傳遞函數模型表述

關于傳遞函數模型表述第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二主要內容傳遞函數模型表述;利用傳遞函數模型的預測;擾動模型;4.廣義預測控制模型(GPC);5.多變量系統(tǒng).第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二1.傳遞函數模型表述以輸入—輸出差分方程來描述系統(tǒng)的行為如下：在SISO系統(tǒng)的情況下，和可分別表示為以下多項式：（1）（2）（3）因此，可以把（1）式寫成差分方程：（4）第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二還可以定義多項式:對輸入—輸出時間序列采用Z變換以后，得到脈沖傳遞函數表達式為：（5）（6）（7）（8）式中，及分別為時間序列和的Z變換第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二對于MIMO系統(tǒng)，和是多項式矩陣：（10）（9）式中是矩陣，是矩陣多項式和可以定義成：（12）（11）于是多變量系統(tǒng)的傳遞函數描述為：（14）（13）第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二

雖然原理上幾乎任何方法多可以在多變量的情況下實現，但這些多項式矩陣和傳遞函數矩陣方法與SISO情況相比更不方便也更少使用，所以本節(jié)僅討論SISO的情況。傳遞函數矩陣（13）式中當d=1時相應的多變量差分方程為：（15）下面來導出傳遞函數模型和狀態(tài)空間模型描述方式之間的轉換，假設標準的狀態(tài)空間模型為：（17）（16）第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二做Z變換得（19）（18）由此，在假定x（0）=0的情況下有：（21）（20）所以有這就是傳遞函數矩陣Z變換的表達式，它對于SISO及MIMO（d=1）系統(tǒng)兩者都適用。第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二我們還可以導出傳遞函數模型和階躍響應或脈沖傳遞函數之間的轉換關系，事實上傳遞函數被定義為脈沖響應的Z變換，所以有（24）（23）（22）上式表明，在SISO情況下，可以由傳遞函數得到系統(tǒng)的脈沖響應。第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二2.利用傳遞函數模型的預測對SISO系統(tǒng)，將（4）式改寫成如下形式：（25）注意到上式中d僅表示純滯后，屬于離散化模型固有的特性d0=1已從d中減去，并列入表達式中了，可以利用這個表達式作為預測的基礎，其中d>=1.第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二預測控制的顯示表達如下：（26）（27）（28）...第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二或者，一般地還可以表達成：式中（29）（30）（31）（32）第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二

假設有多項式，其階次不大于i-1，（i為正整數），并有階次等于n-1的多項式，可將1/A分解為一個恒等式

通過比較同冪項系數，能夠解出兩個多項式，而且。用乘以（30），并利用（34）式子給出或或（33）（34）（35）（36）第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二注意到恰好就是，因此僅包含過去輸出的可測值。所以可以寫出預測輸出如下

至此，方程右邊已經不包含任何預測輸出，這全都取決于（34）對多項式和有解?？捎蒙鲜綄С鲆粋€有趣的表達式。用乘以（33）式兩邊將它代入（37）得：（37）（38）第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二這就表明了預測具有“預估-校正”結構。在這里的預測和是長區(qū)間預測，它僅由輸入信號構成，在任何時候都不用輸出測量值來校正。（40）（39）第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二3.擾動模型如圖，系統(tǒng)有一個未知擾動，令它等于測量值與預測輸出值之差：

則輸出y的預測方程為：裝置（42）（41）第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二擾動的一般性模型不失一般性，設系統(tǒng)有不可測得輸出擾動，則可用的濾波器來描述輸出擾動模型：

從上式可得，v(k)在白噪聲的情況下，d(k)為平穩(wěn)隨機過程。上述模型對于確定性和白色隨機擾動建模方式以及混合建模通常已經足夠了。（44）（43）第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二例1正弦曲線擾動為建立一個正弦曲線輸出擾動的模型，其中頻率已知幅值和相位未知，可以取，并且

式中，Ts是采樣周期，而于是d(k)的Z變換由下式給出：反變化后得到的離散形式的信號：第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二可以取V(k)的概率分布對所有的k都是相同的。若是一個漸進穩(wěn)定的傳遞函數，d(k)將是一個具有如下譜密度的平穩(wěn)隨機過程：注意到，所以總可以選擇使得它的全部根位于單位圓內。第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二利用擾動模型的預測利用(43),(44)式作為擾動模型，可以得到預測輸出。設有兩個求解下述方程的多項式

和（45）能從下述的方程解出和從（44）和（45）可以得到=（46）（48）（47）第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二接著可由（49）來估計v(k)=（49）（51）（50）第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二由（48），（49）可列出向前i步的預測輸出=（53）（52）第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二4.廣義預測控制模型在廣義預測控制模型中，擾動通常假設是隨機的，并在（44）中分母多項式總是取

若擾動為隨機過程，即意味著使為白噪聲，加在輸出上的擾動將是一個平穩(wěn)隨機過程，不再是白噪聲，這將給基于統(tǒng)計特性的計算帶來一定的困難。

（54）第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二

將是（44）代入到（46）中，從每一項中消去得到利用可以得到（57）（56）（55）第23頁，共25