2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 重難點(diǎn)09五種空間向量與立體幾何數(shù)學(xué)思想解析版

重難點(diǎn)09五種空間向量與立體幾何數(shù)學(xué)思想（核心考點(diǎn)講與練）能力拓展能力拓展題型一：函數(shù)與方程思想一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在長方體中，，，若線段上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)，令，且，可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)m的范圍即可.【詳解】若線段上存在一點(diǎn)，使得，如下圖示：則，令，則，設(shè)且，有，則，，所以，整理得，故在上有零點(diǎn)，而且對(duì)稱軸為，開口向上，所以，只需，則，即的取值范圍是.故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，平面，，，且為的中點(diǎn)，于，當(dāng)變化時(shí)，則三棱錐體積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知且，令，結(jié)合換元法、二次函數(shù)最值求體積的最大值即可.【詳解】在三棱錐中，平面，知：，而，而且，又∵為的中點(diǎn)，知：∴設(shè)，則，所以，令，有，令，，而由二次函數(shù)的性質(zhì)知：時(shí)有最大值為，∴最大值為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積計(jì)算，結(jié)合換元法、二次函數(shù)最值求三棱錐體積最值，注意換元過程中定義域的等價(jià)變化.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡得：，則，解得：，即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.4．（2019·全國·高三階段練習(xí)（理））已知四棱錐，底面為正方形，且四棱錐的體積為，若其各個(gè)頂點(diǎn)都在球表面上，則球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)正方形的邊長為中心為棱錐高為球心為半徑為根據(jù)四棱錐的體積得到關(guān)于和的關(guān)系式,利用球的截面圓的圓心和球心的連線垂直于截面這一結(jié)論,在中利用勾股定理得到和的關(guān)系式,通過構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)判斷單調(diào)性求函數(shù)的最小值,求得球的半徑的最小值,進(jìn)而求得球表面積的最小值.【詳解】設(shè)正方形的邊長為中心為棱錐高為球心為半徑為則在中，即,即，故，令，則，由得.當(dāng)時(shí),，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí),有最小值為即最小值為，此時(shí).故選:B【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球問題和利用函數(shù)的思想求其外接球半徑的最值;考查空間想象能力、知識(shí)遷移能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力;通過構(gòu)造函數(shù),求得球的半徑的最小值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.二、填空題5．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐V-ABC兩條棱AB，VC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)可得共面，作交于點(diǎn)，連接，則，再根據(jù)，可得，再利用相似比可得，，從而可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可的解.【詳解】解：因?yàn)?，所以共面，作交于點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，則，又，所以，所以，則，，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：.6．（2021·四川省瀘縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于，.設(shè)，，給出以下四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最??；③四邊形的周長，是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐的體積在上先減后增.其中正確命題的序號(hào)是__________．【答案】①②【分析】①利用面面垂直的判定定理判斷；②求得，又是定值，結(jié)合可作出判斷；③四邊形是菱形，分析的變化可作出判斷；④將四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，進(jìn)而可作出判斷.【詳解】對(duì)于①：連接，，則由正方體的性質(zhì)可知，平面，又平面，所以平面平面，故①正確；對(duì)于②：連接，因?yàn)槠矫妫?，所以四邊形是菱形．四邊形的面積，四邊形的對(duì)角線是固定的，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)椋运倪呅问橇庑危?dāng)時(shí)，的長度由大變??；當(dāng)時(shí)，的長度由小變大．所以函數(shù)不單調(diào)．故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以為底，以，分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿切蔚拿娣e是個(gè)常數(shù)．，到平面的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐的體積為常值函數(shù)，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將△沿翻折到△的位置，在翻折過程中，不在平面內(nèi)時(shí)，記二面角的平面角為，則當(dāng)最大時(shí)，的值為______．【答案】【分析】取中點(diǎn)，易知在翻折過程中的射影在上且的軌跡是以為直徑的圓，作，則、分別是二面角、的平面角、，由題設(shè)求、、、，即有，整理變形有即可求的范圍，由正切單調(diào)性確定最大時(shí)值，即可求.【詳解】取中點(diǎn)，易得，在翻折過程中的射影在上，且的軌跡是以為直徑的圓，如上圖，在內(nèi)作，垂足為，連，∴是二面角的平面角，即且．由，故，∴是二面角的平面角，設(shè)，由上下對(duì)稱故只考慮即可．由，則，，，，而面，故，令，則且，∴，得，∴由正切函數(shù)單調(diào)性，當(dāng)最大時(shí)，故，此時(shí)．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用幾何法找到二面角、的平面角、，并得到它們之間的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)求的范圍，進(jìn)而由正切函數(shù)性質(zhì)確定最大時(shí)值.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《論圓和圓柱》中，證明了數(shù)學(xué)史上著名的圓柱容球定理：圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓柱的體積之比等于它們的表面積之比．可證明該定理推廣到圓錐容球也正確，即圓錐的內(nèi)切球（與圓錐的底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓錐體積之比等于它們的表面積之比，則該比值的最大值為________．【答案】【分析】設(shè)，利用和內(nèi)切球半徑可表示出圓錐底面半徑和母線，由圓錐和球的表面積公式可得，令，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最值.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐內(nèi)切球半徑為，作出圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)，，，，，，又，，，，則圓錐表面積，圓錐內(nèi)切球表面積，所求比值為，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)A錐表面積和球的表面積的比值利用一個(gè)變量表示出來，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，從而利用函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解.9．（2020·全國·高三（文））在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別為線段、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】【解析】先求出，再利用求出點(diǎn)A到平面EFC的距離得解.【詳解】由題得所以,所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則,所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.題型二：數(shù)形結(jié)合思想一、單選題1．（2022·安徽·模擬預(yù)測（文））在矩形ABCD中，，M是AD邊上一點(diǎn)，將矩形ABCD沿BM折疊，使平面與平面互相垂直，則折疊后A，C兩點(diǎn)之間距離的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)立體幾何中面面垂直的相關(guān)性質(zhì)以及余弦定理、正弦二倍角公式運(yùn)算求解即可.【詳解】作示意圖如下，在平面中，作，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)，所以，，，在中，由余弦定理得，，所以，所以，若最小，則最小，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，可以取到.故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)），是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）①若，，則與所成的角等于與所成的角；②若，，，則與是異面直線；③若，，，則；④若，，，則．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作出示意圖，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系得到答案.【詳解】對(duì)①，結(jié)合異面直線所成角的定義，因?yàn)?，所以與所成的角等于與所成的角，而，于是與所成的角等于與所成的角，故①正確；對(duì)②，根據(jù)題意m,n既不平行也不相交，故m,n異面，所以②正確；如圖，在正方體中，若為平面ABCD，為平面，取m為AB，n為，顯然異面，所以③錯(cuò)誤；若為平面ABCD，為平面，則m為AB，取n為BC，則，所以④錯(cuò)誤.故選：B.3．（2022·青海西寧·高三期末（文））我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在學(xué)術(shù)研究中，不迷信古人，堅(jiān)持實(shí)事求是．他對(duì)《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”給出的公式產(chǎn)生質(zhì)疑，為了證實(shí)自己的猜測，他引入了一種新的幾何體“牟合方蓋”：以正方體相鄰的兩個(gè)側(cè)面為底做兩次內(nèi)切圓柱切割，然后剔除外部，剩下的內(nèi)核部分．如果“牟合方蓋”的主視圖和左視圖都是圓，則其俯視圖形狀為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意“牟合方蓋”畫出直觀圖，得其俯視圖的形狀.【詳解】畫出直觀圖，結(jié)合直觀圖，主視圖、側(cè)視圖、俯視圖是從物體正面、左面、上面看所得到的圖形，可得其俯視圖形狀B.故選：B二、多選題4．（2022·江蘇·新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱展開，得到的平面圖如圖所示.其中，，，M是BB1上的點(diǎn)，則（

）A．AM與A1C1是異面直線 B．C．平面AB1C將三棱柱截成兩個(gè)四面體 D．的最小值是【答案】ABD【分析】根據(jù)展開圖還原直三棱柱，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的性質(zhì)判斷A、B、C，將面和面展開展開為一個(gè)平面，利用三點(diǎn)共線求的最小值.【詳解】由題設(shè)，可得如下直三棱柱：由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知：AM與A1C1是異面直線，A正確；因?yàn)?，，且，則面，又面，故，B正確；由圖知：面AB1C將三棱柱截成四棱錐和三棱錐，一個(gè)五面體和一個(gè)四面體，C錯(cuò)誤：將面和面展開展開為一個(gè)平面，如下圖：當(dāng)共線時(shí)，最小為，D正確.故選：ABD5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長為4的正方形，，點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面EFGH上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P滿足B．當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P滿足C．當(dāng)時(shí)，滿足BP⊥AM的點(diǎn)P的軌跡長度為D．當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)P軌跡長度為【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證，利用對(duì)稱點(diǎn)可以判斷A，利用垂直求出可以判斷B，求出點(diǎn)P軌跡長度可判定C,D.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建系如圖，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，.所以.故A不正確.對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，則，由得，即，解得，所以存在唯一的點(diǎn)P滿足，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，，設(shè)，則，由得.在平面中，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則的軌跡方程表示的軌跡就是線段，而，故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，由得，即，在平面中，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，記的圓心為，與交于；令，可得，而，所以，其對(duì)應(yīng)的圓弧長度為；根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)P軌跡長度為；故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，常常采用坐標(biāo)法，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，結(jié)合解析幾何的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，O為正方體的中心，M為的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則（

）A．若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿足的面積為的點(diǎn)有12個(gè)B．動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一條線段C．三棱錐的體積是隨點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)而變化的D．若過A，M，三點(diǎn)作正方體的截面，Q為截面上一點(diǎn)，則線段長度的取值范圍為【答案】BD【分析】選項(xiàng)A：設(shè)為底面正方形ABCD的中心，根據(jù)的面積為，由此可判斷選項(xiàng)A；選項(xiàng)B：分別取，的中點(diǎn)H，G，連接，，，；證明平面平面，從而得到點(diǎn)F的軌跡為線段GH.選項(xiàng)C：根據(jù)選項(xiàng)B可得出平面，從而得到點(diǎn)F到平面的距離為定值，再結(jié)合的面積也為定值，從而可得到三棱錐的體積為定值.選項(xiàng)D：設(shè)為的中點(diǎn)，從而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得到截面即為面，從而線段長度的最大值為線段的長，最小值為四棱錐以為頂點(diǎn)的高.【詳解】對(duì)于A：設(shè)為底面正方形ABCD的中心，連接，，，則，，所以的面積為，所以在底面ABCD上點(diǎn)P與點(diǎn)必重合，同理正方形的中心，正方形的中心都滿足題意.又當(dāng)點(diǎn)P為正方體各條棱的中點(diǎn)時(shí)也滿足的面積為，故A不正確；對(duì)于B：如圖①，分別取，的中點(diǎn)H，G，連接，，，．因?yàn)?，，平面，平面，平面，面，，所以平面平面，而平面，所以平面，所以點(diǎn)F的軌跡為線段GH，故B正確；對(duì)于C：由選項(xiàng)B可知，點(diǎn)F的軌跡為線段GH，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)F到平面的距離為定值，同時(shí)的面積也為定值，則三棱錐的體積為定值，故C不正確；對(duì)于D：如圖②，設(shè)平面與平面交于AN，N在上．因?yàn)榻孛嫫矫?，平面平面，所以．同理可證，所以截面為平行四邊形，所以點(diǎn)N為的中點(diǎn)．在四棱錐中，側(cè)棱最長，且．設(shè)棱錐的高為h，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以的邊上的高為面?duì)角線的一半，即為，又，則，，所以，解得．綜上，可知長度的取值范圍是，故D正確．故選：BD．三、填空題7．（2022·陜西寶雞·二模（文））如圖，在正三棱錐中，，，一只蟲子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是___________.【答案】【分析】將三棱錐的側(cè)面展開，從點(diǎn)蟲子爬行繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)的距離中，蟲子爬行的最短距離，可轉(zhuǎn)化為求的長度，利用勾股定理即可得到答案．【詳解】如圖所示，將三棱錐的側(cè)面展開，因?yàn)?，所以，?dāng)蟲子沿爬行時(shí)，距離最短，又，所以蟲子爬行的最短距離是.故答案為：.8．（2022·廣西·高三階段練習(xí)（文））在四棱錐中，平面，底面四邊形為矩形．請(qǐng)?jiān)谙旅娼o出的4個(gè)條件中選出2個(gè)作為一組，使得它們能成為“在邊上存在點(diǎn)，使得為鈍角三角形”的充分條件______.①，②，③，④.（寫出符合題意的一組即可）【答案】②③或②④皆可，答案不唯一【分析】設(shè)，，則，計(jì)算出，，，若在邊上存在點(diǎn)，使得為鈍角三角形，則，解不等式再根據(jù)已知條件可得答案.【詳解】設(shè)，，則，因?yàn)槠矫妫酌嫠倪呅螢榫匦危?，則，，，若在邊上存在點(diǎn)，使得為鈍角三角形，則，即，整理得，要使不等式有解，只需，即只需即可，因?yàn)棰?，②，③，④，所以②④或②?故答案為：②④或②③.9．（2022·湖南·臨澧縣第一中學(xué)二模）已知三棱錐的棱AP，AB，AC兩兩互相垂直，，以頂點(diǎn)P為球心，4為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧，則最長弧的弧長等于___________.【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)全為棱長為的正方體，根據(jù)已知條件判斷棱錐各面與球面相交所成圓弧的圓心、半徑及對(duì)應(yīng)圓心角，進(jìn)而求出弧長，即可知最長弧長.【詳解】由題設(shè)，將三棱錐補(bǔ)全為棱長為的正方體，如下圖示：若，則，即在P為球心，4為半徑的球面上，且O為底面中心，又，，所以，面與球面所成弧是以為圓心，2為半徑的四分之一圓弧，故弧長為；面與與球面所成弧是以為圓心，4為半徑且圓心角為的圓弧，故弧長為；面與球面所成弧是以為圓心，4為半徑且圓心角為的圓弧，故弧長為；所以最長弧的弧長為.故答案為：.10．（2022·北京四中高三開學(xué)考試）正方體棱長為3，對(duì)角線上一點(diǎn)P（異于A，兩點(diǎn)）作正方體的截面，且滿足，有下列命題：①截面多邊形只可能是三角形或六邊形；②截面多邊形只可能是正多邊形；③截面多邊形的周長L為定值；④設(shè)，截面多邊形的面積為S，則函數(shù)是常數(shù)函數(shù)．其中所有正確命題的序號(hào)是______．【答案】①【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定可得面、面，以截面為面、面為臨界截面，討論的位置判斷截面圖形的性質(zhì)，即可判斷①②③，再由時(shí)截面為正三角形且邊長為即可判斷④.【詳解】連接，由在上的射影分別為，又，即，，所以面，同理面，即截面可能為面、面，此時(shí)截面為正三角形；而當(dāng)在與面、面的交點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：截面為六邊形，但不一定是正六邊形，即截面交相關(guān)棱于中點(diǎn)時(shí)才是正六邊形(如上圖示)，而當(dāng)在與面交點(diǎn)左下方、面交點(diǎn)右上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面為正三角形，所以①正確，②錯(cuò)誤；顯然在與面交點(diǎn)左下方，截面周長小于截面的周長，故③錯(cuò)誤；由題設(shè)，當(dāng)時(shí)截面為正三角形且邊長為，所以，故不是常數(shù)函數(shù)，④錯(cuò)誤.故答案為：①.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正方體的性質(zhì)及線面垂直的判定找到在移動(dòng)過程中截面形狀發(fā)生變化的臨界截面，進(jìn)而判斷臨界截面兩側(cè)截面多邊形的性質(zhì).11．（2022·北京·北大附中高三開學(xué)考試）在棱長為1的正方體中，E為側(cè)面的中心，F(xiàn)在棱AD上運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)P是平面與正方體的底面ABCD的公共點(diǎn)，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為___________.【答案】【分析】討論或重合的情況，根據(jù)正方體的性質(zhì)即可確定從到的過程中P所構(gòu)成圖形，進(jìn)而求其面積即可.【詳解】當(dāng)重合時(shí)，如下圖示：由正方體性質(zhì)知面即為面，與底面交線為，且為的中點(diǎn)，所以，此時(shí)在線段上，當(dāng)重合時(shí)，如下圖示：由正方體性質(zhì)知面即為面，與底面交線為，所以，此時(shí)在線段上，綜上，從到的過程中，梯形(第一個(gè)圖中)即為P構(gòu)成圖形，又正方體的棱長為1，所以，面積為.故答案為：.12．（2021·河北邯鄲·高三期末）已知為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，是棱延長線上的一點(diǎn)，且，若，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長為___________.【答案】【分析】由題意可知，且點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，作出草圖，根據(jù)弧長公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋抢庋娱L線上的一點(diǎn)，且，所以，由勾股定理，可知，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，如下如所示：所以動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡在平面上的交的弧線是以為圓心，為半徑的圓弧，其中該圓弧所對(duì)圓心角為；在平面上的交的弧線是以為圓心，為半徑的圓弧，其中該圓弧所對(duì)圓心角為；在平面上的交的弧線是以為圓心，為半徑的圓弧，其中該圓弧所對(duì)圓心角為；所以動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長為.故答案為：.題型三：分類與整合思想一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體棱長為是棱上一點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，使得對(duì)任意的點(diǎn)，直線與正方體的所有棱所成的角都大于，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，只需直線與直線三條直線所成的角都大于即可，分別研究直線與直線所成的角最小值，直線與直線所成的角最小值，直線與直線所成的角最小值，即可得出答案.【詳解】解：在正方體中，因?yàn)榛ハ嗥叫校ハ嗥叫?，互相平行，則只需直線與直線三條直線所成的角都大于即可，對(duì)于直線與直線，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，?dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從的過程中，直線與直線所成的角逐漸增大，因此當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成的角最小，此時(shí)直線與直線所成的角為，則點(diǎn)位于的任何位置都符合題意；對(duì)于直線與直線，當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從的過程中，直線與直線所成的角逐漸減小，因此當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成的角最小，此時(shí)直線與直線所成的角為，則點(diǎn)位于的任何位置都符合題意；對(duì)于直線與直線，過作，當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從的過程中，直線與直線所成的角逐漸增大，因此當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成的角最小，則，所以，所以，綜上所述，.故選：A.2．（2022·上海·高三專題練習(xí)）如果點(diǎn)是兩條異面直線、外一點(diǎn)，則過點(diǎn)且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)的所有可能值是（

）A．1 B．2 C．0或1 D．無數(shù)【答案】C【分析】討論點(diǎn)與其中一條直線所成平面與另一直線平行或不平行的情況下，判斷過且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)即可.【詳解】1、若點(diǎn)與直線構(gòu)成的平面與直線平行，則過且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)為0；2、若點(diǎn)與直線構(gòu)成的平面與直線平行，則過且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)為0；3、若點(diǎn)與直線不與直線平行，或點(diǎn)與直線不與直線平行，則點(diǎn)且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)為1.故選：C3．（2021·全國·高三專題練習(xí)）到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．4C．7 D．8【答案】C【分析】不共面的空間四點(diǎn)可構(gòu)成三棱錐，結(jié)合三棱錐的，分截面兩側(cè)分別為1個(gè)點(diǎn)與3個(gè)點(diǎn)，各2個(gè)點(diǎn)求解即可.【詳解】當(dāng)空間四點(diǎn)不共面時(shí)，則四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐．當(dāng)平面一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，如圖，令截面與三棱錐的四個(gè)面之一平行，第四個(gè)頂點(diǎn)到這個(gè)截面的距離與其相對(duì)的面到此截面的距離相等，這樣的平面有4個(gè)；當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，如圖，當(dāng)平面過AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件．因?yàn)槿忮F的相對(duì)棱有三對(duì)，則此時(shí)滿足條件的平面有3個(gè)．所以滿足條件的平面共有7個(gè)，故選：C4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面為正方形，，為等邊三角形，線段的中點(diǎn)為.若，則此四棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接，，由題意可得，求出四棱錐的高，及底面外接圓的圓心到P在底面的投影的距離，設(shè)正方形的中心為，過作底面的垂線，則四棱錐的外接球的球心在上，分別在兩個(gè)直角三角形中求出外接球的半徑與直角邊的關(guān)系求出外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，由底面為正方形，，為等邊三角形，又，設(shè)正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，過作底面的投影，則由題意可得在上，由射影定理得，而，，，過作底面的垂線，則四棱錐的外接球的球心在上，設(shè)為四棱錐的外接球球心，半徑為，則過作于，則四邊形為矩形，（1）若四棱錐的外接球球心在四棱錐內(nèi)部，在中，，即在中，，即聯(lián)立解得：，不符合題意，舍去；（2）若四棱錐的外接球球心在四棱錐外部，在中，，即在中，，即聯(lián)立解得：，，所以四棱錐的外接球的表面積為故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用求解．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線AB與直二面角的兩個(gè)面分別交于A，B兩點(diǎn)，且A，B都不在棱l上，設(shè)直線AB與所成的角分別為和，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)直線AB與平面的位置，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)與l不垂直時(shí)，分別過點(diǎn)A，B向平面作垂線，垂足為，，連接，，由已知，可知，，由，知【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)與l不垂直時(shí)，如圖，分別過點(diǎn)A，B向平面作垂線，垂足為，，連接，.由已知，所以，，因此，.由，知，即綜上可知，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查二面角及線面角，解題的關(guān)鍵是通過面面垂直的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線面垂直即可找到線面角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.6．（2020·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））在正方體中，、分別在和上（異于端點(diǎn)），則過三點(diǎn)、、的平面被正方體截得的圖形不可能是（

）A．正方形 B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形 D．梯形【答案】A【解析】作出圖形，設(shè)正方體的棱長為，設(shè)，利用勾股定理可判斷A選項(xiàng)中的截面圖形不可能，結(jié)合A選項(xiàng)的推導(dǎo)可判斷B選項(xiàng)中的截面圖形可能，取可判斷C選項(xiàng)中圖形可能，取可判斷D選項(xiàng)中截面圖形可能.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長為，如下圖所示：

設(shè)，平面平面，平面平面，平面平面，，同理，若截面為正方形，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易知，，則，，，，由勾股定理得，即，解得，所以，截面不可能是正方形；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，截面是不為正方形的菱形；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，由于平面，，平面，平面，，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可得，，，，此時(shí)，四邊形為矩形但不是正方形；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可得，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易知且，此時(shí)，截面圖形為梯形.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正方體截面圖形的判斷，考查空間想象能力與推理能力，屬于中等題.二、填空題7．（2021·全國·模擬預(yù)測（理））如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為1米的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個(gè)小孔，小孔(孔的大小不計(jì))到的距離為0.75米，現(xiàn)將該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時(shí)，則整個(gè)正方體水槽在水平桌面上的投影面積大小為_______平方米．【答案】【分析】水槽的投影為正方形和正方形在桌面上的投影，故找到側(cè)面與水平面的夾角即可求出投影.【詳解】如圖，過作于，易知，則，因?yàn)樗矫媾c桌面平行，所以，平面和平面分別與桌面所成角的余弦值分別為，水槽的投影為：正方形和正方形在桌面上的投影.所以投影面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是要找到側(cè)面與水平面的夾角，從而求得投影面積.三、解答題8．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，且，，，側(cè)棱與底面成60°，求它的體積.【答案】或.【分析】證明平面平面，根據(jù)點(diǎn)在直線上的位置不確定，將其分為①點(diǎn)H在線段的延長線上；②點(diǎn)H在線段上；③點(diǎn)H在線段的延長線上，三種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：因?yàn)椋?，又，且，故平面，又平面，故平面平面，則點(diǎn)在平面上的射影一定在直線上，過作垂直，交于H，設(shè).①若點(diǎn)H在線段的延長線上，聯(lián)結(jié)，，如圖所示，則是與底面所成的角，即，.在中，.在中，，故，解得.所以.②若點(diǎn)H在線段上，如圖所示.在中，，即，解得（此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)B重合）所以.③若點(diǎn)H在線段的延長線上，在中，∵，∴，解得，不合題意綜上所述，斜三棱柱的體積為或.題型四：轉(zhuǎn)化與劃歸思想一、單選題1．（2022·四川瀘州·三模（理））已知三棱錐的底面為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3，體積為24，若該三棱錐的外接球O的半徑為5，則滿足上述條件的頂點(diǎn)P的軌跡長度為（

）A．6π B．30πC． D．【答案】D【分析】利用三棱錐的體積，求解底邊邊長，求出的外接圓半徑，以及球心到底面的距離，判斷頂點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)不同截面圓的圓周，進(jìn)而求解周長即可．【詳解】依題意得，設(shè)底面等腰直角三角形的邊長為，三棱錐的體積解得：的外接圓半徑為球心到底面的距離為，又頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3，頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周當(dāng)球心在底面和截面圓之間時(shí)，球心到該截面圓的距離為，截面圓的半徑為，頂點(diǎn)P的軌跡長度為；當(dāng)球心在底面和截面圓同一側(cè)時(shí)，球心到該截面圓的距離為，截面圓的半徑為，頂點(diǎn)P的軌跡長度為；綜上所述，頂點(diǎn)P的軌跡的總長度為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體外接球的問題以及軌跡周長的求法，考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，題目具有一定的難度．2．（2022·全國·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知正三棱錐的底面邊長為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)外接球表面積求得外接球半徑，進(jìn)而求得三棱錐的高，并推出側(cè)面為等腰直角三角形，作輔助線，將轉(zhuǎn)化為一條線段，從而確定最小時(shí)的線段的位置，再結(jié)合三角函數(shù)值，解直角三角形,求得答案.【詳解】依題意，，解得，由是正三角形可知：其外接圓半徑為，設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，故，解得或，則或（舍去），故，則,而，故為等腰直角三角形，，故為等腰直角三角形，,則,又,故平面SCM，取CB中點(diǎn)F，連接NF交CM于點(diǎn)O，則,則平面SCM,故平面SCM，則，要求最小，首先需PQ最小，此時(shí)可得平面SCM，則；再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，當(dāng)共線且時(shí)，的最小值即為的長，由為等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體上線段和最小值的求解，涉及到幾何體的外接球以及空間的線面位置關(guān)系等問題，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象，明確點(diǎn)線面的位置關(guān)系，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，解答的關(guān)鍵是要將兩線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，才可求得線段和的最小值.3．（2022·廣西·高三階段練習(xí)（理））如圖，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱平面ABCD，且，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過P、E、F的平面記為，Q在上且，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）．①三棱錐的體積是定值；②當(dāng)直線時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，平面截棱柱所得多邊形的周長為；④存在平面，使得點(diǎn)到平面距離是A到平面距離的兩倍．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對(duì)于①：先利用線面平行的判定定理得到線面平行，即點(diǎn)到平面的距離為定值，再利用三角形面積是定值和棱錐的體積公式進(jìn)行判定；對(duì)于②：先作出兩平面的交線，利用線面平行得到面面平行，再利用全等三角形進(jìn)行求解；對(duì)于③：利用②結(jié)論判定截面的形狀，進(jìn)而求其周長；對(duì)于④：利用相似比得到推出矛盾，判定④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①:因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以點(diǎn)P到平面的距離為定值，而的面積為定值，所以三棱錐的體積是定值，即三棱錐的體積是定值，故①正確；對(duì)于②：如圖，延長EF交DC的延長線于點(diǎn)M，設(shè)平面交棱于點(diǎn)W，連接MW，并延長MW交于點(diǎn)P，因?yàn)椋矫?，平面平面，所以，因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，則W為CQ的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，，，所以≌，則，因?yàn)椋瑒t，則，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③：如圖，設(shè)直線EF分別交直線DA、DC于點(diǎn)N、M，連接PN、PM，分別交、于點(diǎn)R、S，連接RE、SF，由②可知，，同理可知，因?yàn)?，，則為等腰直角三角形，則，同理可知，也為等腰直角三角形，同理可知，，∴，同理，由勾股定理可得，則截面的周長為，即③正確；對(duì)于④：設(shè)截面交棱于點(diǎn)R，假設(shè)存在平面，使得點(diǎn)到平面距離是A到平面距離的兩倍，則，可得，因?yàn)?，則，則，不符合題意；即不存在平面，使得點(diǎn)到平面距離是A到平面距離的兩倍，故④錯(cuò)誤．綜上所述，①③正確.故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的所有棱長為1．是底面內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且到三個(gè)側(cè)面，，的距離，，成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，記與，，所成的角分別為則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于是底面內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是底面的一條動(dòng)斜線，得到動(dòng)斜線與底面的夾角，再找的余弦值與的余弦值之間的關(guān)系，再利用邊角轉(zhuǎn)化，可以得到目標(biāo)角的關(guān)系.【詳解】解：依題意知正四面體的頂點(diǎn)在底面的射影是正的中心，,,連,則,與的夾角為又，其中表示直線與的夾角，表示直線與的夾角，是斜線與底面的夾角.同理可以將，轉(zhuǎn)化，，其中表示直線與的夾角，，其中表示直線與的夾角，由于是公共的，因此題意即比較與，，夾角的大小，設(shè)到，，的距離為，，則，其中是正四面體相鄰兩個(gè)面所成角，，所以，，成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，然后在中解決問題，角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等由于，可知在如下圖的區(qū)域（包括BD邊界）從下圖中可以看出，與所成角小于與所成角，所以，與所成角大于與所成角，所以，所以ABC都錯(cuò).故選：D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在立體幾何探究課上，老師給每個(gè)小組分發(fā)了一個(gè)正四面體的實(shí)物模型，同學(xué)們?cè)谔骄康倪^程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線平面，直線平面，F(xiàn)是棱BC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下列三個(gè)結(jié)論：①若分別為棱的中點(diǎn)，則直線平面；②在棱BC上存在點(diǎn)F，使平面；③當(dāng)F為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．③ B．①③ C．①② D．②③【答案】A【分析】將正四面體放在正方體中，如圖，由正方體的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】可將正四面體放在正方體中研究，如圖，對(duì)于①，由直線平面，直線平面，知平面是與左右兩個(gè)側(cè)面平行的平面，是前后兩個(gè)側(cè)面的中心（對(duì)角線交點(diǎn)），則直線平面或直線平面，故①錯(cuò)誤.對(duì)于②，正方體的左、右兩個(gè)側(cè)面與平面平行，因此，與平面垂直的直線只能是與其四條側(cè)棱平行或重合的直線，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，平面就是平面，由與側(cè)面垂直，得面面垂直，故③正確，故選：A．二、多選題6．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院二模）某地舉辦數(shù)學(xué)建模大賽，本次大賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的表面積為16，托盤由邊長為8的等邊三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊面成，如圖②，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AD與平面DEF所成的角為B．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為C．異面直線AD與CF所成角的余弦值為D．球上的點(diǎn)到底面DEF的最大距離為【答案】AC【分析】根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定所求解的角判斷A；求出外接圓的面積判斷B；作出異面直線所成的角，并求出這個(gè)角判斷C；求出球心到平面的距離判斷D.【詳解】根據(jù)圖形的形成可知，三點(diǎn)在底面上的投影分別是三邊中點(diǎn)，如圖所示，對(duì)于A，面，就是直線AD與平面DEF所成的角，是等邊三角形，，A正確；對(duì)于B，與全等且所在平面平行，截面圓就是的外接圓與的外接圓相同，由題意知的邊長為，其外接圓半徑為，圓的面積，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上述條件知，且，而且，四邊形是平行四邊形，所以是異面直線AD與CF所成的角（或其補(bǔ)角）.又,，C正確；對(duì)于D，由上述條件知，，設(shè)是球心，球半徑為，由，解得：，則是正四面體，棱長為，設(shè)為的中心，如圖：則面，又面，，，又球上的點(diǎn)到底面DEF的最大距離為，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長為__________.【答案】【分析】首先根據(jù)條件確定P點(diǎn)所處的平面，再建立坐標(biāo)系求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，據(jù)此求出軌跡的長.【詳解】由可知，正方體表面上到點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以P點(diǎn)只可能在面，面，面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P在面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖示，建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由得：，即，即P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以E（4,0）為圓心，以為半徑的一段圓弧，因?yàn)?故,所以P點(diǎn)在面ABCD內(nèi)的軌跡的長即為同理，P點(diǎn)在面內(nèi)情況亦為；P點(diǎn)在面上時(shí)，因?yàn)椋?所以，所以此時(shí)P點(diǎn)軌跡為以B為圓心，2為半徑的圓弧，其長為，綜上述，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長為，故答案為：.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方形（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長為________.【答案】【分析】由題意易知，由此可得，在平面上，建立平面直角坐標(biāo)系，可知點(diǎn)的軌跡為圓與四邊形的交點(diǎn)，由弧長公式可求解.【詳解】如圖，在棱長為6的正方體中，則平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如圖，在平面中，以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由，知，化簡整理得，，圓心，半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡為圓與四邊形的交點(diǎn)，即為圖中的其中，，，則由弧長公式知故答案為：.題型五：特殊與一般思想一、單選題1．（2021·江西·三模（理））設(shè)α、β為兩個(gè)不重合的平面，能使α//β成立的是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到β的距離相等 D．α、β垂直于同一平面【答案】B【分析】應(yīng)用幾何體特例，如立方體可排除相關(guān)選項(xiàng)；而由面面平行的判定可知B正確【詳解】應(yīng)用立方體，如下圖所示：選項(xiàng)A：α內(nèi)有無數(shù)條直線可平行于l，即有無數(shù)條直線與β平行，但如上圖α與β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；選項(xiàng)B：由面面平行的判定，可知B正確選項(xiàng)C：在α內(nèi)有一條直線平行于l，則在α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到β的距離相等，但如上圖α與β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；選項(xiàng)D：如圖α⊥γ，β⊥γ，但α與β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判定，應(yīng)用特殊與一般的思想排除選項(xiàng)，屬于簡單題2．（2021·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，且直線，直線，下列命題為真命題的是A．“”是“”的充分條件B．“”是“”的既不充分又不必要條件C．“”是“”的充要條件D．“”是“”的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)線線、線面、面面之間的關(guān)系判斷結(jié)論間是否互為充分、必要條件，進(jìn)而確定命題的真假【詳解】線面垂直性質(zhì)：有，但，不能得出，A錯(cuò)誤時(shí)，根據(jù)線面平行性質(zhì)的條件知m若在平面β內(nèi)，不能得出，反之，β內(nèi)的直線也不一定與m平行，即不能得出，既不充分也不必要，B正確時(shí)，m、n可能是異面直線，不一定平行，時(shí)，α、β也可能相交，不一定平行，C錯(cuò)誤兩個(gè)平面垂直，分別在這兩個(gè)平面的兩條直線可能相交，可以平行，不一定垂直，D錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行、垂直關(guān)系，結(jié)合線線、線面、面面相關(guān)的判定、性質(zhì)定理判斷各結(jié)論是否互為充分、必要條件3．（2020·四川省遂寧市第二中學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知圓錐的底面半徑為，當(dāng)圓錐的體積為時(shí)，該圓錐的母線與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先理解圓錐體中母線與底面所成角的正切值為它的高與底面半徑的比值，結(jié)合圓錐的體積公式及已知條件即可求出正切值【詳解】設(shè)圓錐的高為，則由題意，有∴，即為母線與底面所成角的正切值故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐體，理解母線與底面所成角即線面角的確定，由已知條件結(jié)合圓錐的體積公式求線面角的正弦值4．（2020·重慶八中高三階段練習(xí)（理））已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同