=1.90022.998W=0.78132.998+1.9000.3172.9980.6340.261+0.7810.1062.998則所求得的特征向量為：W=[0.1060.6340.261]T。（4）計算判斷矩陣的最大特征根九max

-1 1/5 1/3"-0.106"AW=5 1 30.6343 1/3 10.261(AW)=1x0.106+-x0.634+-x0.261=0.320TOC\o"1-5"\h\z5 3(AW)=5x0.106+1x0.634+3x0.261=1.9412(AW)=3x0.106+丄x0.634+1x0.261=0.7853 3九仝竺丄=(AW) (AW)-+ 2-,(AW)■+ 3max nW3W3W3Wii i1230.3201.9410.785-+-+——3.0363x0.106 3x0.634 3x0.261例中利用近似的方法(即和法)求特征向量，對價格因素的判斷矩陣求得的結(jié)果如表5-6：表5-6甲乙丙W.甲1/81/101/70.123乙3/83/102/70.320丙4/86/104/70.557計算最大特征值，對于價格因素有：11/31/4"0.1230.369AW—311/20.320—0.9784210.5571.6891九=—max3二1九=—max3二3.029++0.123 0.320 0.5573.029-33.029-33-1=0.0145CR=0.0145=0.028<0.10.52故對價格因素的判斷矩陣通過了一致性檢驗，由該判斷矩陣計算得到的權重向量W=(0.123,0.320,0.557)T可作為甲、乙、丙三款轎車相對于價格因素的重要度比較。用相同的方法可列出甲、乙、丙三款轎車相對于其他三個因素的判斷矩陣如下：對C2對C2對C3對C41 1/5 1/8"1 1/5 1/8"5 1 1/58 5 11281/2161/81/611 1/3"3 11/5 1/7計算得到相應的權重向量，連同對q的權重向量列于表5-7中:表5-7三款轎車相對各準則的權重向量價格售后服務動力性燃油經(jīng)濟性甲0.1230.0620.5930.283乙0.3200.2120.3410.643丙0.5570.7260.0660.074以上判斷矩陣均通過了致性檢驗。最后列出C、C、c、C這4個準則相對于目標的9 4判斷矩陣并計算出權重向量分別為如下j422"「0.44"41/411/21/20.111A=1/2211W=0.222_1/2211_0.222第五步：計算同一層次上的組合權系數(shù)。為了得到遞階層次結(jié)構中每個層次中所有元素相對于總目標的相對權重，需把前一步計算的結(jié)果進行適當組合，以計算出總排序的相對權重，并進行層次和結(jié)構的一致性檢驗。在此，要由上而下逐層進行，最終得出最低層元素，即決策方案優(yōu)先順序的相對權重和整個遞階層次模型的判斷一致性。（1）組合權系數(shù)的計算。設當前層次上的因素為A、,…,A,相關的上一層因素為J，…,C,則對每個C.根據(jù)第三TOC\o"1-5"\h\z1 n 1 n i步的討論可以求出一個權向量wi=（wi, ,wi）。如果已知上一層m個因素的權重分別為1nawi，乙awi,乙aw：，如此一層層自上1m i1 i2 ini=1 i=1 i=1而下地求下去，一直到最底層所有因素的權系數(shù)（組合權系數(shù)）都求出來為止，根據(jù)最底層權系數(shù)的分布就可給出一個關于各方案優(yōu)先程度的排序，即層次總排序。在例2中，記s甲、s乙、s丙為三款轎車相對于購買一輛滿意轎車的總目標的得分為:甲乙丙「s"「0.123甲s「s"「0.123甲s=0.320乙s0.557丙1—0.0620.2120.7260.5930.3410.0660.2830.6430.0740.4440.1110.2220.2220.256"0.3850.359按得分的排序結(jié)果，B款轎車對張老師來說滿意度是最高的。（2）組合判斷的一致性檢驗。設第K層一致性檢驗的結(jié)構分別為CI,RI,CR，則第k+1層的相應指標為:kkkCI=(CI1,CI2,,CIm)ak-1k+1kkkRI=(RI1,RI2,,RIm)akk+1k kkCR=CR+CI/RIk+1 k k+1??k+1在此，叫分別為在k層第i個準則下判斷矩陣的一致性指標和平均隨機一致性指標。當CRk+1<0.1時，則認為遞階層次結(jié)構在k