金融學(xué)與數(shù)學(xué)

金融學(xué)與數(shù)學(xué)金融的含義據(jù)查證，20世紀(jì)30年代，位于南京的中央政治大學(xué)趙闌玶教授編寫的《貨幣學(xué)》首次提及“金融”一詞，并提及“金融恐慌”、“金融狀態(tài)之惡化”等。以后的教科書常用為：“金融，即貨幣資金的融通”，意在表明它在貨幣資金盈余者與短缺者之間調(diào)劑貨幣資金的余缺?！吨袊鹑诎倏迫珪罚ń?jīng)濟(jì)管理出版社1990年版）中“金融”的詞條為：“貨幣流通和信用活動(dòng)和信用活動(dòng)以及與之相關(guān)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的總稱?！逼鸷侠硇允菍⒇泿帕魍ê托庞没顒?dòng)融為一體，但這一定義畢竟限制了金融功能的發(fā)揮，也淡化了市場的作用。至今關(guān)于金融的定義，有學(xué)者著書謂“現(xiàn)代金融是以貨幣或貨幣索取權(quán)形式存在的資產(chǎn)的流通”。據(jù)此，金融這一龐大系統(tǒng)大致包括與物價(jià)有緊密聯(lián)系的貨幣流通，銀行與非銀行金融機(jī)構(gòu)體系、短期資金拆借市場、資本市場、保險(xiǎn)系統(tǒng)以及國際金融等領(lǐng)域。貨幣金融理論的發(fā)展雖然自有人類記錄的歷史以來便有了金融交易，盡管在古代先賢哲人那里就有了對貨幣金融問題的分析，但在經(jīng)濟(jì)學(xué)作為獨(dú)立的學(xué)科誕生前，其研究主要是與哲學(xué)、倫理學(xué)、政治學(xué)等學(xué)科融合在一起。從歷史發(fā)展的角度看，貨幣金融理論成為相對獨(dú)立的學(xué)科體系卻是在20世紀(jì)初，它是伴隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)成為獨(dú)立學(xué)科——古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的興起而產(chǎn)生的。理論界一般以1914年美國學(xué)者和銀行家豪茲沃斯（J.H.Holdsworth）出版的著作《貨幣與銀行》（MoneyandBanking）為金融學(xué)的發(fā)端，至今已經(jīng)歷了一個(gè)世紀(jì)，其間大致經(jīng)歷了從貨幣面紗論到貨幣經(jīng)濟(jì)論，再到金融經(jīng)濟(jì)論這樣一個(gè)發(fā)展過程。對于一個(gè)世紀(jì)的西方貨幣金融理論的發(fā)展，理論界一般是以20世紀(jì)50年代美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈利·馬克維茨（H.M.Markowitz）創(chuàng)建現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論為標(biāo)志，將其劃分為古典金融理論和現(xiàn)代金融理論兩個(gè)階段。金融學(xué)數(shù)學(xué)化的原因和基礎(chǔ)自1952年的Markowitz證券組合選擇理論和1973年的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)理論為標(biāo)志的兩次“華爾街革命”以來，經(jīng)典金融學(xué)理論的宏偉大廈就拔地而起，而這座大廈德基石就是數(shù)學(xué)。經(jīng)典金融學(xué)的中心問題就是定價(jià)問題。這種定價(jià)不是通過考慮經(jīng)濟(jì)活動(dòng)者得行為以及各種經(jīng)濟(jì)條件來進(jìn)行的，而更多地通過一部分金融資產(chǎn)的價(jià)格來為另一部分的金融資產(chǎn)定價(jià)，其依據(jù)是這些金融資產(chǎn)的未來不確定性之間的依賴關(guān)系。就如G.Debreu(1921-2004)在他1983年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)演說中所說：“商品空間有實(shí)向量空間結(jié)構(gòu)這一事實(shí)是經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化成功的基本原因”那樣，金融學(xué)數(shù)學(xué)化的基本原因是：金融資產(chǎn)組合（portfolio）的價(jià)值等于金融資產(chǎn)價(jià)值的組合（combination）.換句話說，無論是金融資產(chǎn)的未來不確定價(jià)值還是其當(dāng)前的確定價(jià)值，各種金融資產(chǎn)組合的價(jià)值全體構(gòu)成了一個(gè)線性空間。這樣的線性空間框架就是從Markowitz證券組合選擇理論開始的。對于一個(gè)確定的實(shí)數(shù)來刻畫金融資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)值來說，這無無非是使人注意到實(shí)數(shù)域中可進(jìn)行線性運(yùn)算，但是對于用若干個(gè)實(shí)數(shù)（表示不同狀態(tài)下有不同價(jià)值）或一個(gè)隨機(jī)變量（表示價(jià)值有隨機(jī)變化）來刻畫的金融資產(chǎn)未來價(jià)值來說，這就必須要用一個(gè)線性空間的概念來刻畫，這個(gè)線性空間我們稱之為“未來權(quán)益線性空間”。這樣一來，“二時(shí)期的金融資產(chǎn)定價(jià)問題”就是要在未定權(quán)益線性空間與實(shí)數(shù)之間建立某種對應(yīng)關(guān)系。這種“對應(yīng)關(guān)系”就是所謂的“定價(jià)法則”。由于金融資產(chǎn)組合的價(jià)值有線性空間結(jié)構(gòu)，人們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)有意思的結(jié)論：如果市場滿足“一價(jià)定律”，那么金融資產(chǎn)的未來值（線性空間元素）與當(dāng)前價(jià)值（實(shí)數(shù)）之間的對應(yīng)關(guān)系是線性函數(shù)；如果市場“無套利機(jī)會(huì)”，那么這一線性函數(shù)為正線性函數(shù)。后一個(gè)結(jié)論就是經(jīng)典金融學(xué)的所謂“資產(chǎn)定價(jià)基本定理”，甚至被稱為“金融學(xué)基本定理”。金融學(xué)中的具體數(shù)學(xué)模型金融學(xué)中的數(shù)學(xué)模型主要有五種，分別是：有限維未定權(quán)益空間（線性代數(shù)）、無限維未定權(quán)益空間（泛函分析）、金融中的最優(yōu)化問題（數(shù)學(xué)規(guī)劃）、金融信息結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述（概率論）、連續(xù)時(shí)間金融學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（隨機(jī)分析）。從金融學(xué)的角度看，我們從線性空間理論出發(fā)，是為了體現(xiàn)金融學(xué)得以數(shù)學(xué)化的基本原因在于“金融資產(chǎn)組合的價(jià)值等于金融資產(chǎn)價(jià)值的組合”。當(dāng)這些價(jià)值只有有限種可能，或者基本證券只有有限種時(shí)，這種未定權(quán)益線性空間是有限維的；而當(dāng)這些價(jià)值都是一般的隨機(jī)變量時(shí)，并且基本的證券可能有無限種時(shí)，這種未定權(quán)益線性空間是無限維的；又因Markowitz理論以及金融學(xué)的其他需要，引出了最優(yōu)化問題；再有概率論的公理體系，引出隨機(jī)過程理論和鞅論的基礎(chǔ)，目標(biāo)是金融市場多期模型的資產(chǎn)定價(jià)理論。有限維未定權(quán)益空間。n種商品可能有的各種數(shù)量狀況總體就是一個(gè)n維的線性空間，它就稱為商品空間，其中每一個(gè)n維向量就簡稱為商品向量。如果把不同時(shí)刻、不同狀態(tài)下的商品看作不同的商品，那么當(dāng)所考慮的時(shí)刻個(gè)數(shù)和狀態(tài)個(gè)數(shù)都是有限的情況下，商品空間仍然是一個(gè)有限維線性空間，只是空間的維數(shù)不再是商品的種類數(shù)，而是商品種類數(shù)與各時(shí)刻的狀態(tài)個(gè)數(shù)和的乘積。在金融學(xué)中，這里的商品就是錢，練個(gè)時(shí)刻就是“當(dāng)前”和“未來”，而“當(dāng)前”是確定的，這有一種狀態(tài)，“未來”則是不確定的，有S種狀態(tài)，于是一個(gè)n=S+1維向量就可以理解為不同狀態(tài)下值不同前的對象，它可以是一種金融資產(chǎn)（證券）的“當(dāng)前”和“未來”的價(jià)值。無限維未定權(quán)益空間。把有限維未定權(quán)益空間推廣到無限維未定權(quán)益空間，即包含無限種基本證券的“未定權(quán)益空間”。假定市場上有無限種基本證券并非是不可理解的事情。我們可以把不同時(shí)刻、不同場合的同類證券看作不同的證券是合理的，更不要說在場外交易中時(shí)時(shí)刻刻都可能產(chǎn)生無窮無盡的新衍生證券。可行的做法是直接取Lo（Ω，F(xiàn)，P）或它的子空間來作為“無限維未定權(quán)益空間“，即把其中的元素都看作某種“未定權(quán)益”（證券、證券組合、衍生證券等等的未來價(jià)值）。這些線性空間上的線性運(yùn)算的含義仍然與有限維未定權(quán)益空間中一樣，即其中的若干元素的線性組合恰好對應(yīng)相應(yīng)的未定權(quán)益的組合。金融中的最優(yōu)化問題。金融中有很多最優(yōu)化問題。例如Markowitz證券組合選擇問題、最優(yōu)消費(fèi)—證券投資問題等等，都是要求解一個(gè)目標(biāo)函數(shù)在一定約束條件下的最優(yōu)化，Markowitz證券組合選擇問題是如何確定未知量，使得證券組合在期望收益一定是，風(fēng)險(xiǎn)（收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差）最小。金融信息結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述。金融市場中的有關(guān)不確定性德信息結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)上是用概率論來描述的。這種數(shù)學(xué)描述僅僅利用簡單的概率、隨機(jī)變量等概念很難說清楚，必須從概率論的公理體系出發(fā)，才能使這種信息結(jié)構(gòu)有比較清晰的陳述。連續(xù)時(shí)間金融學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。連續(xù)時(shí)間金融學(xué)的模型中都假定時(shí)間是連續(xù)變化的。這樣的模型更本質(zhì)地反映了當(dāng)今的金融市場市場瞬息萬變、證券交易分秒必爭。金融學(xué)數(shù)學(xué)化的意義上述的五種數(shù)學(xué)模型從數(shù)學(xué)的角度來看分屬五個(gè)不同的數(shù)學(xué)學(xué)科分支，但如果圍繞現(xiàn)代經(jīng)典金融學(xué)的數(shù)學(xué)框架來組織有關(guān)內(nèi)容，還是存在某種系統(tǒng)的相對性將五種數(shù)學(xué)學(xué)科串起一條線來的。我們之所以強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)公理化方法是因?yàn)檫@種方法目前在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)的理論研究中已經(jīng)成為必不可少的工具。