薄圓筒柱彈塑性力學(xué)

薄圓筒柱彈塑性力學(xué)第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日§6.1彈塑性邊值問(wèn)題的提法一、彈塑性全量理論邊值問(wèn)題i)

在V內(nèi)的平衡方程:ii)

在V內(nèi)幾何關(guān)系（應(yīng)變-位移關(guān)系）:iii)

在V內(nèi)全量本構(gòu)關(guān)系:(6-3)邊界Su上給定位移，要求應(yīng)力，應(yīng)變，位移，它們滿(mǎn)足設(shè)在物體V內(nèi)給定體力，在應(yīng)力邊界ST上給定面力Ti，在位移以下方程和邊條件：第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日v)

在上位移邊界條件：二、彈塑性增量理論的邊值問(wèn)題i)

在V內(nèi)的平衡方程其中是外法線的單位向量；由此可見(jiàn)，彈塑性邊值問(wèn)題的全量理論提法同彈性邊值問(wèn)題的提法基本相同，不同僅在于引入了非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（6-3）式。iv)

在上的應(yīng)力邊界條件:ii)

在V內(nèi)的幾何關(guān)系（應(yīng)變位移的增量關(guān)系）：第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日iii)

在V內(nèi)的增量本構(gòu)關(guān)系：彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-9）(a)

對(duì)于理想塑性材料，屈服函數(shù)為，則第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-10）（b）對(duì)于等向強(qiáng)化材料，后繼屈服函數(shù)為，則第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日iv）在ST

上的應(yīng)力邊界條件：v）在Su上的位移邊界條件：vi）彈塑性交界處的連接條件：如果交界面的法向?yàn)閚i，則在上有：(a)法向位移連續(xù)條件(b)應(yīng)力連續(xù)條件上標(biāo)（E）和（P）分別表示彈性區(qū)和塑性區(qū)。第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日§6.2

“薄壁筒”的拉、扭變形考察薄壁圓筒承受拉力P

和扭矩T

聯(lián)合作用的彈塑性變形問(wèn)題。采用圓柱坐標(biāo)，取z

軸與筒軸重合。設(shè)壁厚為h

，筒的內(nèi)外平均半徑為R

，則筒內(nèi)應(yīng)力為：

其余應(yīng)力分量均為0。因此，不但應(yīng)力狀態(tài)是均勻的，而且每一種外載（拉、扭）只與一個(gè)應(yīng)力分量有關(guān)，調(diào)整P

和T

之間的比值，即可得到應(yīng)力分量間的不同比例。假設(shè)材料是不可壓縮的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下無(wú)量綱量：在彈性階段，無(wú)量綱化的Hooke定律給出(6-16)第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)入塑性以后，Mises屈服條件：可化為：下面按增量理論和全量理論求解這個(gè)問(wèn)題，比較兩種結(jié)果的異同。對(duì)理想彈塑性材料，增量本構(gòu)方程是Prandtl-Reuses關(guān)系，于是：無(wú)量綱化后得到：消去得：一、按增量理論求解(6-19)(6-20)第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日由（6-18）式知故從（6-21）式中消去和，就有：同樣地，如果已知某時(shí)刻的初始狀態(tài)（應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)）及從該時(shí)刻起的變形路徑則積分（6-22）或（6-23）式就可得到關(guān)系或關(guān)系。第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日保持常數(shù)的階段ab

上，設(shè)在a點(diǎn)有由于在ab上例如對(duì)于實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常采用的階梯變形路徑（圖6-1），考慮方程（6-22）變?yōu)椋簣D6-1積分并利用a點(diǎn)的已知條件，得出：類(lèi)似地，對(duì)于階段bc

,第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日二、按全量理論求解由于假設(shè)了材料不可壓，由（5-63）式化后得應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為將(6-26)式按(6-16)式無(wú)量綱在本問(wèn)題中用分量寫(xiě)出來(lái)就是：，故第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日在圖6-2中，有三條不同的加載路徑從原點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)C在彈性范圍內(nèi)，，屈服條件（6-18）在應(yīng)變空間中寫(xiě)出就是?？梢?jiàn)圖中的陰影區(qū)域是彈性范圍。路徑①沿OBC。在B點(diǎn)有在BC段上有解出在C點(diǎn)類(lèi)似地，對(duì)路徑②，即階梯變形路徑OAC可求得三、算例（1）用增量理論求解OCABD①②③第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日剛到達(dá)屈服，同時(shí)滿(mǎn)足由此得出在D點(diǎn)時(shí)的應(yīng)力為：不難證明沿

DC

段皆有，即應(yīng)力值不變，在C點(diǎn)也就仍為（2）用全量理論求解代入（6-27）式得出亦即C點(diǎn)的應(yīng)變i）由于加載路徑不同，雖然最終變形一樣，但最終應(yīng)力卻不同；ii）只有在比例加載的條件下，增量理論和全量理論的結(jié)果才一致。

由以上的結(jié)果可知：路徑③是比例加載路徑ODC，其上。在到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

實(shí)驗(yàn)觀察證實(shí)，在塑性狀態(tài)下仍可采取材料力學(xué)和彈性力學(xué)中關(guān)于扭轉(zhuǎn)的假定，即柱體在彈塑性自由扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，截面只在自身平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以發(fā)生軸向自由翹曲?！?.5柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)

考慮任意截面形狀的長(zhǎng)柱體，在扭轉(zhuǎn)力矩T作用下的自由扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。以表示柱體單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，則小變形時(shí)的位移分量為從小應(yīng)變下的Cauchy公式得出應(yīng)變?yōu)椋阂?、研究范圍和基本方?6-84)其中是截面的翹曲函數(shù)假定截面是單連通的，取柱體的軸線為

z

軸。第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日此式與材料的本構(gòu)關(guān)系無(wú)關(guān)，不論是彈性還是塑性時(shí)都成立。在進(jìn)入塑性之后，恒有按照增量本構(gòu)關(guān)系，從剛進(jìn)入塑性開(kāi)始，可以推知進(jìn)而在變形的一切階段均有(6-85)(6-86)在彈性時(shí)按Hooke定律求得：第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

即在塑性階段不為零的應(yīng)力分量仍只有其中為合剪應(yīng)力?？梢?jiàn)，在扭轉(zhuǎn)時(shí)柱體各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)始終是純剪切，這是一個(gè)簡(jiǎn)單加載過(guò)程。且主應(yīng)力為：第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日二、彈性扭轉(zhuǎn)和薄膜比擬或由（6-86）式得到的應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程同時(shí)，只有一個(gè)平衡方程從（6-85）式中消去翹曲函數(shù)，得協(xié)調(diào)方程因此，可以引進(jìn)彈性應(yīng)力函數(shù)，使有則平衡方程自動(dòng)滿(mǎn)足，而協(xié)調(diào)方程（6-90）化為第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日在彈性力學(xué)中，研究了和Poisson方程（6-93）并導(dǎo)致以下結(jié)論)合剪應(yīng)力大?。篿ii）柱體截面的周界也是

=const曲線族之一，對(duì)單連通截面可令周界上iv）扭矩T與的關(guān)系可按St.Venant

條件求得：ii）合剪應(yīng)力的方向沿=const曲線的切向，也就是與的梯度方向相垂直。其中A為柱體的一個(gè)截面。v）Prandtl薄膜比擬：將薄膜張于與柱體截面邊界形狀相同的邊框上，加均勻壓力，則與薄膜的高度成正比，的大小與薄膜的斜率成正比，扭矩T與薄膜曲面下的體積成正比。第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日達(dá)到，就算達(dá)到了彈性極限狀態(tài)，相應(yīng)的截面上有一點(diǎn)的扭矩為彈性極限扭矩。以半徑為

a

的圓柱體為例，帶入方程（6-93）得于是在截面邊緣上最大令處導(dǎo)出

在塑性階段，平衡方程（6-91）不變，并仍可由引入應(yīng)力函數(shù)來(lái)滿(mǎn)足，此時(shí)

三、全塑性扭轉(zhuǎn)和沙堆比擬當(dāng)材料進(jìn)入塑性時(shí)，因此，按彈性考慮，只要第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

這樣，只從平衡方程、屈服條件和應(yīng)力邊條件就能夠求出理想塑性體內(nèi)的應(yīng)力分布。這種情況叫做塑性力學(xué)中的靜定問(wèn)題。則或即對(duì)于理想塑性材料，是常數(shù)，（6-99）式說(shuō)明在截面上保持斜率不變。由此，Nadai提出下述沙堆比擬：將一個(gè)水平的底面做成截面的形狀，在其上堆放干沙，由于沙堆的靜止摩擦角為常數(shù)，則沙將形成一個(gè)斜率為常數(shù)的表面。因此，這表面可用來(lái)代表塑性應(yīng)力函數(shù)，只相差一個(gè)可由屈服應(yīng)力和沙堆摩擦角決定的比例因子。就是截面的塑性極限扭矩。這時(shí)，我們不用（也不再有）應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，而代之以屈服條件

第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

仍以半徑為a的圓柱體為例，它處于全塑性扭轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，，按（6-100）式求出高度就應(yīng)為表面必然是一個(gè)圓錐，既然斜率是與（6-96）式相比可知對(duì)圓柱體

沙堆比擬的思想，不僅可直接應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)，也可用來(lái)指導(dǎo)計(jì)算三角形、矩形、任意正多角形等規(guī)則截面的柱體的塑性極限扭矩，因?yàn)檫@只需計(jì)算某些等斜“屋頂”下的體積。第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日剪應(yīng)力方向平行于邊界，大小為。同時(shí)我們也看到，一般來(lái)說(shuō)，在截面內(nèi)部，沙堆會(huì)出現(xiàn)尖頂和棱線，在這些點(diǎn)和線的兩側(cè)剪應(yīng)力不連續(xù)。從沙堆比擬中看出，沙堆的梯度垂直于邊界，等線平行于邊界，每點(diǎn)的合它們是彈性區(qū)域收縮時(shí)的極限。當(dāng)彈性區(qū)域收縮時(shí)，從不同方向擴(kuò)展過(guò)來(lái)的兩個(gè)塑性區(qū)域相遇，因此會(huì)造成剪應(yīng)力間斷。

如果截面邊界上有凸角（如三角形截面和矩形截面的頂點(diǎn)），從彈性力學(xué)知道，在凸角處剪應(yīng)力等于零，因而盡管T增大，這里始終處于彈性階段。所以，作為彈性區(qū)域收縮極限的剪應(yīng)力間斷線必定通過(guò)這樣的凸角。反之，如果截面邊界上有凹角，從彈性力學(xué)知道，這里剪應(yīng)力無(wú)限大，因而一開(kāi)始就進(jìn)入塑性階段，棱線就一定不經(jīng)過(guò)這里。第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日四、彈塑性扭轉(zhuǎn)和薄膜-玻璃蓋比擬當(dāng)時(shí)，柱體的截面上會(huì)存在一部分彈性區(qū)、一部分塑性區(qū)，的模為常數(shù)）。因此，提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題如下：（這是由于應(yīng)力分量在上應(yīng)該連續(xù)）。的性質(zhì)（滿(mǎn)足Poisson方程）和的性質(zhì)（梯度其上應(yīng)力函數(shù)分別具有，在彈性區(qū)內(nèi)滿(mǎn)足方程（6-93），在塑性區(qū)內(nèi)滿(mǎn)足（6-99），尋求應(yīng)力函數(shù)，在彈塑性區(qū)域交界線在截面邊界上都要連續(xù)Nadai指出，彈塑性交界線可以聯(lián)合應(yīng)用薄膜比擬和沙堆比擬來(lái)求解。在一塊水平平板上，挖一個(gè)具有截面形狀的孔，復(fù)蓋以薄膜。在薄膜的上面，放上一個(gè)按沙堆比擬形狀作成的等傾玻璃蓋。a)如若壓力較小時(shí)，薄膜的變形不受“屋蓋”的影響，這是彈性扭轉(zhuǎn)的情況。b)隨著壓力的增加，薄膜逐漸貼到屋蓋上，貼附的區(qū)域就是塑性區(qū)域。此時(shí)，在貼附區(qū)域以外的自由薄膜仍滿(mǎn)足Poisson方程，所以仍是彈性區(qū)。由此可以確定彈塑性交界線的形狀。第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日在圓截面情形，由于對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)的一個(gè)圓。在彈性區(qū)：有

右圖顯示了矩形截面柱體在彈塑