北師大版2019選擇性必修第一冊圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（Word）

專題08圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為圓的半徑．2．確定圓的要素是圓心和半徑，如圖所示．3．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．當(dāng)a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓．【方法技巧】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三個參數(shù)，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要確定這三個參數(shù)，其中圓心(a，b)是圓的定位條件，半徑r是圓的定量條件．要點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點(diǎn)為M(x0，y0)，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓上|MA|＝r?點(diǎn)M在圓A上點(diǎn)M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|＜r?點(diǎn)M在圓A內(nèi)點(diǎn)M(x0，y0)在圓內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2點(diǎn)在圓外|MA|＞r?點(diǎn)M在圓A外點(diǎn)M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2【基礎(chǔ)自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(a，b，r∈R)表示一個圓．()(2)弦的垂直平分線必過圓心．()(3)圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)一定是圓心．()(4)圓心與切點(diǎn)的連線長是半徑長．()【答案】（1）×（2）√（3）√（4）√2．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3)，eq\r(2)D．(2，－3)，eq\r(2)【答案】D【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為(2，－3)，半徑為eq\r(2).故選D.3．以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝eq\r(2)【答案】B【解析】以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝4.故選B4．點(diǎn)(1,1)在圓(x＋2)2＋y2＝m上，則圓的方程是________．【答案】(x＋2)2＋y2＝10.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圓的方程為(x＋2)2＋y2＝10.題型一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝25【答案】(1)D【解析】(1)∵AB為直徑，∴AB的中點(diǎn)(1,2)為圓心，半徑為eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(?5＋3?2＋?5＋1?2)＝5，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.故選D.(2)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(－5，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．【答案】(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25【解析】(2)∵圓心坐標(biāo)為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(3)過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________.【答案】(3)(x－1)2＋(y－1)＝4【解析】(3)方法一設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?1－a?2＋?－1－b?2＝r2，,?－1－a?2＋?1－b?2＝r2，,a＋b－2＝0，))解此方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法二設(shè)點(diǎn)C為圓心，∵點(diǎn)C在直線x＋y－2＝0上，∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,2－a)．又∵該圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴|CA|＝|CB|.∴eq\r(?a－1?2＋?2－a＋1?2)＝eq\r(?a＋1?2＋?2－a－1?2)，解得a＝1.∴圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法三由已知可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，kAB＝eq\f(1－?－1?,－1－1)＝－1，∴弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，∴AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即圓心為(1,1)，圓的半徑為eq\r(?1－1?2＋[1－?－1?]2)＝2，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.【方法技巧】(1)直接法根據(jù)已知條件，直接求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后寫出圓的方程．(2)待定系數(shù)法①根據(jù)題意，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；②根據(jù)條件，列關(guān)于a，b，r的方程組；③解出a，b，r，代入標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)常見的幾何條件與可以轉(zhuǎn)化成的方程①圓心在定直線上轉(zhuǎn)化為圓心坐標(biāo)滿足直線方程．②圓過定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，或圓心到定點(diǎn)的距離等于半徑．③圓與定直線相切轉(zhuǎn)化為圓心到定直線的距離等于圓的半徑，或過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心．④弦的垂直平分線經(jīng)過圓心．【變式訓(xùn)練】(1)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(diǎn)(3，－4)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．【答案】(1)x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25【解析】(1)設(shè)圓心(0，b)，則eq\r(?3－0?2＋?－4－b?2)＝5，得b＝0或－8，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)與直線x－6y－10＝0相切于點(diǎn)(4，－1)且經(jīng)過點(diǎn)(9,6)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．【答案】(2)(x－3)2＋(y－5)2＝37【解析】(2)因?yàn)閳A和直線x－6y－10＝0相切于點(diǎn)(4，－1)，所以過點(diǎn)(4，－1)的直徑所在直線的斜率為－eq\f(1,\f(1,6))＝－6.其方程為y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.又因?yàn)閳A心在以(4，－1)，(9,6)兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線y－eq\f(5,2)＝－eq\f(5,7)(x－eq\f(13,2))，即5x＋7y－50＝0上，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－6x＋23，,5x＋7y－50＝0，))解得圓心坐標(biāo)為(3,5)，所以半徑為eq\r(?9－3?2＋?6－5?2)＝eq\r(37)，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－5)2＝37.(3)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．【答案】(3)(x－2)2＋y2＝10【解析】(3)線段AB的垂直平分線為y－2＝2(x－3)，令y＝0，則x＝2，∴圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(?5－2?2＋?1－0?2)＝eq\r(10)，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝10.題型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用1．點(diǎn)P(m,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．在圓外B．在圓內(nèi)C．在圓上D．不確定【答案】A【解析】∵m2＋25＞24，∴點(diǎn)P在圓外．故選A.2．已知點(diǎn)A(1,2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】[－eq\f(5,2)，0)∪(0，＋∞)【解析】由題意，點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－eq\f(5,2).∵a≠0，∴a的取值范圍為[－eq\f(5,2)，0)∪(0，＋∞)．【方法技巧】1．判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法(1)只需計算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；(2)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷．2．靈活運(yùn)用若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍．題型三與圓有關(guān)的最值問題【例2】已知x和y滿足(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)，求x2＋y2的最值．【分析】首先觀察x，y滿足的條件，其次觀察所求式子的幾何意義，求出其最值.【解析】由題意知x2＋y2表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離取最大值和最小值時，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值．原點(diǎn)O(0,0)到圓心C(－1,0)的距離d＝1，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).因此x2＋y2的最大值和最小值分別為eq\f(9,4)和eq\f(1,4).【變式探究1】本例條件不變，求eq\f(y,x)的取值范圍．【解析】設(shè)k＝eq\f(y,x)，變形為k＝eq\f(y－0,x－0)，此式表示圓上一點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(0,0)連線的斜率，由k＝eq\f(y,x)，可得y＝kx，此直線與圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離d≤r，即eq\f(|－k|,\r(k2＋1))≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).即eq\f(y,x)的取值范圍是[－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)].【變式探究2】本例條件不變，求x+y的取值范圍．【解析】令y＋x＝b并將其變形為y＝－x＋b，問題轉(zhuǎn)化為斜率為－1的直線在經(jīng)過圓上的點(diǎn)時在y軸上的截距的最值．當(dāng)直線和圓相切時在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時有eq\f(|－1－b|,\r(2))＝eq\f(1,2)，解得b＝±eq\f(\r(2),2)－1，即最大值為eq\f(\r(2),2)－1，最小值為－eq\f(\r(2),2)－1.【方法技巧】與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解法1．形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．2．形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)截距的最值問題．3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問題．【變式訓(xùn)練】1.已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(0，－1)，B(0,1)，設(shè)P是圓C上的動點(diǎn)，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．【解析】設(shè)P(x，y)，則d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值為2×16＋2＝34.最大值為2×36＋2＝74.【易錯辨析】利用函數(shù)的思想處理問題時忽略了函數(shù)的定義域【例3】已知點(diǎn)A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值為________．【答案】88【解析】設(shè)P(a，b)則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(a＋2)2＋(b＋2)2＋(a＋2)2＋(b－6)2＋(a－4)2＋(b＋2)2＝3a2＋3b2－4b＋68.∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動∴a2＋b2＝4∴a2＝4－b2≥0，∴－2≤b≤2∴3a2＋3b2－4b＋68＝12－3b2＋3b2－4b＋68＝－4b＋80，因?yàn)閥＝－4b＋80是[－2,2]上的減函數(shù)．所以函數(shù)的最大值為88.∴|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值為88.【易錯警示】易錯原因糾錯心得因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以在利用函數(shù)的思想處理時，容易忽略求b的范圍出錯.本題自變量b的范圍，可以像解析中的進(jìn)行推導(dǎo)，也可以直接觀察圓的圖象，發(fā)現(xiàn)b的取值范圍是[－2,2].1．（2020·上海市七寶中學(xué)高二月考）點(diǎn)P(a,10)與圓(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．不確定【答案】C【解析】∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴點(diǎn)P在圓外．2．（2020·浙江省寧波市鄞州中學(xué)高二期中）方程|x|－1＝eq\r(1－?y－1?2)所表示的曲線是()A．一個圓 B．兩個圓C．半個圓 D．兩個半圓【答案】D【解析】由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?|x|－1?2＋?y－1?2＝1，,|x|－1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－1?2＋?y－1?2＝1，,x≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x＋1?2＋?y－1?2＝1，,x≤－1，))故原方程表示兩個半圓．3．（2020·上海華師大二附中高二月考）若一圓的圓心坐標(biāo)為(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52【答案】A【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0，－6)，可得直徑長為2eq\r(13)，則半徑長為eq\r(13)，所以所求圓的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.4．（2020·四川省南充高級中學(xué)高二月考）若直線y＝ax＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由題意，知(－a，－b)為圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心．由直線y＝ax＋b經(jīng)過第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圓心位于第四象限．5．（2020·江蘇南通一中高二期中）設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．6 B．4C．3 D．2【答案】B【解析】畫出已知圓，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．如圖，圓心M(3，－1)與定直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6.因?yàn)閳A的半徑為2，所以所求最短距離為6－2＝4.6．（2020·遼寧本溪高中高二期中）圓心為直線x－y＋2＝0與直線2x＋y－8＝0的交點(diǎn)，且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________________．【答案】(x－2)2＋(y－4)2＝20【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－8＝0，))可得x＝2，y＝4，即圓心為(2,4)，從而r＝eq\r(?2－0?2＋?4－0?2)＝2eq\r(5)，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝20.7．（（2020?濉溪縣期末）已知圓（x﹣1）2+y2＝4上一動點(diǎn)Q，則點(diǎn)P（﹣2，﹣3）到點(diǎn)Q的距離的最小值為．【答案】﹣2【解析】由題意，圓心與P的距離為＝3，∴點(diǎn)P（﹣2，﹣3）到點(diǎn)Q的距離的最小值為﹣28．（2020·上海市楊浦高級中學(xué)高二月考）若圓C與圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1關(guān)于原點(diǎn)對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝1【解析】圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圓心為M(－2,1)，半徑r＝1，則點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為C(2，－1)，圓C的半徑也為1，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：9．（2020·安徽馬鞍山二中高二開學(xué)考試）已知圓心在點(diǎn)C(－3，－4)，且經(jīng)過原點(diǎn)，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圓的位置關(guān)系．【解析】因?yàn)閳A心是C(－3，－4)，且經(jīng)過原點(diǎn)，所以圓的半徑r＝eq\r(?－3－0?2＋?－4－0?2)＝5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.因?yàn)閨P1C|＝eq\r(?－1＋3?2＋?0＋4?2)＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)<5，所以P1(－1,0)在圓內(nèi)；因?yàn)閨P2C|＝eq\r(?1＋3?2＋?－1＋4?2)＝5，所以P2(1，－1)在圓上；因?yàn)閨P3C|＝eq\r(?3＋3?2＋?－4＋4?2)＝6>5，所以P3(3，－4)在圓外．10．（2020·甘肅武威十八中高二課時練習(xí)）已知圓過點(diǎn)A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周長最小的圓的方程；(2)求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程．【解析】(1)當(dāng)線段AB為圓的直徑時，過點(diǎn)A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段AB的中點(diǎn)(0,1)，半徑r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10).則所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.(2)法一：直線AB的斜率k＝eq\f(4－?－2?,－1－1)＝－3，即線段AB的垂直平分線的方程是y－1＝eq\f(1,3)x，即x－3y＋3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋3＝0，,2x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))即圓心的坐標(biāo)是C(3,2)．∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?1－a?2＋?－2－b?2＝r2，,?－1－a?2＋?4－b?2＝r2，,2a－b－4＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.,))∴所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝20.11．（2020·平?jīng)鍪星f浪縣第一中學(xué)高二期中）阿波羅尼斯是亞歷山大時期的著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為(，且)，則點(diǎn)的軌跡就是圓，事實(shí)上，互換該定理中的部分題設(shè)和結(jié)論，命題依然成立.已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓：上的點(diǎn)，若存在軸上的定點(diǎn)和常數(shù)，對滿足已知條件的點(diǎn)均有，則（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，由于圓上的任意一點(diǎn)均有，所以A,