2022-2023學(xué)年初中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5-1 期中期末專項復(fù)習(xí)之有理數(shù)十六大必考點（人教版）（解析版）

專題5.1有理數(shù)十六大必考點【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1相反意義的量】 1【考點2有理數(shù)的概念及分類】 3【考點3相反數(shù)】 5【考點4絕對值】 6【考點5根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值】 8【考點6相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)綜合】 11【考點7有理數(shù)的混合運算】 12【考點8新定義中的有理數(shù)運算】 16【考點9科學(xué)計數(shù)法】 18【考點10有理數(shù)乘方的應(yīng)用】 19【考點11有理數(shù)的大小比較】 21【考點12閱讀材料中的有理數(shù)運算】 24【考點13有理數(shù)的實際應(yīng)用】 29【考點14正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用】 31【考點15有理數(shù)中的規(guī)律探究】 36【考點16數(shù)軸與絕對值、動點的綜合探究】 40【考點1相反意義的量】【例1】（河北省保定市新秀學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)，如果收入100元記作+100元，則-50元表示（

）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元【答案】A【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的相反意義即可得出答案．【詳解】解：收入100元記作+100元，則?50元表示支出50元，故選：A．【點睛】此題考查了正負(fù)數(shù)表示一對相反意義的量，正確理解正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（重慶市育才中學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果水庫的水位高于正常水位4m時，記作+4m，那么低于正常水位5m時，應(yīng)記作(

)A．5m B．-5m C．+15m D．-1【答案】B【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示，據(jù)此可求解．【詳解】解：如果水庫的水位高于正常水位4m時，記作+4m，那么低于正常水位5m時，應(yīng)記作-5m．故選：B．【點睛】此題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，關(guān)鍵是掌握正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的就為負(fù)．【變式1-2】（山西省呂梁市交城縣2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果電梯上升5米，記作+5米，那么-3米表示_______________________________．【答案】電梯下降3米【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示．【詳解】解：“正”和“負(fù)”相對，∵電梯上升5米，記作+5米，∴-3表示電梯下降3米．故答案為：電梯下降3米．【點睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，確定一對具有相反意義的量．【變式1-3】（2022·全國·七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店西邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向西走了60米，此時小明的位置在（

）A．文具店 B．玩具店 C．文具店西邊40米 D．玩具店西邊60米【答案】A【分析】根據(jù)題意以書店為原點，向東方向為正方，10米為單位長度，畫出數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸分析即可得出答案．【詳解】如圖，根據(jù)題意一書店為原點，向東方向為正方，10米為單位長度，畫出數(shù)軸，則文具店表式的數(shù)是?20，玩具店所表示的數(shù)是?100，依題意，40?60故此時小明的位置在文具店故選A【點睛】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，具有相反意義的量，有理數(shù)的加減的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)軸分析是解題的關(guān)鍵．【考點2有理數(shù)的概念及分類】【例2】（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列有理數(shù)填入它所屬于的集合圈內(nèi)．?34，1，3.5，0，【答案】見解析【分析】利用負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、正整數(shù)和非負(fù)數(shù)的定義即可區(qū)分作答．【詳解】解：【點睛】本題考查了負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、正整數(shù)和非負(fù)數(shù)的的定義，理解相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．注意：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都屬于分?jǐn)?shù)即他們都是有理數(shù)．【變式2-1】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在23，?4.3，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，π【答案】23【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義及分類：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，逐個判定即可得到結(jié)論．【詳解】解根據(jù)有理數(shù)的定義及分類可知，23符合題意；?4.3是負(fù)數(shù)，不合題意；0.25符合題意；0符合題意；1.23符合題意；1.01001000100001…是無理數(shù)，不合題意；π故答案為：23，0.25，0，1.23【點睛】本題考查有理數(shù)的定義及分類，掌握有理數(shù)的分類是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·黑龍江·肇源縣超等蒙古族鄉(xiāng)學(xué)校期中）在下列數(shù)中：?|?3|，0.23，(?2)2，0，(?3)3，??20062，?15，?【答案】?2【分析】根據(jù)正整數(shù)的概念知所給數(shù)中(?2)2，??20062，??10.2為正整數(shù)，得到m=3；根據(jù)非負(fù)數(shù)的概念知所給數(shù)中0.23，(?2)【詳解】解：?|?3|=?3，0.23，(?2)2=4，0，(?3)3=?27，??∴正整數(shù)有：(?2)2，??20062，非負(fù)數(shù)有：中0.23，(?2)2，0，??20062，∴m?n=3?5=?2，故答案為：?2．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，掌握有理數(shù)概念及分類是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·陜西·白水縣田家炳實驗中學(xué)七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)：15，?19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3·，π(1)分?jǐn)?shù)集合{…}；(2)自然數(shù)集合{…}；(3)非正整數(shù)集合{…}；(4)非負(fù)有理數(shù)集合{…}．【答案】(1)﹣19，215，﹣5.32，2.(2)15，0，5(3)﹣5，0(4)15，215，0，2.3，80%【分析】根據(jù)有理數(shù)的相關(guān)定義及分類方法解答即可．（1）解：分?jǐn)?shù)集合{﹣19，215，﹣5.32，2.3故答案為：﹣19，215，﹣5.32，2.3（2）解：自然數(shù)集合{15，0，5}；故答案為：15，0，5；（3）解：非正整數(shù)集合{﹣5，0}；故答案為﹣5，0；（4）解：非負(fù)有理數(shù)集合{15，215，0，2.3，80%，故答案為：15，215，0，2.3，80%，【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟記有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵．【考點3相反數(shù)】【例3】（2022·黑龍江·同江市第三中學(xué)七年級期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．2與12 B．（﹣1）2與1 C．﹣1與（﹣1）2 【答案】C【分析】兩數(shù)互為相反數(shù)，它們的和為0，可對四個選項進行一一分析，看選項中的兩個數(shù)和是否為0，如果和為0，則那組數(shù)互為相反數(shù)．【詳解】解：A、2+12＝5B、（﹣1）2+1＝2；C、﹣1+（﹣1）2＝0；D、2+|﹣2|＝4．故選：C．【點睛】此題考查相反數(shù)的定義及性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0,以及有理數(shù)的加法計算法則．【變式3-1】（2022·河北保定·七年級期中）如圖，在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點是_____．【答案】A和C．【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：由題意得：點A表示的數(shù)為：2，點B表示的數(shù)為：1，點C表示的數(shù)為：-2，點D表示的數(shù)為：-3，則A與C互為相反數(shù)，故答案為：A和C．【點睛】本題考查了數(shù)軸和相反數(shù)的定義，知道數(shù)軸上某點表示的數(shù)，并熟練掌握相反數(shù)的定義即可．【變式3-2】（2022·寧夏·銀川市第三中學(xué)七年級期中）下列各組數(shù)中：①﹣32與32；②（﹣3）2與32；③﹣（﹣2）與﹣（+2）；④（﹣3）3與﹣33；⑤﹣23與32，其中互為相反數(shù)的共有（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對【答案】C【分析】兩數(shù)互為相反數(shù)，它們的和為0．本題可對各選項進行一一分析，看選項中的兩個數(shù)和是否為0，如果和為0，則那組數(shù)互為相反數(shù)．【詳解】解：根據(jù)相反數(shù)的定義可知：①﹣32與32；③﹣（﹣2）與﹣（+2）互為相反數(shù)．故選：C．【點睛】此題考查相反數(shù)的概念．解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的概念，明確兩數(shù)互為相反數(shù)，它們的和為0．【變式3-3】（2022·山東威?！て谥校┤鬽，n互為相反數(shù)，則下列各組數(shù)中不是互為相反數(shù)的是（）A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n【答案】B【詳解】分析：直接利用互為相反數(shù)的定義分析得出答案．詳解：A、∵m，n互為相反數(shù)，∴-m和-n也是互為相反數(shù)，故此選項錯誤；B、∵m，n互為相反數(shù)，∴m+1和n+1不是互為相反數(shù)，故此選項正確；C、∵m，n互為相反數(shù)，∴m+1和n-1是互為相反數(shù)，故此選項正確；D、∵m，n互為相反數(shù)，∴5m和5n也是互為相反數(shù)，故此選項錯誤；故選B．點睛：此題主要考查了互為相反數(shù)，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【考點4絕對值】【例4】（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中）若|a|=12，且a<0，則a+1=【答案】12【分析】根據(jù)絕對值的定義和a<0確定a的值，代入a+1計算即可．【詳解】解：∵|a|=1∴a=±1∵a<0，∴a=?1∴a+1=?1故答案為：12【點睛】本題考查絕對值的定義和代數(shù)式求值，正確求出a的值是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·黑龍江·蘭西縣紅星鄉(xiāng)第一中學(xué)校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，則x+y的值等于_____．【答案】±3【分析】根據(jù)絕對值的意義，求得x,y的值，進而根據(jù)xy＜0，確定x,y的值，進而求得代數(shù)式的值．【詳解】解：∵|x|＝8，|y|＝5，∴x＝±8，y＝±5，又∵xy＜0，∴x＝8，y＝﹣5或x＝﹣8，y＝5，當(dāng)x＝8，y＝﹣5時，原式＝8+（﹣5）＝3，當(dāng)x＝﹣8，y＝5時，原式＝﹣8+5＝﹣3，綜上，x+y的值為±3，故答案為：±3．【點睛】本題考查了絕對值的意義，代數(shù)式求值，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·廣東·肇慶市頌德學(xué)校七年級期中）絕對值小于3的正整數(shù)有________．【答案】1，2##2,1【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，即可解答．【詳解】絕對值小于3的正整數(shù)有1，2，故答案為：1，2．【點睛】本題考查了絕對值，解決本題的關(guān)鍵是熟記一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零．【變式4-3】（2022·遼寧本溪·七年級期中）化簡：3?π【答案】2【分析】根據(jù)絕對值的定義即可得．【詳解】解：3?π故答案為：2【點睛】此題考查了絕對值，掌握絕對值的定義：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值是解題的關(guān)鍵．【考點5根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值】【例5】（2022·四川廣安·七年級期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡：?b【答案】a+b+c【分析】根據(jù)數(shù)軸得出a>0，【詳解】由圖知：a>0，∴c+b<0,b?a<0，∴?b故答案為：a+b+c．【點睛】本題考查數(shù)軸的點的大小關(guān)系與絕對值的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【變式5-1】（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)七年級期中）如圖，點A和B表示的數(shù)分別為a和b，若c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)．（1）在數(shù)軸上表示c＝，d＝．（2）若|x+3|＝2，則x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化簡：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．【答案】（1）0，?1；（2）?1或?5；（3）b?a?3x【分析】（1）根據(jù)c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)，即可得到c=0，d=1；（2）由x+3=2，則x+3=±2（3）根據(jù)數(shù)軸上的位置可得?1<a<0=c<1<b，則x?b<0，x+a<0，c?x>0，由此進行化簡即可．【詳解】解：（1）∵c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)，∴c=0，d=?1，故答案為：0，?1；（2）∵x+3=2∴x+3=±2，∴x=?3+2=?1或x=?3?2=?5；（3）根據(jù)數(shù)軸上的位置可得?1<a<0=c<1<b，∵?1<x<0，∴x?b<0，x+a<0，c?x>0，∴x?b==b?x?=b?a?3x．【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸上點的位置化簡絕對值，解絕對值方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握化簡絕對值的相關(guān)方法．【變式5-2】（2022·山東德州·七年級期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，解答下列問題：（1）若a＝2，將a表示的點沿數(shù)軸方向平移5個單位，得到的點表示的數(shù)為；（2）數(shù)b與其相反數(shù)相距10個單位長度，則b表示的數(shù)是；（3）化簡：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【答案】（1）7或-3；（2）-5；（3）-2c．【分析】（1）分兩種情況，一種情況是向右平移，另一種是向左平移，根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的意義，通過計算即可解答；（2）根據(jù)題意得出方程，求出方程的解即可；（3）根據(jù)數(shù)軸可得c<b<0<a,a+b<0,b?c>0,c?a<0，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去絕對值，然后合并同類項即可．【詳解】解：（1）將a表示的點沿數(shù)軸向右平移5個單位即2+5=7，得到的點表示的數(shù)為7；將a表示的點沿數(shù)軸向左平移5個單位即2?5=?3，得到的點表示的數(shù)為-3；（2）數(shù)b的相反數(shù)為?b，根據(jù)數(shù)b與其相反數(shù)相距10個單位長度可得?b?b=10，解得：b=?5；（3）由數(shù)軸可得c<b<0<a,a+b<0,b?c>0,c?a<0，則|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|=b?c?a?b+a?c=?2c．【點睛】本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，絕對值，兩點間的距離的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出算式和方程．【變式5-3】（2022·湖南·李達中學(xué)七年級期中）如圖，數(shù)軸上有點a，b，c三點．(1)c?b0；c?a0(填“<”，“>”，“=”)；(2)化簡|c?b|?|c?a|+|a?1|(3)求a|a|【答案】(1)<；<；(2)b?1；(3)0．【分析】（1）由a，b，c在數(shù)軸上的位置可得a、b、c的大小關(guān)系，再估算c?b，c?a的值，得出答案；（2）結(jié)合（1），再由a，b，c在數(shù)軸上的位置可以判斷a?1的符號，再化簡絕對值即可；（3）根據(jù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可得a、b、c的正負(fù)情況，再化簡絕對值．（1）解：根據(jù)數(shù)軸上的點得：c<a<b；∴c?b<0，c?a<0；故答案為：<；<；（2）解：|c?b|?|c?a|+|a?1|=b?c?(a?c)+a?1=b?c?a+c+a?1=b?1；（3）解：∵c<0<a<b，a==1+1?1?1=0．【點睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義和方法，化簡絕對值、解題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合來求解．【考點6相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)綜合】【例6】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若m、n互為相反數(shù)，則|m?5+n|=______．【答案】5【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，可得?5的絕對值，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：m、n互為相反數(shù)，|m?5+n|=|?5|=5，故答案為：5．【點睛】本題考查了絕對值，先算m+n的值，再算絕對值．【變式6-1】（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學(xué)校七年級期中）?3的絕對值加上?3的倒數(shù)等于______．【答案】223【分析】根據(jù)絕對值和倒數(shù)的概念分別求出?3的絕對值和倒數(shù)，再求和即可．【詳解】解：∵?3的絕對值是?3=3，?3的倒數(shù)是?∴3+?故答案為：22【點睛】本題考查了求一個數(shù)的絕對值和求一個數(shù)的倒數(shù)，正確求出?3的絕對值和倒數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·湖南·李達中學(xué)七年級期中）?1【答案】2【分析】先求出的倒數(shù)，再求其絕對值即可．【詳解】?1即?1故答案為：2．【點睛】本題考查有理數(shù)的倒數(shù)和絕對值，乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，正數(shù)和0的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．【變式6-3】（2022·湖北十堰·七年級期中）已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，e的絕對值為1，求3a+3b+cd+e2的值．【答案】2【分析】根據(jù)題意求得a+b，cd，e等各式的值，代入求解即可．【詳解】解：∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b=0，∵c，d互為倒數(shù)，∴cd=1，∵e的絕對值為1，∴e=±1，∴e2=1，∴3a+3b+cd+【點睛】此題考查了有理數(shù)的有關(guān)概念，以及乘方和加減運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求得各式子的值．【考點7有理數(shù)的混合運算】【例7】（2022·黑龍江·蘭西縣崇文實驗學(xué)校期中）計算：(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；(2)3×（-1）-4÷（-2）；(3)23(4)?【答案】(1)-7(2)-1(3)-7(4)1【分析】（1）先去括號再計算加減法，即可求解；（2）先計算乘除，再計算減法，即可求解；（3）直接運用乘法的分配律計算，即可求解；（4）按照有理數(shù)混合運算的順序，先乘方后乘除最后算加減，有括號的先算括號里面的，即可求解．（1）解：（-7）-（-10）+（-8）-（+2）=-7+10-8-2=3-8-2=-5-2=-7（2）解：3×（-1）-4÷（-2）=-3-（-2）=-3+2=-1（3）解：2==?8?9+10=-7（4）解：?=?1?1=?1?=?1+=【點睛】本題考查的是有理數(shù)的運算能力，注意：要正確掌握運算順序，在混合運算中要特別注意運算順序：先三級，后二級，再一級；有括號的先算括號里面的；同級運算按從左到右的順序；并靈活選用運算律進行簡化運算．【變式7-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中）計算，有簡便方法的用簡便方法．(1)?(2)(?2)×31×(?0.5)(3)?9+2×(?4)+(?6)÷(4)(?1)【答案】(1)?16(2)31(3)?5(4)?1【分析】（1）先把?13與（2）先把?2與?0.5相乘，再與31相乘即可；（3）按有理數(shù)運算順序法則計算即可；（4）按有理數(shù)運算順序法則計算即可．（1）解：原式=?（2）原式=(?2)×(?0.5)×31=1×31=31；（3）原式=?9?8+12=?5；（4）原式?1×2+4÷4=?2+1=?1．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，掌握相關(guān)公式與法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心七年級期中）計算:(1)(?3)×(?4)?15÷(2)((3)?(4)?【答案】(1)2(2)29(3)-2(4)-41【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)四則混合運算法則進行計算即可；（2）利用乘法分配律進行計算即可；（3）先化簡絕對值，然后根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運算法則進行計算即可；（4）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運算法則進行計算即可．（1）解：(?3)×(?4)?15÷===（2）解：(===（3）解：?====（4）解：?=====【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)混合運算法則和絕對值意義，是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·安徽·七年級期中）計算:(1)12+56(2)(-81)÷94×49÷【答案】（1）-18;（2）2【分析】（1）根據(jù)乘法分配律，結(jié)合乘法法則進行計算即可；（2）根據(jù)乘除法的混合運算的運算順序和乘除法的法則進行計算即可.【詳解】(1)12=12×（-24）+56×(-24)-=-12-20+14，=-18，(2)(-81)÷94=81×49×4=2.【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的運算，關(guān)鍵是利用有理數(shù)的運算法則和有理數(shù)的運算順序進行計算即可.【考點8新定義中的有理數(shù)運算】【例8】（2022·河南駐馬店·七年級期中）對于有理數(shù)a，b，定義一種新運算”⊙”，規(guī)定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．（1）計算：2⊙（﹣3）的值；（2）當(dāng)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示時，化簡：a⊙b．【答案】（1）6；（2）﹣2b【分析】（1）利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)數(shù)軸得出b＜0＜a，且|a|＜|b|，再計算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：2⊙（﹣3）＝|2＋（﹣3）|＋|2﹣（﹣3）|＝1＋5＝6；（2）從a，b在數(shù)軸上的位置可得a＋b＜0，a﹣b＞0，∴a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|＝﹣（a＋b）＋（a﹣b）＝﹣2b．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·山東·招遠市教學(xué)研究室期中）現(xiàn)定義運算“*”，對于任意有理數(shù)a，b，都有a*b＝a2?ab?b，例如：5*3＝【答案】16【分析】根據(jù)題目定義的運算規(guī)則將式子列出計算即可．【詳解】解：由題意得：2*（－4）=22故答案為：16．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，新定義的理解和運用．理解新定義是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·吉林長春·七年級期中）完成下列各題．（1）定義新運算：對于任意有理數(shù)a、b，都有a⊕b=aa?b+1．計算如下：求?2⊕3（2）對于有理數(shù)a、b，若定義運算：a?b=a?ba+b，求【答案】（1）11

（2）7【分析】（1）根據(jù)新定義的運算方法進行計算即可；（2）在理解新定義運算：a?b=a?b【詳解】（1）(?2)⊕3=(?2)×(?2?3)+1=11（2）(?4)?3=【點睛】考查有理數(shù)的運算，新定義運算的意義，理解新定義的運算方法是正確解答的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·遼寧沈陽·七年級期中）定義一種新運算：a?m＝a×|m|．如5?（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8?4＝﹣8×|4|＝﹣32．（1）計算：65?0＝，﹣43?|﹣2|＝；（2）若n＜0，化簡48?（﹣3n）；（3）若a，m，n為任意有理數(shù)，等式a?（m+n）＝a?m+a?n一定成立嗎？請說理由．【答案】（1）0，-86．（2）-144n；（3）不一定成立；理由見解析【分析】（1）根據(jù)新定義進行運算即可；（2）根據(jù)新定義進行運算即可；（3）根據(jù)新定義分別進行運算驗證即可；【詳解】解：（1）65?0＝65×|0|＝0，﹣43?|﹣2|＝﹣43×2＝﹣86，故答案為：0，-86．（2）48?（﹣3n）＝48×|﹣3n|，∵n＜0，∴48×|﹣3n|＝-144n；即48?（﹣3n）＝-144n；（2）不一定成立；a?（m+n）＝a×|m+n|，a?m+a?n＝a×|m|+a×|n|=a×（|m|+|n|），當(dāng)|m+n|=|m|+|n|時，即m，n為同號或m，n中至少有一個為0時，等式a?（m+n）＝a?m+a?n一定成立；當(dāng)|m+n|≠|(zhì)m|+|n|時，即m，n為異號時，等式a?（m+n）＝a?m+a?n不成立；【點睛】本題考查了新定義運算，解題關(guān)鍵是理解題目給出的新定義運算，熟練進行轉(zhuǎn)化與計算．【考點9科學(xué)計數(shù)法】【例9】（2022·山東濟南·七年級期中）我國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數(shù)字21500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．2.15×107 B．0.215×108 C．【答案】A【分析】絕對值大于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10n，n為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此可以解答．【詳解】解：21500000=2.15×10故選：A．【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)一般形式為a×10n，其中1≤a<10，n是正整數(shù)，正確確定【變式9-1】（2022·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校七年級期中）2020年國慶檔電影《我和我的家鄉(xiāng)》上映13天票房收入達到21.94億元，并連續(xù)10天拿下票房單日冠軍．其中21.94億元用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A．21.94×108元 B．2.194×108元 C．0.2194×10【答案】D【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，【詳解】解：21.94億元用科學(xué)記數(shù)法可表示為2.194×10故選：D．【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)【變式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中學(xué)七年級期中）整數(shù)613550?0用科學(xué)記數(shù)法表示為8.1555×1010，則原數(shù)中“0”的個數(shù)為（A．4 B．6 C．5 D．10【答案】B【分析】寫出原數(shù)，數(shù)出原數(shù)中0的個數(shù)即可．【詳解】8.1555×10故選：B．【點睛】本題主要考查根據(jù)科學(xué)記數(shù)法寫出原數(shù)，熟記科學(xué)記數(shù)法的概念是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·廣東·廣州四十七中七年級期中）過度包裝既浪費資源又污染環(huán)境，據(jù)測算如果全國每年減少十分之一的包裝紙用量那么能減少3.12×106噸二氧化碳的排放量，把3.12×10A．312000 B．3120000 C．31200000 D．312000000【答案】B【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的逆過程，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為：a×10n【詳解】∵n=6，∴小數(shù)點需要向右移動6位故3.12×106=3120000故選B．【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的逆過程，科學(xué)記數(shù)法還可表示較小的數(shù)，注意，此刻小數(shù)點的移動方向與較大數(shù)表示時移動方向剛好相反．【考點10有理數(shù)乘方的應(yīng)用】【例10】（2022·全國·七年級期中）我們平常用的是十進制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十進制的數(shù)要用10個數(shù)碼：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在計算機中用的是二進制，只有兩個數(shù)碼：0，1．如:二進制中111=1×22+1×21+1相當(dāng)于十進制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相當(dāng)于十進制中的27．那么二進制中的1011相當(dāng)于十進制中的(

)A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據(jù)題意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可【詳解】1011=1×23+0×22+1×21+1=11，即二進制中的1011相當(dāng)于十進制中的11.故答案選C.【點睛】考查了有理數(shù)的乘方，結(jié)合計算機教學(xué)，主要考查學(xué)生的理解能力、閱讀能力和計算能力．【變式10-1】（2022·廣東·東莞市光大新亞外國語學(xué)校七年級期中）將一根繩子對折一次后從中間剪一刀，繩子變成3段；對折兩次后從中間剪一刀，繩子變成5段：將這根繩子對折n次后從中間剪一刀，繩子變成_____段．【答案】2n+1【分析】根據(jù)分析可得：將一根繩子對折1次從中間一刀，繩子變成3段；有21+1＝3．將一根繩子對折2次，從中間一刀，繩子變成5段；有22+1＝5．依此類推，將這根繩子對折n次后從中間剪一刀，繩子變成（2n+1）段．【詳解】解：∵對折1次從中間剪一刀，有21+1＝3對折2次，從中間剪一刀，有22+1＝5．∴對折n次，從中間剪一刀全部剪斷后，繩子變成（2n+1）段．故答案為：（2n+1）．【點睛】本題主要考查通過觀察、歸納、抽象得出規(guī)律，正確得出對折次數(shù)與繩子段數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵【變式10-2】（2022·河南鄭州·七年級期中）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細(xì)的面條，如下面草圖所示．這樣捏合到第____次后可拉出64根細(xì)面條.【答案】6.【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義解答．【詳解】解：∵26=64，∴捏合到第6次后可拉出64根細(xì)面條，故答案為6．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，是基礎(chǔ)題，理解乘方的定義是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·全國·七年級期中）一質(zhì)點P從距原點1個單位的A點處向原點方向跳動，第一次跳動到OA的中點A1處，第二次從A1點跳動到OA1的中點A2處，第三次從A2【答案】1【分析】根據(jù)題意分析可得：每次跳動后，到原點O的距離為跳動前的一半．【詳解】解：依題意可知，第n次跳動后，該質(zhì)點到原點O的距離為12∴第5次跳動后，該質(zhì)點到原點O的距離為132故答案為132【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．【考點11有理數(shù)的大小比較】【例11】1．（2022·湖北·老河口市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列有理數(shù)的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則比較即可．【詳解】解：A、，，該選項錯誤；B、，，該選項錯誤；C、，，，該選項錯誤；D、，，，該選項正確．故選：D．【點睛】此題考查了有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而?。咀兪?1-1】（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）已知，那么的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞bC．a(chǎn)＞b＞-a＞-b D．a(chǎn)＞-b＞b＞-a【答案】D【分析】由于b＜0，a+b＞0，則a必為正數(shù)，-b為正數(shù)，并且a＞|b|，則a＞-b，-a＜b，易得a，b，-a，-b的大小關(guān)系．【詳解】解：∵b＜0，a+b＞0，∴a＞0，-b＞0，a＞|b|，∴a＞-b＞0，-a＜0，-a＜b＜0，∴a，b，-a，-b的大小關(guān)系為a＞-b＞b＞-a．故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法法則、有理數(shù)的大小比較：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0；負(fù)數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)反而越小．由加法法則確定a與b的符號及兩數(shù)絕對值的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心七年級期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較a，b，－a，－b四個數(shù)的大小關(guān)系：____________________．【答案】

-b

a

-a

b【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，把a，b，-a，-b，0分別表示在數(shù)軸上，然后根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法即可得到它們之間的大小關(guān)系．【詳解】解：根據(jù)表示a與-a，b與-b的數(shù)關(guān)于原點對稱，把a，b，-a，-b，0分別表示在數(shù)軸上，如圖所示：由數(shù)軸可得，，故答案為：-b，a，-a，b．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，先把數(shù)在數(shù)軸上表示出來，然后根據(jù)數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)要大進行大小比較，用“<”連接是本題的易錯點．【變式11-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）探索研究：（1）比較下列各式的大?。ㄓ谩埃肌薄ⅰ埃尽?、“＝”連接）①|(zhì)2|+|3||2+3|；②|﹣2|+|﹣3||﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3||2﹣3|；④|2|+|0||2+0|．（2）a、b為有理數(shù)，通過比較、分析，歸納|a|+|b|與|a+b|的大小關(guān)系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”連接）當(dāng)a、b同號時，|a|+|b||a+b|；當(dāng)a、b異號時，|a|+|b||a+b|；當(dāng)a＝0或b＝0時，|a|+|b||a+b|；綜上，|a|+|b||a+b|．（3）根據(jù)（2）中得出的結(jié)論，當(dāng)|x|+2015＝|x﹣2015|時，則x的取值范圍是．【答案】（1）①；②；③；④；（2），，，≥；（3）【分析】（1）分別計算①②③④題兩邊，即可比較大??；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)結(jié)合有理數(shù)的加法法則即可判斷大小；（3）將|x|+2015化為|x|+|-2015|結(jié)合（2）中結(jié)論進行分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①|(zhì)2|+|3|=5，|2+3|=5，所以|2|+|3|=2+3|；②|﹣2|+|﹣3|=5，|﹣2﹣3|=5，所以|﹣2|+|﹣3|=|﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3|=5，|2﹣3|=1，所以|2|+|﹣3|＞|2﹣3|；④|2|+|0|=2，|2+0|=2，所以|2|+|0|=|2+0|．故答案為：①，②，③，④；（2）當(dāng)a、b同號時，|a|+|b|=|a+b|；當(dāng)a、b異號時，|a|+|b|＞|a+b|；當(dāng)a＝0或b＝0時，|a|+|b|=|a+b|；綜上，|a|+|b|≥|a+b|．故答案為：，，，≥；（3）因為|x|+2015＝|x|+|﹣2015|=|x﹣2015|，所以由（2）可知x≤0．故答案為：x≤0．【點睛】本題考查了絕對值，有理數(shù)的加法法則，有理數(shù)的大小比較等知識，熟知相關(guān)知識，學(xué)會尋找規(guī)律解題是解題關(guān)鍵．【考點12閱讀材料中的有理數(shù)運算】【例12】（2022·浙江·余姚市高風(fēng)中學(xué)七年級期中）閱讀下列材料：對于排好順序的三個數(shù)：x1，x2，x3稱為數(shù)列x1，x2，x3．將這個數(shù)列如下式進行計算：x1(1)數(shù)列-5，4，-3的“理想數(shù)值”為；(2)將-5，4，-3這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個不同的數(shù)列，這些數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是，取得“理想數(shù)值”的最大值的數(shù)列是；(3)將“-1，7，a（a<0）”這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個不同的數(shù)列，這些數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是10，求【答案】(1)-5(2)9；4，-5，-3(3)-3；7，-3，-1【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，按定義的方法計算，即可求得結(jié)果；（2）將已知數(shù)列按不同順序排列后，再根據(jù)閱讀材料給出的公式進行計算即可求得結(jié)果，（3）根據(jù)閱讀材料的公式進行列表觀察，即可求出結(jié)論（1）解：在對數(shù)列-5，4，-3運算后得到得數(shù)為-5，-5-4＝-9，-5-4-3＝-12∴“理想數(shù)值”為-5故答案為：-5（2）將已知數(shù)列按不同順序排列后，可得如下結(jié)果：x1，x2xxx理想數(shù)值-5，4，-3-5-9-12-5-5，-3，4-5-2224，-3，-547274，-5，-34969-3，-5，4-3266-3，4，-5-3-7-12-3故數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是9，取得“理想數(shù)值”的最大值的數(shù)列是4，-5，-3．故答案為：9；4，-5，-3；（3）由（2）可知，由“兩負(fù)一正”組成的數(shù)列中，取得“理想數(shù)值”的最大值的數(shù)列是正數(shù)、負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)的排列方法，此時，“理想數(shù)值”是x1∴在數(shù)列“-1，7，a（a<0）”的任意排列中，取得“理想數(shù)值”的最大值的排列方法為：7，-1，a或7，a，-1“理想數(shù)值”為7＋1＝8≠10（舍去）或7-a＝10解得：a＝-3此時的數(shù)列為7，-3，-1．【點睛】本題考查了數(shù)字變化類規(guī)律問題和有理數(shù)運算，解決本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料內(nèi)容，能把材料中的定義和所學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來．【變式12-1】（2022·山東威?！て谥校緮?shù)學(xué)閱讀】高斯上小學(xué)時，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常繁瑣，且易出錯．聰明的高斯經(jīng)過探索后，給出了下面的解答過程：解：設(shè)S＝1+2+3+…+100，①則S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右兩邊分別相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝100×1012所以，1+2+3+…+100＝5050．后來人們將高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：(1)計算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝；(3)利用（2）中的結(jié)論，計算：1001+1002+…+2000．【答案】(1)5151(2)n(3)1500500【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以求得所求式子的值；（2）根據(jù)題目中的例子，可以寫出猜想的結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論即可得到結(jié)果．（1）解：設(shè)S＝1+2+3+…+100+101①則S＝101+100+…+3+2+1

②①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102．所以，S＝101×1022所以，1+2+3+…+100+101＝5151；（2）解：解：設(shè)S＝1+2+3+…+n①則S＝n+…+3+2+1

②①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n．猜想：1+2+3+…+n＝nn+1故答案為：nn+1（3）解：1001+1002…+2000=1000×30012【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點，求出所求式子的值．【變式12-2】（2022·上海黃浦·期中）每個假分?jǐn)?shù)可以寫成一個自然數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和（例如4211=3+911，真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)又可以寫成一個自然數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和(11如：對于假分?jǐn)?shù)4211，則421199221所生成的自然數(shù)組為{3，1，4，2}．請根據(jù)上述閱讀材料填空：(1)由假分?jǐn)?shù)277(2)已知某個假分?jǐn)?shù)所生成的自然數(shù)組為{2，4，1，1，3}，那么這個假分?jǐn)?shù)是_______．【答案】(1){3，1，6}(2)71【分析】（1）根據(jù)生成的自然數(shù)組的定義即可求解；（2）根據(jù)生成的自然數(shù)組的定義逆推即可求解．(1)（1）∵277=3+∴277所生成的自然數(shù)組為{3，1，6}故答案為：{3，1，6}；(2)這個假分?jǐn)?shù)為7132∵假分?jǐn)?shù)所生成的自然數(shù)組為{2，4，1，1，3}，∴3=33=31，1+13故答案為：7132【點睛】考查了有理數(shù)的加法，關(guān)鍵是熟練掌握生成的自然數(shù)組的定義．【變式12-3】（2022·重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級期中）閱讀理解材料一：若一個正整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，則這個數(shù)就能被3整除；反之也能夠成立．材料二：兩位數(shù)p和三位數(shù)q，它們各個數(shù)位上的數(shù)字都不為0，將數(shù)p任意一個數(shù)位上的數(shù)字作為一個新的兩位數(shù)的十位數(shù)字，將數(shù)q的任意一個數(shù)位上的數(shù)字作為該新數(shù)的兩位數(shù)的個位數(shù)字，按照這種方式產(chǎn)生的所有新的兩位數(shù)的和記為Tp,q．例如：T12,123=11+12+13+21+22+23=102(1)計算：T15,345(2)試說明：當(dāng)q能夠被3整除時Tp,q【答案】(1)204；(2)見詳解．【分析】（1）根據(jù)閱讀理解列出所有的兩位數(shù)，求和即可；（2）設(shè)p=a×10+b=10a+b，q=100c+10d+e，根據(jù)q能夠被3整除，得出c+d+e能被3整除設(shè)c+d+e=3m，根據(jù)閱讀理解Tp,q=10a+c+10a+d+10a+e+10b+c+10b+d+10b+e=30(a+b)+6m(1)解：T15,345故答案為204；(2)解：設(shè)p=10a+b，q=100c+10d+e，∵q能夠被3整除，∴c+d+e能被3整除，設(shè)c+d+e=3m（m為整數(shù)），∴Tp,q=10a+c+10a+d+10a+e+10b+c+10b+d+10b+e=30a+30b+2(c+d+e)，=30(a+b)+6m，∵30是6的倍數(shù)，6m是6的倍數(shù)，∴Tp,q【點睛】本題考查閱讀理解，兩位數(shù)與三位數(shù)的表示，列代數(shù)式，被3，6整除特征，仔細(xì)閱讀，讀懂含義，掌握特征是解題關(guān)鍵．【考點13有理數(shù)的實際應(yīng)用】【例13】（2022·湖北黃石·七年級期末）地球北緯30°線是一條神秘而又奇特的緯線，我國有許多資源豐富的名山都分布在這條緯線附近．峨眉山與黃山植物種類的比是11:5，已知峨眉山有植物3300種，黃山的植物種類是廬山的58【答案】2400種【分析】已知峨眉山有植物3300種，先根據(jù)峨眉山與黃山植物種類的比值計算出黃山植物種類數(shù)，再根據(jù)黃山的植物種類是廬山的58【詳解】解：3300×5=1500×8=2400（種）

答：廬山有植物2400種．【點睛】本題考查了比值的實際應(yīng)用，認(rèn)真審題并熟練掌握比值的運用是解題關(guān)鍵．【變式13-1】（2022·黑龍江省新華農(nóng)場中學(xué)期末）下面是學(xué)校到少年宮的行走路線圖(1)如果小明從公園到學(xué)校，請敘述一下他的行走路線．(2)如果他每分鐘走60米，那么他從公園走到學(xué)校要走幾分鐘？【答案】(1)見解析(2)從公園走到學(xué)校要走17分鐘．【分析】（1）學(xué)校所在的位置依次為從公園出發(fā)，先向東偏北20°的方向到電視臺，再向北到書店，再向東偏北25°的方向到學(xué)校．根據(jù)圖上方向判斷即可；（2）先算出小明公園到學(xué)校，一共走的路程，再根據(jù)路程÷速度=時間，算出時間即可．（1）解：學(xué)校所在的位置依次為從公園出發(fā)，先向東偏北20°的方向到電視臺，再由電視臺向北到書店，再由書店向東偏北25°的方向到學(xué)校；（2）解：先求小明公園到學(xué)校，一共走的路程：450+260+310=1020（米），需要的時間：1020÷60=17（分鐘）；答：從公園走到學(xué)校要走17分鐘．【點睛】此題主要考查了用具體方向描述路線圖，要考慮角度，再根據(jù)題里條件及路程、速度、時間之間關(guān)系解決問題．【變式13-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校期中）當(dāng)溫度每上升2℃時，某種金屬絲伸長0.003mm．反之，當(dāng)溫度每下降2℃時，金屬絲縮短0.002mm．把17℃的這種金屬絲加熱到63℃，再使它冷卻降溫到5℃，最后的長度和原來相比是伸長了還是縮短了？伸長了或縮短了多少？【答案】最后的長度和原來相比是伸長了；伸長了0.011mm【分析】首先用把17℃的這種金屬絲加熱到63℃時的溫度差除以2℃，再乘0.002，求出這種金屬絲加熱到63℃后伸長了多少；然后用它減去它降溫到5℃又縮短的長度，求出最后的長度比原來伸長了多少即可．【詳解】解：63?17＝23×0.003?29×0.002＝0.011（mm）答：最后的長度比原來伸長了，且比原來伸長了0.011mm．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．【變式13-3】（2022·湖北黃石·七年級期末）一個高為8cm，容積為50mL的圓柱形容器里裝滿了水，現(xiàn)把高【答案】25【分析】根據(jù)題意得出：因為浸入的圓柱體是垂直放入的，所以浸入的圓柱體的高度是8厘米，所以浸入部分的體積等于下降的水的體積，下降的水的體積等于高為8-6=2厘米的圓柱容器的體積；先用圓柱形容器的容積除以8求出圓柱形容器的底面積，再利用圓柱的體積公式計算出浸入的圓柱體的體積，因為浸入的8厘米是16厘米的一半，所以體積就是浸入的部分的體積的2倍，再乘2即可解答．【詳解】解：50÷8=6.25×2×2=25cm答：圓柱的體積是25m【點睛】解決本題的關(guān)鍵是明確浸入水中的圓柱體的體積等于下降的水的體積，而下降的水的高度是2厘米，不是6厘米．【考點14正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用】【例14】（陜西省西安市雁塔區(qū)師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）為全力迎接全國第十四屆運動會，西安市將繼續(xù)加快交通高質(zhì)量發(fā)展，不斷增強市民獲得感和幸福感．某檢修小組從O地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中七次行駛記錄如下，（單位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4＋7﹣9＋8＋6﹣5﹣1（1）求收工時距O地多遠？（2）在第幾次記錄時距O地最遠？（3）若每千米耗油0.2升，問共耗油多少升？【答案】（1）收工時檢修小組在O地東面2千米處；（2）距O地最遠的是第5次；（3）從出發(fā)到收工共耗油8升．【分析】（1）首先把題目的已知數(shù)據(jù)相加，然后根據(jù)結(jié)果的正負(fù)即可確定相距O多少千米；（2）分別寫出各次記錄時距離O地的距離，然后判斷即可；（3）首先把所給的數(shù)據(jù)的絕對值相加，然后乘以0.2升，即可求解．【詳解】解：（1）?4＋7＋（?9）＋8＋6＋（?5）＋（?1）＝2（千米）．答：收工時檢修小組在O地東面2千米處；（2）第一次距O地|?4|＝4千米；第二次：|?4＋7|＝3（千米）；第三次：|3?9|＝|?6|＝6（千米）；第四次：|?6＋8|＝2（千米）；第五次：|2＋6|＝8（千米）；第六次：|8?5|＝3（千米）；第七次：|3?1|＝2（千米）．所以距O地最遠的是第5次；（3）從出發(fā)到收工汽車行駛的總路程為：|?4|＋|＋7|＋|?9|＋|＋8|＋|＋6|＋|?5|＋|?1|＝40（千米）；從出發(fā)到收工共耗油：40×0.2＝8（升）．答：從出發(fā)到收工共耗油8升．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法、正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義及絕對值的意義，關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法法則及正負(fù)數(shù)的意義．【變式14-1】（黑龍江省哈爾濱市德強初中2022-2023學(xué)年下學(xué)期雙減下的數(shù)學(xué)匯報試卷六年級（五四制））某一出租車一天下午以博物館為出發(fā)地在東西方向營運，向東為正，向西為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8(1)在第______次記錄時距博物館最遠．(2)將最后一名乘客送到目的地，出租車離博物館出發(fā)點多遠？在博物館的什么方向？(3)若每千米的價格為1.9元，司機一個下午的營業(yè)額是多少？【答案】(1)九(2)出租車離博物館出發(fā)點2km，在博物館的西邊(3)116.4元【分析】（1）分步求出記錄的數(shù)字的結(jié)果，比較絕對值的大小即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得最后一次記錄的距離，根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義即可求解；（3）求出記錄數(shù)字的絕對值的和，根據(jù)絕對值都大于或等于3，再減去3×10，再用差乘以1.4，把它們的積加上10個8元即可求解．（1）第一次：+9第二次：+9-3=6第三次：6-5=1，第四次：1+4=5，第五次：5-8=-3，第六次：-3+6=3，第七次：3-3=0，第八次：0-6=-6，第九次：-6-4=-10，第十次：-10+8=-2．所以第九次次記錄時距博物館最遠．（2）根據(jù)（1）可知第十次-10+8=-2．出租車離博物館出發(fā)點2km，在博物館的西邊（3）（|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-3|+|-6|+|-4|+|+8|-3×10）×1.4+8×10=36.4+80=116.4（元）．故司機一個下午的營業(yè)額是116.4元．【點睛】本題考查了有理數(shù)加法的應(yīng)用，有理數(shù)乘法的應(yīng)用，正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，理解題意列出算式是解題的關(guān)鍵．【變式14-2】（山東省煙臺市牟平區(qū)2022-2023學(xué)年六年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某小型體育用品加工廠計劃一天生產(chǎn)300個足球，但由于各種原因，實際每天生產(chǎn)足球個數(shù)與計劃每天生產(chǎn)足球個數(shù)相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（增產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)）：星期一二三四五六七增減+3?5?2+9?7+12?3(1)求該廠本周實際生產(chǎn)足球的個數(shù)；(2)求產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)足球的個數(shù)；(3)該廠實行每日計件工資制，按計劃完成每生產(chǎn)一個足球可得6元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每個另獎2元，若未能完成任務(wù)，則少生產(chǎn)一個扣2.5元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【答案】(1)2107個(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)足球19個(3)該廠工人這一周的工資總額是12647.5元．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；（2）根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案；（3）這一周的工資總額是基本工資加獎金，可得答案．（1）解：(3?5?2+9?7+12?3)+300×7=2107（個）．（2）解：產(chǎn)量最多的一天生產(chǎn)足球300+12=312（個），產(chǎn)量最少的一天生產(chǎn)足球300?7=293（個），故產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)足球的個數(shù)為：312?293=19（個）；（3）解：2107×6+(3+9+12)×2?(5+2+7+3)×2.5=12647.5（元）．該廠工人這一周的工資總額是12647.5元．【點睛】此題主要考查正負(fù)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題，掌握正負(fù)數(shù)的意義．【變式14-3】（廣西桂林市灌陽縣2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，某快遞員要從公司點A出發(fā)，前往B、C、D等地派發(fā)包裹，規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負(fù)，并且行走方向順序為先左右再上下．如果從A到B記為：A→B（＋1，＋4），從B到A記為：B→A（－1，－4），其中第一個數(shù)表示左右方向，第二個數(shù)表示上下方向，請根據(jù)圖完成如下問題：（1）A→C（，），B→D（，），C→D（＋1，）；（2）若快遞員的行走路線為A→B→C→D，請計算該快遞員走過的路程；（3）若快遞員從A處去某P處的行走路線依次為（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），請在圖中標(biāo)出P的位置．【答案】（1）A→C+3,+4【分析】（1）參考從A到B的記作方法即可得；（2）先分別求出A→B、B→C、C→D，再將相應(yīng)數(shù)字的絕對值求和即可得；（3）根據(jù)題意中的規(guī)定方法和記作方法逐個路線分析即可得．【詳解】（1）A→C：先向右走3單位長度，再向上走4單位長度，則A→C+3,+4B→D：先向右走3單位長度，再向下走2單位長度，則B→D+3,?2C→D：先向右走1單位長度，再向下走2單位長度，則C→D+1,?2（2）因為A→B+1,+4所以快遞員按A→B→C→D所行走的路程為+1+=1+4+2+0+1+2，=10；（3）+2,+2快遞員到達圖中的E處，+1,?1快遞員到達圖中的F處，?2,+3快遞員到達圖中的B處，?1,?2快遞員到達圖中的P處，則P處的位置如圖所示：【點睛】本題考查了正負(fù)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用、絕對值運算，讀懂題干中的規(guī)定和記作方法是解題關(guān)鍵．【考點15有理數(shù)中的規(guī)律探究】【例15】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)七年級期中）觀察下面算式的演算過程：1+11×31+13×5……（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：1+15×7=______________．1+12n×(2n+2)=（2）根據(jù)規(guī)律計算：(1+1【答案】（1）625×7，726×8，【分析】（1）根據(jù)已知算式的演算過程即可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，先將各括號進行轉(zhuǎn)化，再計算有理數(shù)的乘法即可得．【詳解】（1）1+11+11+1故答案為：625×7，72（2）原式=2=2=2=2=200【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方、乘法、加法的規(guī)律型問題，根據(jù)演算過程，正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式15-1】（2022·湖南岳陽·七年級期中）請觀察下列算式，找出規(guī)律并填空．，，，．則第10個算式是________，第個算式是________．根據(jù)以上規(guī)律解讀以下兩題：（1）求的值；（2）若有理數(shù)，滿足，試求：的值．【答案】，；（1）；（2）【分析】歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出第10個等式及第n個等式即可；（1）原式變形后，計算即可得到結(jié)果；（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：第10個算式是，第n個算式是；（1）===；（2）∵，∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，∴====【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式15-2】（2022·湖南長沙·七年級期中）由乘方的定義可知：an=a×a×a×???×a（n個222(1)52(2)m2(3)計算：(?2)2021【答案】(1)(5×6)2(2)(mn)2(3)?【分析】（1）根據(jù)乘方的定義求解即可；（2）根據(jù)乘方的定義求解即可；（3）首先根據(jù)乘方的定義將（﹣12）2022，化成（﹣12）2021×（﹣(1)解：（1）52×62＝(5×5)×(6×6)=25×36=900=(5×6)2

故答案為：(5×6)2(2)解：m2×n2＝(mn)2，故答案為：(mn)2；(3)解：（﹣2）2021×（﹣12）＝（﹣2）2021×（﹣12）2021×（﹣12＝(?2)×(?1＝1＝?12【點睛】本題考查乘方的定義，解答本題的關(guān)鍵熟知乘方的定義．【變式15-3】（2022·寧夏·銀川英才學(xué)校七年級期中）點（為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點在原點的左邊，且；點在點的右邊，且；點在點的左邊，且；點在點的右邊，且；…，依照上述規(guī)律，點所表示的數(shù)分別為

（

）A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009【答案】B【分析】先找到特殊點，根據(jù)特殊點的下標(biāo)與數(shù)值的關(guān)系找到規(guī)律，數(shù)較大時，利用規(guī)律解答．【詳解】解:根據(jù)題意分析可得:點A?,

A?，A?，

..

An表示的數(shù)為-1，1，-2，2,-3，3,...依照上述規(guī)律，可得出結(jié)論:點的下標(biāo)為奇數(shù)時，點在原點的左側(cè)，且為下標(biāo)加1除以2的相反數(shù);點的下標(biāo)為偶數(shù)時，點在原點的右側(cè)且表示的數(shù)為點的下標(biāo)數(shù)除以2;即:當(dāng)n為奇數(shù)時，An=當(dāng)n為偶數(shù)時，An=所以點A2018表示的數(shù)為:

2018÷2=

1009,A2019表示的數(shù)為:-(2019+1)÷2=-1010故選:

B【點睛】這是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)。對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化,是按照什么規(guī)律變化的,然后找到規(guī)律．【考點16數(shù)軸與絕對值、動點的綜合探究】【例16】（2022·湖南·永州市德雅學(xué)校七年級階段練習(xí)）閱讀下面材料：如圖，點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A，B兩點之間的距離可以表示為a?b．根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3與﹣2的兩點之間的距離是______．(2)數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對應(yīng)兩點之間的距離用絕對值符號可以表示為______．(3)代數(shù)式x+8可以表示數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)______所對應(yīng)的兩點之間的距離；若x+8=5，則x(4)求代數(shù)式x+1010+x+505+【答案】(1)5(2)x?7(3)﹣8，x=?3或x=?13(4)2020，﹣505【分析】（1）根據(jù)題目所給兩點距離公式代入數(shù)值計算即可；（2）根據(jù)題目所給兩點距離公式列式即可；（3）由絕對值的定義求解即可；（4）設(shè)點A、B、C分別表示-1010，-505，1010，點D表示的數(shù)為x，則x+1010+（1）解：3?(?2)=5故答案為：5；（2）根據(jù)材料可知，有理數(shù)x與有理數(shù)7所對應(yīng)兩點之間的距離可表示為x?7．故答案為：x?7；（3）根據(jù)A，B兩點之間的距離可以表示為a?b，則x+8可以表示數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)﹣8所對應(yīng)的兩點之間的距離，若x+8=5x+8=5或x+8=?5，解得x=?3或x=?13．故答案為：﹣8，x=?3或x=?13；（4）設(shè)點A、B、C分別表示-1010，-505，1010，點D表示的數(shù)為x，∴x+1010+如圖1所示，當(dāng)點D在A點左側(cè)時，AD+BD+CD=3AD+AC+AB>AC；圖1如圖2所示，當(dāng)點在AB之間時（包括A，不包括B），AD+BD+CD=BD+AC>AC；圖2如圖3所示，當(dāng)點D在BC之間時（包括B且包括C）AD+BD+CD=BD+AC≥AC（點B、D重合時，AD+BD+CD=AC）圖3如圖4所示，當(dāng)點D在C點右側(cè)時，AD+BD+CD=AC+BC+3CD>AC，圖4綜上所述，當(dāng)點D與點B重合時，即x=?505，AD+BD+CD有最小值，此時?505+1010+故答案為：2020，﹣505．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點的距離以及絕對值的幾何意義，熟練掌握數(shù)軸上兩點的距離公式和絕對值的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．【變式16-1】（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校期中）如圖，數(shù)軸上點O為原點，點A所表示的數(shù)為a，點B所表示的數(shù)為b，且a、b滿足|a+4|+(b?2)(1)請直接寫出點A所表示的數(shù)：______，點B所表示的數(shù)：______．(2)如圖1，點P從A出發(fā)以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，點P運動的同時，點Q從B出發(fā)以1個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，在運動過程中，數(shù)軸上動點M到點P、原點O的距離始終相等，設(shè)點Q到點M之間的距離為d，求d的值．(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)點P、Q之間的距離等于14d時，N從點C出發(fā)（點C所表示的數(shù)為14），以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸向左運動，此時P、Q仍按原速度、原方向運動，當(dāng)N與P、Q都未相遇之前，是否存在點M，使點N到點P、Q距離之和等于點M到原點O距離，若存在，求點【答案】(1)點A表示的數(shù)是?4，點B表示的數(shù)是2(2)4(3)存在，92或【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的非負(fù)性性質(zhì),得到a=4=0，b-2=0計算即可．（2）根據(jù)題意，P表示的數(shù)是2t-4，Q表示的數(shù)是t+2，M表示的數(shù)12（3）運用分類思想計算即可．（1）∵|a+4|+(b?2)∴a=4=0，b-2=0，∴點A表示的數(shù)是?4，點B表示的數(shù)是2，故答案為：-4，2．（2）設(shè)點P與點Q的運動時間為t秒，由題知：P點所表示的數(shù)：2t?4，Q點所表示的數(shù)：2+t，M點所表示的數(shù)：(1①當(dāng)點M在負(fù)半軸上時，∴OM=?(t?2)=2?t，OQ＝∴d=MQ=OM+OQ=2?t+2+t=4，②當(dāng)點M在正半軸上，點Q的左側(cè)時，∴OM=t?2，OQ＝∴d=MQ=OQ?OM=2+t?(t?2)=4；③當(dāng)點M在正半軸上，點Q的右側(cè)時，∴OM=t?2，OQ＝∴d=MQ=OM?OQ=t?2?(2)=?4（舍），綜上所述，d的值為4．（3）∵PQ=14d∴PQ=1（1）當(dāng)點P在點Q的左側(cè)時，∴OP=2t?4，OQ=2+t，OM=t?2，∴PQ=OQ?OP=2+t?(2t?4)=1，∴t=5，∴N點表示的數(shù)為：14?2(t?5)=24?2t∴ON=24?2t，∴NP=ON?OP=24?2t?(2t?4)=28?4t，NQ=ON?OQ=24?2t?(2+t)=22?3t，∵NP+NQ=OM，∴28?4t+22?3t=t?2，∴t=13∴OM=t?2=9∴M所表示的數(shù)為92（2）當(dāng)點P在點Q的右側(cè)時，∴OP=2t?4