不等式-【考前終極復習】高考剖析及2022年高考數(shù)學備考指南（原卷版）

“不等式”高考剖析及2022年備考指南

目錄

一、試題分析..................................................................................2

1.整體分析...............................................................................2

2.內(nèi)容分析..............................................................................2

3.題型、難度分析........................................................................2

4.文、理科命題分析......................................................................3

二、命題分析..................................................................................3

1.立足基本...............................................................................3

(1)與集合結(jié)合，考查基本能力........................................................3

(2)與三角函數(shù)結(jié)合，考查基本方法...................................................4

(3)與絕對值結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化與化歸...................................................4

(4)與數(shù)列結(jié)合，考查基本理解........................................................5

(5)線性規(guī)劃，常規(guī)問題常規(guī)解決......................................................5

(6)均值不等式，條件顯威力..........................................................7

2,注重內(nèi)容交匯，體現(xiàn)學科素養(yǎng)..............................................................7

(1)與幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)交匯，比較中凸顯不等關系..........................7

(2)與圓錐曲線相結(jié)合，巧妙運用均值不等式...........................................8

(3)與三角關系式相結(jié)合，巧妙運用均值不等式.........................................9

(4)與函數(shù)相結(jié)合，利用性質(zhì)研究不等式...............................................9

(5)與導數(shù)、數(shù)列相結(jié)合，恒成立問題放光彩..........................................10

(6)求解范圍，巧用不等式的放縮.....................................................11

(7)借助不等式，解決范圍問題.......................................................11

三、復習備考建議............................................................................13

L夯實基礎知識...........................................................................13

2.掌握通性、通法.......................................................................13

3.提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).................................................................13

“不等式”高考剖析及2022年備考指南

不等式是高中教學必修課程主題一預備知識的重要內(nèi)容，也是解決其他數(shù)學問題的重要

工具，不等式命題整體體現(xiàn)了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學思想.2021年全國

各地高考數(shù)學試卷中對不等式相關內(nèi)容的考查，不僅集中在不等式的解法、均值不等式的應

用、線性規(guī)劃等方面，更注重對不等式與其他知識的內(nèi)在聯(lián)系和綜合考查.例如，不等式與

集合運算、常用邏輯用語、基本初等函數(shù)、向量、線性規(guī)劃等內(nèi)容的融合，考查學生的基本

數(shù)學學科核心素養(yǎng)；不等式與數(shù)列、函數(shù)與導數(shù)及其應用、圓錐曲線相結(jié)合，考查學生更高

層次的數(shù)學學科核心素養(yǎng).對不等式的基本性質(zhì)、基本運算和綜合應用的考查，不僅體現(xiàn)了

不等式的基礎性，還體現(xiàn)了不等式的工具性.

一、試題分析

L整體分析

2021年高考數(shù)學共有8套試卷，其中全國甲卷和全國乙卷分文、理科，因此共有10份

試卷,綜觀10份高考數(shù)學試卷，直接考查不等式考點的試題很少，且主要是線性規(guī)劃問題,

多數(shù)試題的考查方式是把不等式和其他知識相融合.在研究2021年高考不等式相關試題的

考點和分值分布時，很難將考點和分值分離開來，這恰恰體現(xiàn)了不等式的基礎性和工具性,

同時體現(xiàn)了不等式試題的命題方向具有多面性和綜合性.

2.內(nèi)容分析

綜觀2021年各份高考數(shù)學試卷，其中對不等式相關試題的考查方式有以下七種：

（1）與集合、常用邏輯用語的結(jié)合，解決簡單的不等式問題；

（2）與三角函數(shù)，基本初等函數(shù)及其性質(zhì)，函數(shù)與導數(shù)及其極值、最值相融合，利用不等

式的工具性解決問題；

（3）與幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)運算相結(jié)合，考查比較大小的問題；

（4）均值不等式與圓錐曲線、三角公式的結(jié)合，研究最值相關問題；

（5）不等式的直接應用，解決簡單的線性規(guī)劃問題；

（6）不等式與絕對值相結(jié)合，構(gòu)建絕對值不等式問題；

（7）與向量、數(shù)列相結(jié)合，體現(xiàn)不等式的應用性.

3題型、難度分析

不等式相關試題的考查題型比較全面，選擇題、填空題和解答題均有涉及，試題難度差

異較大.線性規(guī)劃問題，不等式與集合、常用邏輯用語、圓錐曲線定義相結(jié)合的簡單問題難

度較小.例如，浙江卷第5題、全國甲卷文科第1題、全國乙卷文（理）科第3題、全國新

高考I卷第5題.均值不等式，不等式與函數(shù)結(jié)合問題，不等式與三角函數(shù)、曲線的切75?中

國數(shù)學教育?下半月（高中版）2021年第7—8期（總第243—244期）線，以及基函數(shù)、指

數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)運算等結(jié)合考查不等式與相關知識的初步融合運用問題，難度適中,例如,

全國乙卷文科第8題、全國甲卷理科第16題、浙江卷第8題、全國新高考I卷第7題、全

國新高考II卷第7題.不等式與函數(shù)及其性質(zhì)、數(shù)列、導數(shù)及其應用、圓錐曲線、絕對值不

等式相結(jié)合的問題，難度偏大，對學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)要求較高.例如，上海卷第16題、

第21題，全國乙卷文科第12題和理科第10題、第12題，全國新高考II卷第17題、第22

題，浙江卷第10題、第17題、第21題，全國新高考I卷第22題.其中，浙江卷對不等式

的考查尤為重視，在第5題，第8題，第10題，第17題，第20題，第21題，第22題中

均有對不等式及其思想方法的考查.

4.文、理科命題分析

隨著課程改革的逐步推進，越來越多省份加入到新高考行列，文、理科的命題趨勢逐漸

趨向于統(tǒng)一.2021年高考全國甲卷和全國乙卷仍延續(xù)了文、理分科的命題風格，從試題難度

和對思維能力的考查上看，理科試卷整體比文科試卷略高一籌.從與不等式及其思想方法的

運用有關試題的題量上看，全國乙卷文科卷要略多一些.這兩套試卷對應的文、理科試卷中

有較多的相同試題，有的根據(jù)難度的不同，做了題號的調(diào)配.由此可見，全國甲卷和全國乙

卷的命題既照顧到了文、理科學生的差異，又為將來高考數(shù)學取消文、理分科做了鋪墊.

二、命題分析

在2021年的10份高考數(shù)學試卷中，單獨考查不等式的試題并不多，但是涉及不等式

知識、方法的試題卻占有較大比重，凸顯了不等式的工具性和應用性.不等式的解法、線性

規(guī)劃問題主要在選擇題和填空題的基礎題中呈現(xiàn)，而與不等式深度融合的試題則更多被安排

在了選擇題和填空題壓軸題的位置上，甚至是解答題壓軸題的位置上.延續(xù)了將不等式考查

內(nèi)容嵌入更加綜合、創(chuàng)新的問題情境中的命題風格.重點凸顯了不等式的思想方法和工具作

用，利用不等式中的比較法、分析法、放縮法等，來達到考查學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目的.

1.立足基本

(1)與集合結(jié)合，考查基本能力.

例1(2021?甲卷)設集合M={1,3,5,7,9),N={x|2x>7},則M0|N=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9)

柘展題L設集合M={1,3,5,7,9),N={x|2'>7},則M0|N=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9)

柘展題2.設集合M={X|X2+2X-15<0},N={x|x..l或％,—7},則M0|N=()

A.[1,3)B.(-5,3)C.(-5,1JD.[-7,3)

(2)與三角函數(shù)結(jié)合，考查基本方法.

例2(2021?甲卷)已知函數(shù)/(X)=2COS(OX+9)的部分圖像如圖所示，則滿足條件

60一〃一7丁7T))30一/4(7才r))>°的最小正整數(shù)

為.

拓展題1.已知函數(shù)/(x)=2cos(5+(P)(①>0,|81<')

的部分圖像如圖所示.

(1)求〃的的解析式;

(2)xe[0,乃]時，解不等式

(3)與絕對值結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化與化歸

例3(2021?乙卷)已知函數(shù)/(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)當”=1時，求不等式f(x)..6的解集；

(2)若求”的取值范圍.

例4.(2020?新課標I)已知函數(shù)/(x)^3x+l|-2|x-l|.

(1)畫出y=f(x)的圖象；

(2)求不等式f(x)>/(x+l)的解集.

拓展題1.已知函數(shù)f(x)=|x-3|+|x+2|.

(1)求不等式/(x)>7的解集；

(2)若方程f(x)=3-4”有實數(shù)解，求實數(shù)”的取值范圍.

拓展題2已知函數(shù)/(x)=|x-/|+|x-2a+l|.

(1)當〃=2時，求不等式/(x)..4的解集；

(2)若/(x)..4,求a的取值范圍.

(4)與數(shù)列結(jié)合，考查基本理解.

例5(全國新高考H卷口7)記S,,是公差不為0的等差數(shù)列｛q｝的前〃項和，若4=Ss，

02a4=S4-

(I)求數(shù)列僅“｝的通項公式勺；

(II)求使S?>a?成立的n的最小值.

拓展題1記5,是公差不為0的等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，若生二導，a,a4=S5.

(1)求數(shù)列｛”“｝的通項公式％;

(2)求使S“>成立的〃的最小值.

柘展題2.已知｛《,｝是公差不為零的等差數(shù)列，5,是其前"項和，若y=9,且應是生與心

的等比中項.

(1)求｛〃“｝的通項公式；

(2)記=a“-log?a,,,neN+,證明：bn<bll+i.

(5)線性規(guī)劃，常規(guī)問題常規(guī)解決.(新高考地區(qū)不做要求)

x+1..0

則z=x-gy的最小值是（

例6（2021?浙江）若實數(shù)x,y滿足約束條件?x-y?0，

2x+3y-l?0

）

31

A.-2B.--C.--D.—

2210

x+y-4?0,

例7.已知實數(shù)x,y滿足約束條件卜-2》+5,,0,則2=%-^的最大值為.

2x-y+7..0,

（6）均值不等式，條件顯威力.

例8（2021?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（)

,4

A.y=x24-2x+4B.y=|sinx|+---C.y=2'+2-rD.y=lnx+—

|sinx|live

拓展題1.下列函數(shù)中，最小值為4的是（)

A.y=3+且j-

B.y=2&+2+-2

2Igx

4

C.y=sinx+------(0<xv乃)D.y=ex+4e~x

sinx

拓展題2.下列函數(shù)中，最小值為4的是（)

Igx12

A.y=ex+—B.y=-^—+——

3Igx

4

C.y=sinx+———(xe(0,4))D.y=y/X?+]H---r'

sinxyjx2+1

2.注重內(nèi)容交匯，體現(xiàn)學科素養(yǎng)

(1)與幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)交匯，比較中凸顯不等關系.

例9(2021?乙卷)設a=2/〃L01,b=lni.02,。=而訝-1,則()

A?a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD?c<a<b

例10.設a=*2,b=l00',C=(1.O2)2.b=2.646,2ao.6931,則()

A,a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

拓展題1.（2021秋?丹東月考）已知函數(shù)/（x）=2為（l+x）-Jl+4x+l.

⑴求一（X）的單調(diào)區(qū)間;

(2)設”=2/4.01,b=ln\.02,C=N/L04-1,比較“，b,c的大小.

（2）與圓錐曲線相結(jié)合，巧妙運用均值不等式.

22

例11（2021?新高考I）已知尸1,6是橢圓C:]+3=l的兩個焦點，點M在C上，則

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

拓展題1.（2021?乙卷）設3是橢圓。?+丁=1的上頂點，點P在C上，則|P8|的最大

值為（）

A.-B.76C.>/5D.2

2

22

拓展題2.設B是橢圓。:=+馬=1（。>6>0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足

a~h~

|PB|?2b,則C的離心率的取值范圍是（）

A.目，1）B.[1,1）C.（0,--\D.（0,1]

22

拓展題3.（2021秋?涼山州期末）己知耳，工是橢圓C：3+（=l的兩個焦點，點M在橢

圓C上，的最大值為（）

例12（2021?乙卷）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點f到準線的距離為2.

（1）求C的方程；

（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點。滿足尹0=9。7，求直線OQ斜率的最大值.

拓展題1.設拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為產(chǎn)，準線/與x軸相交于點Q,ii\QF\=2.

（1）求〃的值及拋物線的準線方程；

（2）若A,3兩點在拋物線C上且位于x軸的兩側(cè)，OAOB=-（其中O為坐標原點），

4

求A4R9與ABFO面積之和的最小值.

（3）與三角關系式相結(jié)合，巧妙運用均值不等式.

例13（2021?浙江）已知a,P,y是互不相同的銳角,則在sinacos/7,siny3cos/,sin/cosa

三個值中，大于L的個數(shù)的最大值是（）

2

A.0B.1C.2D,3

拓展題1.已知a,0,y,5為銳角，在sinacos/?,sin/7cos/,sin/cos（5,sinKcosa

四個值中，大于，的個數(shù)的最大值記為，“，小于>!■的個數(shù)的最大值記為“，則機+”等于（

24

）

4.8B.7C.6D.5

（4）與函數(shù)相結(jié)合，利用性質(zhì)研究不等式

例14（2021?乙卷）已知命題sinx<l；命題e叫.1,則下列命題中

為真命題的是（）

4.p/\qB?—p/\qC./?A—D.Tp7G

拓展題1.已知命題sinx>1>命題/V%￡（0,l）,/nx<0,則下列命題中為真命

題的是（）

A.p/\qB.(-1^)AqC?p/\一4)D.pr(f)

柘展題2.(2019?大武口區(qū)校級一模)已知命題0：玉：€??,5山犬>1,命題4：也€(0,1),lnx<0,

則下列命題中為真命題的是()

A.p/\qB.pA(―>^r)C.pv(—1夕)D.(—.p)Aq

(5)與導數(shù)、數(shù)列相結(jié)合，恒成立問題放光彩.

例16(全國新高考I卷-22)已知函數(shù)/(x)=x(l-/nx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設。，6為兩個不相等的正數(shù)，Kbhui-alnb=a—bi證明：2<1+!<e.

ab

拓展題1.已知函數(shù)/(x)=/nx-x.

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)設a,6為兩個不相等的正數(shù)，lna—lnb=a—b,證明：ab<\.

q

例17(浙江卷?20)已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，4=-(,且4s“+1=3S,,-9(〃wN*).

(I)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(II)設數(shù)列也｝滿足他,+(〃-4)a“=O(〃eN*),記電｝的前N項和為7；,若7；,,也對任

意“eN*恒成立，

求實數(shù)2的取值范圍.

拓展題1.已知正項數(shù)列｛”"｝滿足4=9,4+1-a“=4(y+1).

(I)求證：數(shù)列｛風｝為等差數(shù)列;

1

<

(II)若數(shù)列的前"項和為S,,求證:-4

(6)求解范圍，巧用不等式的放縮.

例18(浙江卷,10)已知數(shù)列｛氏｝滿足q=1,4+1=——j=(neA^*).記數(shù)列｛4｝的前”項

1+A

和為S“，貝ij()

399

A.—<S<3B.3<S,<4C.4<S,<—D.—<S.<5

2iInC.Xn.)1UUmIvMmJ221m

拓展題I.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1，且向=羋=(〃”).

i+M

(I)求｛《,｝的通項公式；

(II)設么=Jl+3a“數(shù)列｛2｝的前”項和為S“，求證：Q,S,,-”<g.

(7