經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)線性代數(shù)高數(shù)10月12日2.6函數(shù)的連續(xù)性

例.

火箭升空時(shí),質(zhì)量變化情形如圖.tmom0t0一般,當(dāng)f(x)連續(xù)變化時(shí),其圖形是一條連續(xù)曲線.反之,若f(x)圖形是一條連續(xù)曲線,f(x)則是連續(xù)變化的.第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性xyoxyoxxyyxyxyx0f(x0)ABxx0xx0從圖上可看出,(x)在x0間斷.但f(x)在x0連續(xù).(x)在x0的極限不存在,而yyx0y=(x)y=f(x)定義1.

設(shè)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義.且則稱(chēng)f(x)在x0連續(xù),x0稱(chēng)為f(x)的連續(xù)點(diǎn).否則稱(chēng)f(x)在x0間斷,x0稱(chēng)為f(x)的間斷點(diǎn),或稱(chēng)為不連續(xù)點(diǎn).由于當(dāng)f(x)為多項(xiàng)式時(shí),有所以,多項(xiàng)式及正,余弦函數(shù)在任何點(diǎn)x0處連續(xù).連續(xù)定義也可用語(yǔ)言給出。若對(duì)>0,>0,使得當(dāng)|xx0|<時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足|f(x)f(x0)|<則稱(chēng)f(x)在x0處連續(xù).注:

與極限定義比較,將"a"換成"

f(x0)"將"0<|xx0|<"換成"|xx0|<".例1.證:又因?yàn)閒(0)=0.如圖xyof(x)=|x|還可得到,|x|在任何點(diǎn)x0處連續(xù).稱(chēng)為x0的右鄰域和x0的左鄰域.定義2.

則稱(chēng)f(x)在x0處右(左)連續(xù).設(shè)f(x)在x0的某右鄰域(某左鄰域)內(nèi)有定義,定理1.

f(x)在x0處連續(xù)f(x)在x0左連續(xù)且右連續(xù).例2.問(wèn)a為何值時(shí),f(x)在x=0連續(xù).解:

f(0)=3=3f(x)在x=0右連續(xù).為使f(x)在x=0連續(xù),必須f(0–0)=f(0)=f(0+0)即,a=3.故,a=3時(shí),f(x)在x=0連續(xù).=a例3.問(wèn)f(x)在x=0是否連續(xù).解:

f(0)=1=1右連續(xù).故,f(x)在x=0間斷.=–1f(0)不左連續(xù).圖形為xyo–11y=f(x)若f(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù),則稱(chēng)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).記作f(x)C(a,b).C(a,b)表示在(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)全體所成集合.其中若f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),且f(x)在x=a右連續(xù).在x=b左連續(xù).則稱(chēng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).記作f(x)C[a,b].一般,設(shè)變量u從初值u0變到終值u1,記u=u1u0,稱(chēng)為變量u的增量(改變量).u可正,可負(fù),還可為0.另外,

u1=u0+u記y=f(x)f(x0)=f(x0

+x)f(x0)稱(chēng)為y在x0處相應(yīng)于x的增量(改變量).設(shè)f(x)在U(x0)有定義,xU(x0),記x=xx0稱(chēng)為自變量x在x0處增量(改變量).且x=x0+x

定義3.設(shè)y=f(x)在U(x0)有定義.若當(dāng)x=xx00時(shí),有y=f(x0+x)f(x0)0則稱(chēng)f(x)在x0連續(xù).(令x=xx0)連續(xù)定義可用函數(shù)的增量的形式給出.如圖.xyoB=(x0)A

x0+xyCDx0x>0y=CD的長(zhǎng)y=(x)xyof(x0)

x0+x

x0+xx0x<0x>0yMNy=CD的長(zhǎng)y=–(MN的長(zhǎng))CDy=f(x)定理2.

若f(x),g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則(1)af(x)+bg(x)在x0處連續(xù),其中a,b為常數(shù).

(2)f(x)·g(x)在x0連續(xù).(3)當(dāng)

g(x0)0時(shí),二、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)定理3.

設(shè)若y=f[(x)]由y=f(u),u=(x)復(fù)合而成.若u=(x)在x0連續(xù),u0=(x0),而y=f(u)在u0則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在x0連續(xù).連續(xù),證:要證y=f[(x)]在x0連續(xù),只須證>0,>0,當(dāng)|x–x0|<時(shí),有|f[(x)]–f[(x0)]|<.即可.>0,因y=f(u)在u0連續(xù),故>0,當(dāng)|u–u0|<,有|f(u)–f(u0)|<.又因u=(x)在x0連續(xù).從而對(duì)上述>0,>0,當(dāng)|x–x0|<時(shí),有|u–u0|=|(x)–(u0)|<.進(jìn)而有|f[(x)]–f[(x0)]|=|f(u)–f(u0)|<故y=f[(x)]在x0連續(xù).推論.

若lim[(x)]=A.且y=f(u)在u=A連續(xù),則

limf[(x)]=f[lim(x)]式子=f[(x0)]相當(dāng)于因此,有例4.解:定理4.

若y=f(x)在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)且連續(xù),則其反函數(shù)x=f–1(y)在相應(yīng)區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)且連續(xù).定理5.

若y=f(x)在x0連續(xù),且f(x0)>0(<0),則U(x0),使xU(x0),有f(x)>0(<0).定理6.(1)基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).(2)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).例5.三、初等函數(shù)的連續(xù)性稱(chēng)形如y=[f(x)]g(x)的函數(shù)為冪指函數(shù),其中f(x)>0.根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式y(tǒng)=elny,y>0,有[f(x)]gx=eg(x)·lnf(x),即,因此,當(dāng)f(x),g(x)均連續(xù)時(shí),[f(x)]g(x)也連續(xù).則例6.例7.若limf(x)=A>0.limg(x)=B,存在.例8.=21=2例9.yx01例10.y01x1若limf(x)=1,limg(x)=,稱(chēng)lim[f(x)]g(x)為“1”型極限問(wèn)題.若limf(x)=0,limg(x)=0,稱(chēng)lim[f(x)]g(x)為“00”型極限問(wèn)題.“1”,“00”和“0”型都不一定是無(wú)窮小量,也不一定是無(wú)窮大量,更不一定是1.若limf(x)=,limg(x)=0,稱(chēng)lim[f(x)]g(x)為“0”型極限問(wèn)題.例11.解:

“1”型,原式=函數(shù)f(x)在x0連續(xù)可簡(jiǎn)單地表示為:要使它成立,必須(1)f(x)在x0有定義;(2)f(x)在x0的極限存在;(3)兩者相等.這三條有一條不成立,則f(x)在x0不連續(xù)(間斷).四、函數(shù)的間斷點(diǎn)設(shè)f(x)在?(x0)內(nèi)有定義,若f(x)是下列情況之一,(1)f(x)在x0無(wú)定義;(2)f(x)在x0的極限不存在;(3)則稱(chēng)f(x)在x0處間斷,x0稱(chēng)為f(x)的一個(gè)間斷點(diǎn).例1.解:在其定義域內(nèi)都連續(xù).故其間斷點(diǎn)必是使函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn).因f(x)只在x=0處無(wú)定義,故x=0為f(x)的唯一間斷點(diǎn).而f(x)在x=0無(wú)定義,此時(shí),補(bǔ)充定義:則例2.解:

這是一個(gè)由初等函數(shù)組成的分段函數(shù).這種函數(shù)的間斷點(diǎn)若存在,通常在分段點(diǎn)x=0處.事實(shí)上,在(,0)內(nèi),f(x)=2x,連續(xù),在(0,+)內(nèi),f(x)=sinx,連續(xù).只須考慮在x=0是否連續(xù)即可.而f(0)=1.則如圖xoy–2–1y=sinxy=2x1一般,若x0是f(x)的間斷點(diǎn),則稱(chēng)x0為f(x)的一個(gè)可去間斷點(diǎn).例3.解:

類(lèi)似例2.只討論分段點(diǎn)x=0處情況.由于xy0y=arctanxx=0為f(x)的間斷點(diǎn).看圖一般,若f(x)在x0處的左,右極限都存在,但不相等,則間斷點(diǎn)x0稱(chēng)為f(x)的跳躍間斷點(diǎn).如圖xoy–2–1y=x–2y=2+(x–1)212可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn).或者說(shuō),左,右極限都存在的間斷點(diǎn)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn).不是第一類(lèi)的間斷點(diǎn)稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn),或者說(shuō),左,右極限中至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn).例4.解:

間斷點(diǎn)x=0.故x=0為第二類(lèi)間斷點(diǎn).一般,若中至少有一個(gè)為無(wú)窮大,則稱(chēng)x0稱(chēng)為f(x)的無(wú)窮型間斷點(diǎn).例5.解:

間斷點(diǎn)x=0.看圖故x=0為第二類(lèi)間斷點(diǎn).01－1yx定理1.(根的存在定理),若f(x)C[a,b],即f(x)在[a,b]上連續(xù).且f(a)f(b)<0.則至少存在一點(diǎn)x0(a,b),

使得f(x0)=0.看圖.0abxyABx0x0x0定理1中的x0,就是方程f(x)=0的根.因此,也稱(chēng)定理1為根的存在定理.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理2.(介質(zhì)定理),設(shè)f(x)C[a,b],f(a)f(b),則對(duì)于介于f(a)和

f(b)之間的任意一值c,至少存在點(diǎn)x0(a,b),

使得f(x0)=c.看圖.x0C0bxyf(a)af(b)y=f(x)證:

令F(x)=f(x)–c.則F(x)在[a,b]上連續(xù),且F(a)F(b)=(f(a)–c)(f(b)–c)<0由根的存在定理,至少存在x0(a,b),

使得F(x0)=0.即,f(x0)=c.例1.

證明方程ln(1+ex)=2x至少有一個(gè)小于1的正根.證:

記f(x)=ln(1+ex)–2x,知f(x)在[0,1]上連續(xù).且f(0)=ln2>0,f(1)=ln(1+e)–2