專題九導數(shù)及其應用

專題九導及其應用知點總結(jié)及分析【知識概一、導的概念和幾意義1.函數(shù)的平均變化率：函數(shù)

fx)

在區(qū)間

[xx]

上的平均變化率為：f(x)x)2121

?！?.導數(shù)的定義設函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

(,b

上有定義，

x(,)

若

無限趨近于0時，比值

fxfx)

無限趨近于一個常數(shù)A則稱函數(shù)

f()在

x

處可導稱該常數(shù)A為函數(shù)

fx)xx

處的導數(shù)作f)

數(shù)

f()在

x

處的導數(shù)的實質(zhì)是在該點的瞬時變化率?！?.求函數(shù)導數(shù)的基本步驟）求函數(shù)的增量

f(xf)

）求平均變化率：

fxf()

3）取極限，當限趨近與0時，f(xf()

無限趨近與一個常數(shù)，則

f

?！?.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)

fx)

在

處的導數(shù)就是曲線

f)

在點

(x,x

處的切線的斜率。由此，可以利用導數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步：（1求出

)

在x的導數(shù)即為曲線0

f(x)

在點

(xf(

處的切線的斜率；（2）已知切點坐標切斜的條件下，求得切線方程為yyf

)()

。當點

P(x,y

不在

)

上時，求經(jīng)過點P的

f)

的切線方程，可設切點坐標，由切點坐標得到切線方程，再P點的坐標代入確定切點。特別地，如果曲線

f(x)

在點

(x,x

處的切線平行與y，這時導數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為

x

。●5.導數(shù)的物理意義：質(zhì)點做直線運動的位移S是時的函數(shù)

()

，則

V

表示瞬時速度，a

表示瞬時加速度。壹

()()二、導的運算●1.常見函數(shù)的導數(shù)：（1()k,b為常數(shù)；

（2）

(C為常數(shù))；（3）

(x)

；

（4）

(

)

；（5）

(x

)

；

（6）

1xx2

；（7）

(x)

x

；

（8）

(

)

（α為常數(shù)（9(a)ln(a；（10）(logx

eaxx

；（11）

(

)

；（12）

1

；（13）

x)

；（14）

(cos)

x

?！?.函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)：（1）

[f()]

；（2）

[(

（C為常數(shù)（3）

[f(x)g()]

g()f()

；（4[

f)f(x)()]g()g2x

(g()0)

。●3.簡單復合函數(shù)的導數(shù)：若

f(u),

，則

y

，即

y

。三、導的應用●1.求函數(shù)的單調(diào)性：利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設函數(shù)

f)

在區(qū)間

(a,

內(nèi)可導，（1）如果恒（2）如果恒（3）如果恒

fff

，則函數(shù)，則函數(shù)，則函數(shù)

f)f)f)

在區(qū)間在區(qū)間在區(qū)間

(a,(a,(a,

上為增函數(shù)；上為減函數(shù)；上為常數(shù)函數(shù)。利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：①求函數(shù)

f(x)

的定義域；②求導數(shù)f

；貳

③解不等式

f

)

，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；④解不等式f

，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過來,也可以利用導數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問如確定參數(shù)的取值范圍設函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

(a,

內(nèi)可導，(1)果函數(shù)

)

在區(qū)間

(a,)

上為增函,

f

(中使

f

的值不構(gòu)成區(qū))；(2)如果函數(shù)

)

在區(qū)間

(,b)

上為減函數(shù)則

f

(其中使

f

的值不構(gòu)成區(qū))；(3)如果函數(shù)

f)

在區(qū)間

(a,

上為常數(shù)函數(shù),則

f

恒成立?！?.求函數(shù)的極值：設函數(shù)

)在及其附近有定義，如果對x近的所有的點都有f()f(x

（或

f(xf()

則稱

f(x)

是函數(shù)

f()

的極小值（或極大值可導函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：（1）確定函數(shù)

f()

的定義域2）求導數(shù)

f

）求方程

f

的全部實根x

x

次將定義域分成若干個區(qū)間表變時f

和

f()

值的變化情況：f

x

()正負

0

()正負

…

0

(x正負fx

單調(diào)性

單調(diào)性

單調(diào)性（4）檢查f

的符號并由表格判斷極值?！?.求函數(shù)的最大值與最小值：如果函數(shù)

f()

在定義域I內(nèi)存在

，使得對任意的

I

，總有

f()fx

，則稱

fx)

為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。求函數(shù)

f()

在區(qū)間

[a]

上的最大值和最小值的步驟：叁

（1）求

f()

在區(qū)間

(a,

上的極值；（2將第一步中求得的極值與

fa),f(

比較得到

f()

在區(qū)間

[a]

上的最大值與最小值。●4.解決不等式的有關(guān)問題：（1）不等式恒成立問題（絕對不等式問題）可考慮值域。f(A的值域[]時，不等式

f()

恒成立的充要條件是

f()

，b不等式

f()

恒成立的充要條件是

f(x)

min

，af(A的值域(a，不等式不等式

f()f()

恒成立的充要條件恒成立的充要條件a（2證明不等式

f()

可轉(zhuǎn)化為證明

f()