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第十二講:斜率問題(四)【學習目標】基礎(chǔ)目標:掌握橢圓,雙曲線,拋物線的簡單性質(zhì),直線斜率的表示和計算過程;應(yīng)用目標:掌握橢圓,雙曲線,拋物線中,直線與其對應(yīng)的關(guān)系,傾斜角互補,斜率互為相反數(shù);拓展目標:能夠熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合,觀察線段長度,位置關(guān)系等,進行傾斜角和斜率的轉(zhuǎn)化.素養(yǎng)目標:通過數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法,培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力,提升學生的數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識】1、傾斜角互補直線和的傾斜角分別為和,當時,則;2、角度相等當角度的公共邊為軸、軸或與之平行的線段時,則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系,即傾斜角互補,斜率相加為零;3、線段相等等腰三角形的底邊為軸、軸或與之平行的線段時,則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系,即傾斜角互補,斜率相加為零;4、角平分線當角平分線為軸、軸或與之平行的線段時,則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系,即傾斜角互補,斜率相加為零;【考點剖析】考點一:傾斜角互補例1.已知橢圓()離心率等于,且橢圓C經(jīng)過點.(1)求橢圓C的方程;(2)過點P作傾斜角分別為的兩條直線PA,PB,設(shè)PA,PB與橢圓C異于點P的交點分別為A,B,若,試問直線AB的斜率是否為定值?如果為定值,請求出此定值;如果不是定值,請說明理由.變式訓(xùn)練1:已知橢圓()的離心率為,以原點為圓心,以的短半軸長為半徑的圓被直線截得的弦長為2.(1)求橢圓的方程;(2)點的坐標為,直線(不過原點也不過點)交于兩點,且直線的傾斜角互補,若點是的中點,求直線的斜率.
變式訓(xùn)練2:已知圓:,圓:,動圓與圓和圓均內(nèi)切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程(2)點()為軌跡上的點,過點作兩條直線與軌跡交于兩點,直線,的斜率互為相反數(shù),則直線的斜率是否為定值?若是,求出定值:若不是,請說明理由.變式訓(xùn)練3:已知拋物線C1:與橢圓C2:()有公共的焦點,C2的左?右焦點分別為F1,F(xiàn)2,該橢圓的離心率為.(1)求橢圓C2的方程;(2)如圖,若直線l與x軸,橢圓C2順次交于P,Q,R(P點在橢圓左頂點的左側(cè)),且∠PF1Q與∠PF1R互為補角,求△F1QR面積S的最大值.
考點二:角度問題(傾斜角互補)例1.已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.(1)求橢圓的方程;(2)已知點,()在橢圓上,點,是橢圓上不同于,的兩個動點,且滿足:,試問:直線的斜率是否為定值?請說明理由.變式訓(xùn)練1:已知橢圓:,為上焦點,左頂點到的距離為,且離心率為,設(shè)為坐標原點,點的坐標為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若過的直線與交于,兩點,證明:.
變式訓(xùn)練2:在平面直角坐標系中,動點到點的距離等于點到直線的距離.(1)求動點的軌跡方程;(2)記動點的軌跡為曲線,過點的直線與曲線交于兩點,在軸上是否存在一點,使若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.變式訓(xùn)練3:在平面直角坐標系中,已知圓,點在圓上,過點作軸的垂線,垂足為是的中點,當在圓上運動時形成的軌跡為.(1)求的軌跡方程;(2)若點,試問在軸上是否存在點,使得過點的動直線交于兩點時,恒有?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
考點三:長度相等(傾斜角互補)例1.已知橢圓的離心率為,經(jīng)過點.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點A?B在橢圓C上,直線?分別與y軸交于點M?N,,試問直線的斜率是否為定值?如果是定值,請求出此定值;如果不是定值,請說明理由.變式訓(xùn)練1:已知橢圓的左、右焦點分別是,,離心率為,過且垂直于已知橢圓:的左?右焦點分別為?,焦距為2,點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若點是橢圓上一點,為軸上一點,,設(shè)直線與橢圓交于,兩點,若直線,關(guān)于直線對稱,求直線的斜率.
變式訓(xùn)練2:已知橢圓C:的短軸長為2,直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,點在橢圓C上,且直線PA與PB關(guān)于直線對稱.(1)求橢圓C的標準方程;(2)求證:直線AB的斜率為定值.變式訓(xùn)練3:已知點,直線l的方程為,雙曲線的右焦點為,雙曲線的兩條漸近線與直線l圍成的三角形的面積為.(1)求雙曲線的方程;(2)直線過點與雙曲線相交于A,B兩點,直線FA與直線FB分別與y軸交于C,D兩點,證明:(O為坐標原點).
考點四:角平分線(已知)例1.已知橢圓C:()的離心率為,點在橢圓C上,點F是橢圓C的右焦點.(1)求橢圓C的方程;(2)過點F的直線l與橢圓C交于M,N兩點,則在x軸上是否存在一點P,使得x軸平分?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由,變式訓(xùn)練1:已知拋物線,過焦點的直線l交拋物線C于M、N兩點,且線段中點的縱坐標為2.(1)求直線l的方程;(2)設(shè)x軸上關(guān)于y軸對稱的兩點P、Q,(其中P在Q的右側(cè)),過P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點,求證:始終被x軸平分.
變式訓(xùn)練2:已知橢圓:的離心率為,點為橢圓C上一點.(1)求橢圓的方程;(2)若是橢圓上的兩個動點,且的角平分線總是垂直于軸,求證:直線的斜率為定值.考點五:角平分線(翻譯)例1.已知曲線的焦點為,曲線上有一點滿足.(1)求拋物線的方程;(2)過原點作兩條相互垂直的直線交曲線于異于原點的兩點,直線與軸相交于,試探究軸上存在一點是否存在異于的定點滿足恒成立.若存在,請求出點坐標.
變式訓(xùn)練1:設(shè)拋物線上的點與焦點的距離為6,且點到軸的距離為.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)拋物線的準線與軸的交點為點,過焦點的直線與拋物線交于兩點,證明:.變式訓(xùn)練2:已知為坐標原點,點,設(shè)動點到直線的距離為,且,.(1)記動點的軌跡為曲線,求曲線的方程;(2)若直線與曲線交于兩點,直線與曲線交于,兩點,直線與的交點為(不在曲線上),且,設(shè)直線,的斜率分別為,.求證:為定值.
考點六:定比分點(弦長的應(yīng)用)例1.已知橢圓的左、右焦點分別是,,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)點在直線上,過點的兩條直線分別交曲線于兩點和兩點,且,求直線的斜率與直線的斜率之和.變式訓(xùn)練1:已知為坐標原點,拋物線C:的焦點為F,P為拋物線C上一點,PF與y軸垂直,Q為y軸上一點,且,若.(1)求;(2)設(shè)點,過點作兩條不同的直線分別交拋物線C于A,B兩點和D,E兩點,且滿足,求證為定值.
變式訓(xùn)練2:已知橢圓:的左、右焦點分別為,離心率為,且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程;(2)動直線與橢圓相切,點是直線上的兩點,且,求四邊形的面積;(3)過橢圓內(nèi)一點作兩條直線分別交橢圓于點,和,設(shè)直線與的斜率分別是,若,試問是否為定值,若是,求出定值,若不是,說明理由.變式訓(xùn)練3:在平面直角坐標系中,已知點,,點P為平面內(nèi)的動點,且的周長為.記點P的軌跡為C.(1)試說明曲線C的形狀,并求C的方程;(2)設(shè)點M在直線上,且M不在C上,過M的兩條直線分別交C于A,B兩點和R,H兩點,且,直線和的斜率都存在且不為零,求直線的斜率與直線的斜率的比值.
【當堂小結(jié)】1、知識清單:(1)橢圓,雙曲線,拋物線的簡單性質(zhì);(2)傾斜角互補,斜率相加為零;(3)數(shù)形結(jié)合把圖形轉(zhuǎn)化為傾斜角,斜率求解;2、易錯點:數(shù)形結(jié)合將圖形轉(zhuǎn)化為傾斜角;3、考查方法:數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;4、核心素養(yǎng):數(shù)學運算,數(shù)學抽象.【過關(guān)檢測】1.已知拋物線,直線與交于兩點且(為坐標原點).(1)求拋物線的方程;(2)設(shè),若直線的傾斜角互補,求的值.
2.已知橢圓的焦距為,左、右焦點分別為,為橢圓上一點,且軸,,為垂足,為坐標原點,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)過橢圓的右焦點的直線(斜率不為)與橢圓交于兩點,為軸正半軸上一點,且,求點的坐標.3.已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,且點的縱坐標為4,.(1)求拋物線的方程;(2)過點作直線交拋物線于兩點,試問拋物線上是否存在定點使得直線與的斜率互為倒數(shù)?若存在求出點的坐標,若不存在說明理由.
4.已知雙曲線的左焦點為,到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點,,當直線經(jīng)過的右焦點且垂直于軸時,.(1)求的方程;(2)是否存在軸上的定點,使得直線過點時,恒有?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.5.已知橢圓C:的離心率為,點和點都在橢圓C上,直線PA交x軸于點M.(1)求橢圓C的方程,并求點M的坐標(用m,n表示);(2)設(shè)O為原點,點B與點A關(guān)于x軸對稱,直線PB交x軸于點N,問:y軸上是否存在點Q(不與O重合),使得?若存在,求點Q的坐標,若不存在,說明理由.
6.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為,其離心率,且橢圓C經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標準方程;(2)過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A,B(均異于點M).若∠AMB的角平分線與y軸平行,試探究直線AB的斜率是否為定值?若是,請給予證明;若不是,請說明理由.7.已知拋物線的焦點為F,其中P為E的準線上一點,O是坐標原點,且.(1)求拋物線E的方程;(2)過的直線與E交于C,D兩點,在x軸上是否存在定點,使得x軸平分?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
8.已知
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