2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題-圓錐曲線專題第04講：向量問題一（原卷版）

第三講：向量問題（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算；應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線中向量的數(shù)量積，向量的數(shù)乘，向量的線性運(yùn)算；拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用向量的相關(guān)運(yùn)算，求解相關(guān)的解析幾何中的向量問題.素養(yǎng)目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識】解析幾何中，將代數(shù)和幾何聯(lián)系到一起，形成了圖形分析和坐標(biāo)等的計算，在一定程度上可以進(jìn)行向量的計算，達(dá)到解決解析幾何的目的，下面是解析幾何中常用的向量的運(yùn)算，包括：向量的數(shù)量積，向量的數(shù)乘，向量的線性運(yùn)算，因此在解析幾何中的運(yùn)算，重點(diǎn)放在點(diǎn)的坐標(biāo)的表示和計算中。1、向量的數(shù)量積若，則2、向量的數(shù)乘若，則時，3、向量的線性運(yùn)算若，則時，.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：向量數(shù)量積例1．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，求的值．變式訓(xùn)練1：已知橢圓()的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求實(shí)數(shù)的值.

變式訓(xùn)練2：已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)在雙曲線上，試求的值.例2．已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出該定值．

變式訓(xùn)練3：已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，為橢圓上一動點(diǎn)，面積的最大值為2.(1)求橢圓的方程；(2)若，分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，連接交橢圓于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：為定值.變式訓(xùn)練:4：已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

例3．已知橢圓與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.變式訓(xùn)練5：已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值為1.(1)求橢圓的方程；(2)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

變式訓(xùn)練6：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)若直線過圓的圓心且與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一個動點(diǎn)，求的最小值．例4．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到短袖的一個端點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.

變式訓(xùn)練7：已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點(diǎn)和，且(其中為原點(diǎn))，求的取值范圍．變式訓(xùn)練8：已知雙曲線的浙近線方程為，且虛軸長為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍.

考點(diǎn)二：向量的數(shù)乘例1．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.變式訓(xùn)練：1已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為2，橢圓C的上頂點(diǎn)為，為正三角形，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求直線的一般方程.

變式訓(xùn)練2：已知拋物線，準(zhǔn)線方程為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若定點(diǎn)，直線l與地物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率.變式訓(xùn)練3：若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3，1)．(1)求雙曲線的方程；(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線l的斜率．

考點(diǎn)三：雙向量數(shù)乘例1．已知點(diǎn)，直線為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).若，,求的值.變式訓(xùn)練1：已知橢圓的離心率為，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請說明理由.

變式訓(xùn)練2：如圖，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程．（2）若直線交軸于點(diǎn)，且，，當(dāng)直線的傾斜角變化時，是否為定值？若是，請求出的值；否則，請說明理由．變式訓(xùn)練3：已知直線過雙曲線：的右焦點(diǎn)，且直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線l交y軸于點(diǎn)，且，，當(dāng)m變化時，探究的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說明理由；

考點(diǎn)四：向量的線性運(yùn)算例1．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓：的左焦點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)求面積的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使直線的斜率等于時，橢圓上存在一點(diǎn)滿足?若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.變式訓(xùn)練1：已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為1．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，，其中點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍．

變式訓(xùn)練2：已知橢圓C的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)F與x軸垂直的直線與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l的傾斜角為，且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，問是否存在這樣的直線l使得？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．變式訓(xùn)練3：已知A，B分別為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上的一點(diǎn)，PF恰好垂直平分線段OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），.(1)求橢圓C的方程；(2)過F的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)Q滿足（Q，M，N三點(diǎn)不共線），求四邊形OMQN面積的取值范圍.

考點(diǎn)五：向量的線性運(yùn)算（范圍）例1．已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：與軸交于點(diǎn)，與曲線交于，兩個相異點(diǎn)，且.（1）求曲線的方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.變式訓(xùn)練1：已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且與軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的面積為，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于，兩個不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．

【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)；（2）向量的數(shù)量積，數(shù)乘，線性運(yùn)算；（3）不等式的求解和導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求解范圍；2、易錯點(diǎn)：向量的表示及其運(yùn)算；3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.【過關(guān)檢測】1．已知橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點(diǎn)交于兩點(diǎn)，，求直線的方程．

2．已知拋物線：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)縱截距為的直線與拋物線交于，兩個不同的點(diǎn)，若，求直線的方程．3．已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5.(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值；(2)若過點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.

4．已知橢圓，橢圓的其中一個焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上，并且橢圓的左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)已知經(jīng)過點(diǎn)的動直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，證明:為定值.5．已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（A、B非橢圓頂點(diǎn)），求的最大值.

6．已知橢圓的長軸長是6，離心率是.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若焦距為4，點(diǎn)P是橢圓上與左、右頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)，且的面積最大值.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.

8．已知雙曲線的方程為（），離心率為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.9．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點(diǎn)和，且（其中為原點(diǎn)），求的取值范圍.

10．設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程.11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上且到雙曲線漸近線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程.

12．已知橢圓，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的方程；(