2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸難題押題附答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.圖①，二次函數(shù)y=ax2+6x+c(aWO)的圖象經(jīng)過點/(-1,0),并且與直線產(chǎn)=1%-2

相交于坐標(biāo)軸上的8、C兩點，動點尸在直線8c下方的二次函數(shù)的圖象上.

(1)求此二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖①，連接尸C,PB,設(shè)△產(chǎn)□的面積為S,求S的最大值；

(3)如圖②，拋物線上是否存在點。，使得N/8Q=2N/8C?若存在，則求出直線8。

解：⑴對于直線y=]x-2,

令x=0,則y=-2,

令y=0,即京-2=0,解得：x—4,

故點8、C的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,-2),

拋物線過點4、8兩點，則夕=a(x+1)(x-4),

將點C的坐標(biāo)代入上式并解得：〃=

故拋物線的表達式為y=1r2-|x-2①；

(2)如圖2,過點尸作PH〃夕軸交8c于點，,

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1o1

設(shè)點尸(x,^r2—2^-2),則點“(x,-2),

1(gx-2—1%2+1%+2)=-X2+4X,

S=S&PH/S&PHC=(XB-xc)=2x4X

：-l<0,故S有最大值，當(dāng)x=2時，S的最大值為4；

(3)①當(dāng)點。在5c下方時，如圖2,

延長8。交y軸于點”，過點C作SCJ_8c交x軸于點K,交BQ于點S,過點S作SK

.Lx軸于點K,

VZABQ^2ZABC,則8c是的角平分線，則aRSB為等腰三角形,

則點C是RS的中點，

設(shè)RC=x=SB應(yīng)改為RC=x=CS.

nr[nr

在△30C中，tan/O8C=潴=/=tan/ROC=浣,

則設(shè)RC=x=CS,則8c=2x,則RB=+(2乃2=屆=.,

在SARSB=|xSR-BC=|xBR-SK,即1x2x?2x=加?底，解得：KS=奈

4x

/ZC7r44

：.sinZRBS=展=獸=g,則tanNRBH=J

>J5x5J

在RtZ\08“中，0H=0B,tanNRBH=4xg=學(xué),則點”(0,一學(xué)),

由點8、”的坐標(biāo)得，直線8”的表達式為產(chǎn)(x-4)②,

聯(lián)立①②并解得：x=4(舍去)或|,

當(dāng)k'!時，產(chǎn)一號故點Q(-1,一管；

②當(dāng)點。在8c上方時,

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同理可得：點。的坐標(biāo)為（一斗，—）;

綜上，點0的坐標(biāo)為（石，一普）或（―學(xué)，~）-

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形N88為正方形，已知點4（-6,0）,D（-7,3）,

點、B、C在第二象限內(nèi).

（1）點8的坐標(biāo)是（-3,1）；

（2）將正方形/BCD以銀秒1個單位的速度沿x軸向右平移/秒，若存在某一時刻/,

使在第一象限內(nèi)點8、。兩點的對應(yīng)點夕、D'正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求

出此時t的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的情況下，問是否存在x軸上的點尸和反比例函數(shù)圖象上的點0,使得以

尸、。、夕、D'四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的

點尸、。的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

解：（1）過點。作。軸于點E,過點8作8F_Lx軸于點尸，如圖1所示.

:四邊形N8C。為正方形，

:.AD=AB,/BAD=90°,

"：ZEAD+ZADE=90<,,ZEAD+ZBAf=90°,

NADE=ZBAF.

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(ZAED=/.BFA=90°

在△/￡(￡1和△8ZF中，WZ.ADE=^BAF,

AD=BA

:.AADE注ABAF(AAS),

:.DE=AF,AE=BF.

,點/(-6,0),￡>(-7,3),

:.DE=3,/E=l,

二點5的坐標(biāo)為(-6+3,0+1),即(-3,1).

故答案為：(-3,1).

(2)設(shè)反比例函數(shù)為y=9，

由題意得：點5,坐標(biāo)為(-3+/，1),點。'坐標(biāo)為(-7+Z,3),

??,點B'和。'在該比例函數(shù)圖象上，

=-3+t

.,也=3(-7+t)，

解得:f=9,k=6,

...反比例函數(shù)解析式為產(chǎn)I

6

(3)假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為(w,0),點。的坐標(biāo)為(〃，-).

n

以P、0、夕、D'四個點為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況:

①當(dāng)"D'為對角線時，

?.?四邊形"PD'。為平行四邊形,

13

^-3=1,解得:m=T

-m—6=2-nn=2

133

:?P,0),Q(二，4)；

2上2

②當(dāng)夕D,為邊時.

;四邊形尸。夕D'為平行四邊形,

m-n=6-2

6「a1，解得：Im=7

----0=3—1I

{nn=3

：.P(7,0),Q(3,2)；

??,四邊形)QPD1為平行四邊形,

n—m=6—2解得：｛;二;'

0--=3-l

n

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：.P(-7,0),。(-3,-2)；

綜上可知：存在x軸上的點尸和反比例函數(shù)圖象上的點0,使得以尸、0、夕、。'四

133

個點為頂點的四邊形是平行四邊形，符合題意的點P、。的坐標(biāo)為尸(萬，0)、Q4)

或尸(7,0)、Q(3,2)或尸(-7,0)、。(-3,-2).

3.如圖，在RtZ\Z8C中，ZACB=90Q,以斜邊48上的中線CD為直徑作與BC交

于點/，與Z8的另一個交點為E,過M作垂足為M

(1)求證：仞V是。。的切線；

(2)若。。的直徑為5,sin8=|,求ED的長.

?：OC=OM,

：.NOCM=NOMC,

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在RtZ\43C中，C￡＞是斜邊上的中線,

:.CD=%B=BD,

；.NDCB=NDBC,

：.NOMC=ZDBC,

：.OM//BD,

'：MN±BD,

：.OM±MN,

河過。，

二MN是。。的切線;

(2)解：連接DM,CE,

：CD是。。的直徑,

：.ZCED=90°,ZDMC^90°,

即DM1.BC,CEVAB,

由(1)知：BD=CD=5,

.?.M為2c的中點，

3

*/sinB=引

?4

??cos8二5,

在中，BM=BD/cosB=4,

:?BC=2BM=8,

在中，BE=BC?cosB=昔,

327

：.ED=BE-BD=昔-5=g.

4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點出B,。。的半徑為/??

(1)如圖1,點。在點4,5之間的優(yōu)弧上，/MPN=80°,求的度數(shù);

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（2）如圖2,點C在圓上運動，當(dāng)PC最大時:要使四邊形NP8C為菱形，NZ尸8的度

數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由；

（3）若PC交。。于點。,求第（2）問中對應(yīng)的陰影部分的周長（用含，?的式子表示）.

圖1

,：PA,尸8為的切線，

：.ZPAO^ZPBO=90a,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360a,

：.ZAPB+ZAOB=\SOa,

VZAPB=^OQ,

.?.408=100°,

AZACB=50°；

(2)如圖2,當(dāng)N/P8=60°時，四邊形/P8C是菱形,

連接CM,OB,

M

囹2

由(1)可知，NNO8+N4P8=180°,

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VZAPB=60°,

：.ZAOB^\20°,

AZACB=60°=NAPB,

?.?點C運動到PC距離最大，

...尸。經(jīng)過圓心，

'：PA,尸8為。。的切線，

:.PA=PB,/4PC=NBPC=3Q°,

又,：PC=PC,

:AAPgABPC(SAS),

...N4CP=/8CP=30°,AC=BC,

...N/PC=N4CP=30°,

：.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

...四邊形/P8C是菱形：

(3):。。的半徑為r,

：.OA=r,OP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

VZAOP=900-/NPO=60°,

；.力。的長度=6*簫-^r,

loUD

，陰影部分的周長=%+尸。+砂=Wr+r+*=（V3+1+J）r.

5.如圖，口為。。的切線，P8C為。。的割線，NO_LOP于點。，△/OC的外接圓與8c

的另一個交點為￡.證明：NBAE=NACB.

【解答】證明：連接。/,OB,OC,BD.

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\UOALAP,ADLOP,

???由射影定理可得：P^=PD*PO,AD?=PD?OD.-（5分）

又由切割線定理可得PA2=PB?PC,

:?PB?PC=PD，PO,

:.D、B、C、。四點共圓，…（10分）

AZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,/PBD=/COD,

:?△PBDsXCOD,

PDBD、

-（15^）

:?BD*CD=PD*OD=Ab1,

.BDAD

??布=CD,

又NBDA=NBDP+90Q=ZODC+90°=ZADCf

??.△BDAs^ADC,

:,NBAD=NACD,

：.AB是△4OC的外接圓的切線,

：.ZBAE=ZACB,

6.如圖，點4為y軸正半軸上一點,48兩點關(guān)于x軸對稱，過點Z任作直線交拋物線y=|%2

于P，。兩點.

(1)求證：ZABP=ZABQ；

(2)若點/的坐標(biāo)為(0,1),且NP8Q=60°,試求所有滿足條件的直線尸0的函數(shù)

解析式.

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【解答】（1）證明：如圖，分別過點P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點”的坐標(biāo)為（（），，），則點B的坐標(biāo)為（0,-t）.

設(shè)直線P。的函數(shù)解析式為了=履丑，并設(shè)尸，。的坐標(biāo)分別為（XP,yP）,（XQ,yS）.由

'y=kx+t

y=jx2

27

得Q%，—kx—t=0,

=3tf2

于是久p%Q~2即亡=-JXPXQ.

BCyp+t|%p2+t|%p2一|%p%Q|%p（Xp-XQ）Xp

于是右=~~=2~；-=2~7-2----=2-：-----7=--

HDYQ+C-%QZ+t2XQZ~XpXQ§XQ（XQ-Xp）