2022-2023學年初中數(shù)學二輪復習 專題7-1 期中期末專項復習之全等三角形十六大必考點（蘇科版）（原卷版）

專題7.1全等三角形十六大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1全等圖形的識別】 1【考點2全等三角形性質(zhì)的運用】 2【考點3一次證明全等】 3【考點4兩次證明全等】 4【考點5利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】 6【考點6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】 7【考點7添加條件使三角形全等】 8【考點8靈活選用判定方法證明全等】 9【考點9尺規(guī)作圖與全等的綜合運用】 10【考點10證明全等的常見輔助線的作法】 11【考點11證一條線段等于兩條線段的和（差）】 13【考點12全等中的倍長中線模型】 15【考點13全等中的旋轉模型】 17【考點14全等中的垂線模型】 18【考點15全等中的其他模型】 20【考點16全等三角形的動點問題】 21【考點1全等圖形的識別】【例1】（2022·全國·八年級單元測試）下列圖形：①兩個正方形；②底邊相等的兩個等腰三角形；③每邊都是2cm的兩個三角形；④半徑都是1.5cm的兩個圓．其中是一對全等圖形的有（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【變式1-1】（2022·陜西·西安市東元中學七年級階段練習）下列四組圖形中，是全等圖形的一組是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，有四張小畫片，畫的都是用七巧板拼成的人物圖形，與另外三張與眾不同的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022·全國·八年級單元測試）下列個圖形中，是全等圖形的是（

）A．a(chǎn)，b，c，d B．a(chǎn)與b C．b，c，d D．a(chǎn)與c【考點2全等三角形性質(zhì)的運用】【例2】（2022·山東·嶧城區(qū)吳林街道中學七年級階段練習）如圖，△ABC≌△AEF，則對于結論：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-1】（2022·廣東湛江·八年級期中）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于點F，交DE于點G，∠DGB＝66°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，則∠B的度數(shù)為（）A．24° B．25° C．30° D．35°【變式2-2】（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）實驗學校七年級期中）如圖所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上．(1)求證：AB∥(2)若BC=10，EF=7，求BE的長度．【變式2-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，D、A、E三點在同一條直線上，BD⊥DE于點D，CE⊥DE于點E，且△ABD≌△CAE，AC=4．(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求△ABC的面積．【考點3一次證明全等】【例3】（2022·廣東·儒林中學八年級階段練習）如圖，點B、C、E、F在同一直線上，點A、D在BC的異側，AB=CD,BF=CE,∠B=∠C．若∠A+∠D=144°，求∠D的度數(shù)．【變式3-1】（2022·重慶市第十一中學校七年級階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延長AB至點D，連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形△CDE，∠DCE=90°，連接BE．試說明：(1)AD=BE；(2)BE⊥AD．【變式3-2】（2022·江蘇省興化市大垛中心校七年級期末）如圖，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC．(1)求證：△BCD≌△ACE．(2)圖中AE、BD有怎樣的關系？試證明你的結論．【變式3-3】（2022·山東·新泰市羊流鎮(zhèn)初級中學七年級階段練習）如圖，已知點D、E是△ABC內(nèi)兩點，且∠BAE＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)延長BD、CE交于點F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度數(shù)．【考點4兩次證明全等】【例4】（2022·江蘇南京·八年級階段練習）如圖，AC、BD相交于點O，AB=AD，BC=CD．求證：AC⊥BD．【變式4-1】（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學校七年級階段練習）如圖，△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥GF，交AB于點E，連接EG，EF．(1)說明：BG=CF；(2)若∠CFD=100°，∠EFD=35°，求∠BGE的度數(shù)．【變式4-2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一點，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延長線交AC于點F．(1)求證：△BDE≌△ADC；(2)求證：BE⊥AC；(3)求EF與AE的長．【變式4-3】（2022·四川·西川中學南區(qū)七年級期中）如圖，在等腰△ABC中，BA=BC，∠ABC=100°，AB平分∠WAC．在線段AC上有一動點D，連接BD，E為直線AW上異于A的一點，連接BE、DE．(1)如圖1，當點E在射線AW上時，若DE+AE=DC，直接寫出：∠EBD=______；(2)如圖2，當點E在射線AW的反向延長線上時，①若（1）中的結論仍成立，則DE、AE、DC應滿足怎樣的數(shù)量關系，請證明；②若S四邊形ABDE?S△BCD=6，且【考點5利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】【例5】（2022·山東·禹城市督楊實驗學校八年級階段練習）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠7-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【變式5-1】（2022·江蘇省灌云高級中學城西分校八年級階段練習）如圖，由4個相同的小正方形組成的格點圖中，∠1+∠2+∠3=________度．【變式5-2】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點均為格點，則∠P＋∠Q＝__________度．【變式5-3】（2022·山東·濟南市槐蔭區(qū)教育教學研究中心二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．【考點6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】【例6】（2022·全國·八年級專題練習）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個全等的圖形．【變式6-1】（2022·江蘇·八年級專題練習）方格紙上有2個圖形，你能沿著格線把每一個圖形都分成完全相同的兩個部分嗎？請畫出分割線．【變式6-2】（2022·江蘇·八年級課時練習）試在下列兩個圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個圖形分別分割成兩個全等的圖形，將其中一部分涂上陰影．【變式6-3】（2022·全國·八年級專題練習）知識重現(xiàn)：“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．”理解應用：我們可以把4×4網(wǎng)格圖形劃分為兩個全等圖形．范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法．請你再提供四種與上面不同的劃分方法，分別在圖4中畫出來．【考點7添加條件使三角形全等】【例7】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式7-1】（2022·重慶·中考真題）如圖，點B，F(xiàn)，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【變式7-2】（2022·安徽淮南·八年級期末）如圖，點P是AB上任意一點，∠ABC=∠ABD，還應補充一個條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補充一個條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【變式7-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，AB，CD相交于點E，且AB=CD，試添加一個條件使得△ADE≌△CBE．現(xiàn)給出如下五個條件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點8靈活選用判定方法證明全等】【例8】（2022·湖南·八年級單元測試）具備下列條件的兩個三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有兩個角對應相等的兩個三角形B．兩邊及其中一條對應邊上的高也對應相等的兩個三角形C．兩邊分別相等，并且第三條邊上的中線也對應相等的兩個三角形D．有兩邊及其第三邊上的高分別對應相等的兩個三角形【變式8-1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)瀚文外國語學校七年級階段練習）我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊含著數(shù)學知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF，GE=GF，則△AEG≌△AFG的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式8-2】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學八年級）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，AC與BD交于點O，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，那么圖中全等的三角形有（

）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對【變式8-3】（2022·浙江·八年級單元測試）根據(jù)下列條件不能唯一畫出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【考點9尺規(guī)作圖與全等的綜合運用】【例9】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC外找一個點A'（與點A不重合），并以BC為一邊作△A'BC，使之與△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，則符合條件的點A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式9-1】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，以△ABC的頂點A為圓心，以BC長為半徑作?。辉僖皂旤cC為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點D；連結AD，CD．由作法可得：△ABC?△CDA的根據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式9-2】（2022·廣東·普寧市紅領巾實驗學校八年級階段練習）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個Rt△ABC，使∠B=90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學先畫出了∠MBN=90°之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學作圖確定三角形的依據(jù)分別是______；_______【變式9-3】（2022·北京·101中學九年級開學考試）李老師制作了如圖1所示的學具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學具時，點Q在軌道槽AM上運動，點P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運動，也能在軌道槽QN上運動．圖2是操作學具時，所對應某個位置的圖形的示意圖．有以下結論：①當∠PAQ=30°，PQ=6時，可得到形狀唯一確定的△PAQ②當∠PAQ=90°，PQ=10時，可得到形狀唯一確定的△PAQ③當∠PAQ=150°，PQ=12時，可得到形狀唯一確定的△PAQ其中所有正確結論的序號是______________．【考點10證明全等的常見輔助線的作法】【例10】（2022·江蘇·宿遷青華中學七年級階段練習）（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且BE+FD=EF．試探究圖中∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關系．小明同學探究此問題的方法是：延長FD到G，使DG=BE，連結AG．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，從而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關系是．（2）將（1）中的條件“∠B=∠ADC=90°”改為“∠B+∠D=180°”（如圖②），其余條件不變，上述數(shù)量關系是否成立，成立，請證明；不成立，說明理由（3）如圖③，中俄兩國海軍在南海舉行聯(lián)合軍事演習，中國艦艇在指揮中心（O）北偏西30°的A處，俄羅斯艦艇在指揮中心南偏東70°的B處，兩艦艇到指揮中心距離相等．接到行動指令后，中國艦艇向正東方向以60海里/小時的速度前進，俄羅斯艦艇沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處且相距280海里．求此時兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大?。咀兪?0-1】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，則∠B=（

）A．50° B．40° C．40°或70【變式10-2】（2022·全國·七年級單元測試）（1）求證：等邊三角形內(nèi)的任意一點到兩腰的距離之和等于定長.（提示：添加輔助線證明）（2）如圖所示，在三角形ABC中，點D是三角形內(nèi)一點，連接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求證：AD平分∠BAC.【變式10-3】（2022·全國·八年級課時練習）已知等腰△ABC中，AB=AC，點D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當點D在線段AB上時，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當點D在線段BA延長線上時，如圖2，當點D在線段AB延長線上時，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數(shù)量關系，不需要證明．【考點11證一條線段等于兩條線段的和（差）】【例11】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD【變式11-1】（2022·安徽淮北·八年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分線，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，則四邊形ABDC的周長為（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a?b D．a(chǎn)+2b【變式11-2】（2022·山東煙臺·七年級期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點（點D不與點A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點E作EF⊥直線BC，交直線BC于點F．(1)如圖1，當點D為線段AB上的任意一點時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關系，并證明；(2)如圖2，當點D為線段BA的延長線上一點時，依題意補全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關系是否發(fā)生改變，并證明．(3)如圖3，當點D在線段AB的延長線上時，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關系．【變式11-3】（2022·全國·八年級專題練習）在△ABC中，AE，CD為△ABC的角平分線，AE，CD交于點F．（1）如圖1，若∠B=60°．①直接寫出∠AFC的大小；②求證：AC=AD+CE．（2）若圖2，若∠B=90°，求證：S△ACF【考點12全等中的倍長中線模型】【例12】（2022·江西吉安·七年級期末）（1）基礎應用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應用：應用旋轉全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，試問線段EF、BE、FD【變式12-1】（2022·山東德州·八年級期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【變式12-2】（2022·山東·高唐縣趙寨子中學八年級期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點M是BE的中點，連接CM、DM．

（1）當點D在AB上，點E在AC上時（如圖一），求證：DM=CM，DM⊥CM；

（2）當點D在CA延長線上時（如圖二）（1）中結論仍然成立，請補全圖形（不用證明）；

（3）當ED∥AB時（如圖三），上述結論仍然成立，請加以證明．【變式12-3】（2022·全國·八年級）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關系，并說明理由．【考點13全等中的旋轉模型】【例13】（2022·全國·八年級專題練習）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知C為線段AB上一點，分別以線段AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE，BD，線段AE，BD之間的數(shù)量關系為______；位置關系為_______．拓展探究：如圖2，把Rt△ACD繞點C逆時針旋轉，線段AE，BD交于點F，則AE與BD【變式13-1】（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．22【變式13-2】（2022·江蘇·南京民辦求真中學七年級階段練習）如圖直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一個頂點將這個直角三角形的斜邊分成二部分，AD=3厘米，陰影部分的面積是6平方厘米，DB長______厘米．【變式13-3】（2022·全國·八年級課時練習）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝12∠ABC，試探索線段MN、AM、CN（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝12∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關系為【考點14全等中的垂線模型】【例14】（2022·廣東佛山·七年級階段練習）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時，∠EAB+∠DAC=度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【變式14-1】（2022·陜西省西安愛知中學七年級期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．【變式14-2】（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點．（3）當E點在射線CB上，連結BF與直線AC交子G點，若BC＝4，BE＝3，則AGCG=【變式14-3】（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當三角板繞點A順時針旋轉至圖2的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當三角板繞點A順時針旋轉至圖3的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．【考點15全等中的其他模型】【例15】（2022·重慶八中七年級期中）如圖：AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC，連接BE與DC交于M，則：①∠DAC=∠BAE；②ΔDAC≌ΔBAE；③DC⊥BE；正確的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【變式15-1】（2022·全國·八年級單元測試）如圖，已知ΔABC中，∠A=60°，D為AB上一點，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD，則∠DCB的度數(shù)是_________．【變式15-2】（2022·山西陽泉·八年級期末）有些數(shù)學題，表面上看起來無從下手，但根據(jù)圖形的特點，可補全成為特殊的圖形，然后根據(jù)特殊幾何圖形的性質(zhì)去考慮，常常可以獲得簡捷解法．根據(jù)閱讀，請解答問題：如圖所示，已知△ABC的面積為16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則△ADC的面積為___________cm2．【變式15-3】（2022·江蘇南通·八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為6，點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.（1）如圖①，當點P為AB的中點時，求CD的長；（2）如圖②，過點P作直