2020版數(shù)學(xué)（天津?qū)Ｓ茫┐缶珳?zhǔn)復(fù)習(xí)精練11.3二項分布與正態(tài)分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精11.3二項分布與正態(tài)分布挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點1。條件概率、相互獨立事件及二項分布了解條件概率和兩個相互獨立事件的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布,并能解決一些簡單的實際問題2012天津，16兩個相互獨立事件的概率的求法互斥事件的概率公式、期望★★★2。正態(tài)分布及其應(yīng)用利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義2017課標(biāo)Ⅰ，19正態(tài)分布的應(yīng)用數(shù)學(xué)期望★☆☆分析解讀1。了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,掌握求條件概率的步驟,會求條件概率.2.掌握獨立事件概率的求法，能用二項分布解決實際問題.3.了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念，掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)。4.獨立事件的概率為近幾年高考的熱點.本節(jié)在高考中難度為易或中等。破考點【考點集訓(xùn)】考點一條件概率、相互獨立事件及二項分布1。隨機(jī)變量ξ～B(n,p），且Eξ=300,Dξ=200,則np等于（A。3200B。2700C。1350D。1200答案B2。(2014課標(biāo)Ⅱ，5,5分)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(）A.0.8B。0。75C.0。6D.0。45答案A3.某籃球隊甲、乙兩名球員在一個賽季中前10場比賽中投籃命中情況統(tǒng)計如下表注:表中分?jǐn)?shù)nN，N表示投籃次數(shù)，n表示命中次數(shù)，假設(shè)各場比賽相互獨立.場次球員12345678910甲541451410124610乙13998610791012根據(jù)統(tǒng)計表的信息:（1）從上述比賽中等可能隨機(jī)選擇一場，分別求甲、乙球員在該場比賽中投籃命中率大于50％的概率；（2）試估計甲、乙兩名球員在第11場比賽中恰有一人的命中率大于50%的概率;(3）在接下來的3場比賽中,用X表示這3場比賽中乙球員的命中率大于50%的場數(shù),試寫出X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望.解析(1）根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)知，在10場比賽中，甲球員的投籃命中率大于50%的場次有5場，所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，甲球員的投籃命中率大于50％的概率是12。在10場比賽中,乙球員的投籃命中率大于50％的場次有4場,所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，乙球員的投籃命中率大于50％的概率是25(2）設(shè)在一場比賽中，甲、乙兩名球員恰有一人命中率大于50%為事件A，甲球員的命中率大于50%且乙球員的命中率不大于50%為事件B1，乙球員的命中率大于50%且甲球員的命中率不大于50%為事件B2,則P(A）=P(B1）+P(B2)=12×35+12×2(3）X的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C302P（X=1）=C312P(X=2）=C322P（X=3)=C332X的分布列如下表:X0123P2754368所以EX=3×25=6思路分析（1)利用原始數(shù)據(jù)找到符合要求的場次,從而求出概率;(2)把“恰有一人命中率大于50%"分解為互斥事件的和,求概率;(3）利用（1）中的概率,結(jié)合3次獨立重復(fù)試驗和二項分布求分布列和數(shù)學(xué)期望.考點二正態(tài)分布及其應(yīng)用4.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2）。若P（ξ>2）=0。023,則P(—2≤ξ≤2)=（）A.0。477B。0。628C。0。954D.0.977答案C5.設(shè)X~N（μ1，σ12）,Y~N（μ2,σ22),這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.A。P(Y≥μ2)≥P（Y≥μ1)B。P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數(shù)t,P(X≤t）≥P（Y≤t）D。對任意正數(shù)t,P（X≥t）≥P（Y≥t)答案C煉技法【方法集訓(xùn)】方法1獨立重復(fù)試驗及二項分布問題的求解方法1.(2017課標(biāo)Ⅱ,13，5分）一批產(chǎn)品的二等品率為0。02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=。

答案1。962。(2015廣東,13，5分)已知隨機(jī)變量X服從二項分布B(n,p）。若E（X)=30,D(X)=20,則p=.

答案1方法2正態(tài)分布及其應(yīng)用方法3。某校在高三第一次模擬考試中約有1000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布,即X~N(100,a2）（a>0）,試卷滿分為150分,統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績不及格(低于90分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的110，則此次數(shù)學(xué)考試成績在100分到110分（包含100分和110分)之間的人數(shù)約為（A.400B.500C。600D。800答案A4。高三某班有50名學(xué)生,一次數(shù)學(xué)考試的成績ξ服從正態(tài)分布N（105,102)，已知P(95≤ξ≤105)=0.3413,該班學(xué)生此次考試數(shù)學(xué)成績在115分以上的概率為()A.0。1587B。0。3413C.0.1826D.0.5000答案A過專題【五年高考】A組自主命題·天津卷題組(2012天津，16，13分)現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇。為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ=｜X—Y｜，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ.解析依題意，這4個人中,每個人去參加甲游戲的概率為13,去參加乙游戲的概率為2設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i=0，1，2,3，4），則P(Ai)=C4i（1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P（A2）=C42·13(2）設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則B=A3∪A4。由于A3與A4互斥，故P(B）=P（A3）+P（A4)=C43133所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為19(3）ξ的所有可能取值為0，2,4。由于A1與A3互斥,A0與A4互斥，故P（ξ=0）=P(A2)=827P（ξ=2）=P(A1)+P(A3)=4081P(ξ=4)=P（A0）+P（A4)=1781所以ξ的分布列是ξ024P84017隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×827+2×4081+4×1781B組統(tǒng)一命題、?。▍^(qū)、市）卷題組考點一條件概率、相互獨立事件及二項分布1。(2018課標(biāo)Ⅲ,8,5分)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立。設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2.4，P(X=4）〈P（X=6），則p=(）A。0。7B.0。6C。0.4D。0.3答案B2。(2015課標(biāo)Ⅰ，4,5分)投籃測試中，每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0。6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A。0。648B。0.432C.0.36D。0.312答案A考點二正態(tài)分布及其應(yīng)用1.(2015山東,8,5分）已知某批零件的長度誤差(單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,32），從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6）內(nèi)的概率為()（附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ,σ2),則P(μ—σ〈ξ<μ+σ）=68。26％，P（μ—2σ〈ξ〈μ+2σ)=95.44%）A.4.56%B.13。59%C。27.18%D.31.74%答案B2。（2015湖北，4，5分）設(shè)X~N（μ1，σ12)，Y～N(μ2,σ22）,這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.A。P(Y≥μ2）≥P（Y≥μ1)B.P（X≤σ2)≤P（X≤σ1）C.對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t）D.對任意正數(shù)t,P(X≥t）≥P（Y≥t)答案C3。(2015湖南,7,5分）在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（)附：若X~N（μ，σ2）,則P（μ—σ〈X≤μ+σ）=0。6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ）=0。9544。A.2386B。2718C。3413D。4772答案CC組教師專用題組（2017課標(biāo)Ⅰ，19，12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P(X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望;(2）一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610。019.929。9810。0410.269。9110。1310.029.2210.0410。059.95經(jīng)計算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi用樣本平均數(shù)x作為μ的估計值μ^,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值σ^,利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查。剔除(μ^—3σ^,μ^+3σ^)之外的數(shù)據(jù),附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2），則P（μ-3σ〈Z<μ+3σ)=0。9974。0.997416≈0。9592，0.008解析本題考查了統(tǒng)計與概率中的二項分布和正態(tài)分布的性質(zhì)及應(yīng)用.（1)抽取的一個零件的尺寸在(μ—3σ，μ+3σ)之內(nèi)的概率為0。9974，從而零件的尺寸在(μ-3σ，μ+3σ）之外的概率為0.0026，故X~B（16，0.0026）.因此P（X≥1)=1—P（X=0)=1—0.997416≈0。0408.X的數(shù)學(xué)期望為EX=16×0.0026=0。0416.（2）（i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(μ-3σ，μ+3σ）之外的概率只有0。0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ—3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ii)由x=9。97,s≈0.212，得μ的估計值為μ^=9。97,σ的估計值為σ^=0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在（μ^—3σ^,μ^+3σ剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^115×(16×9.97-9.22)=10。02,因此μ的估計值為∑i=116xi2=16×0。2122剔除(μ^-3σ^，μ^+3σ^115×（1591.134-9。222—15×10。022)≈因此σ的估計值為0.008方法總結(jié)統(tǒng)計與概率的綜合應(yīng)用.（1）正態(tài)分布:若變量X服從正態(tài)分布N（μ,σ2)，其中μ為樣本的均值，正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=μ；σ為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.(2)二項分布:若變量X~B(n,p)，則X的期望EX=np，方差DX=np(1-p）?！救昴M】解答題(共60分）1。(2018天津河北二模，16）某地擬建立一個藝術(shù)博物館,采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司中選取一家建筑公司,經(jīng)過層層篩選,甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)?，F(xiàn)從建筑設(shè)計院聘請專家設(shè)計了一個招標(biāo)方案:兩家公司從6個招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取3個問題,已知這6個問題中,甲公司可正確回答其中的4道題，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23，且甲、乙兩家公司是否答對相互獨立,互不影響（1)求甲、乙兩家公司共答對2道題的概率；（2)設(shè)X為乙公司正確回答的題數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析（1)由題意可知甲公司至少能答對1題。甲、乙公司各答對1題的概率為C41C22C6甲公司答對2題,乙公司全答錯的概率為C42×C2∴甲、乙兩家公司共答對2道題的概率為245+145=(2）X的可能取值為0,1，2，3,且X～B3,∴P（X=0)=133=127，P(X=1）=C31P（X=2)=C32232P（X=3)=233=∴X的分布列為X0123P1248∴EX=1×29+2×49+3×82。(2018天津南開三模，16）某綜藝節(jié)目中，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎，甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張，每個節(jié)目投票時,甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為13，且三人投票互不影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節(jié)目獲一等獎；否則，該節(jié)目不能獲一等獎（1)求某節(jié)目獲一等獎的概率；(2）求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎”票和“待定"票票數(shù)之和X的分布列及數(shù)學(xué)期望。解析(1）設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果獲一等獎”為事件A，則事件A包含該節(jié)目可以獲2張“獲獎”票或3張“獲獎”票,∴某節(jié)目獲一等獎的概率P(A)=C32132×2(2)所含“獲獎”票和“待定"票票數(shù)之和X的可能取值為0,1,2，3，且X～B3,∴P（X=0)=C30133=127，P（X=1)=C3P(X=2）=C32232×13=∴X的分布列為X0123P1248∴EX=1×29+2×49+3×83.(2019屆天津一中1月月考，16）甲、乙、丙三個口袋內(nèi)都分別裝有6個只有顏色不相同的球,并且每個口袋內(nèi)的6個球均有1個紅球,2個黑球,3個無色透明的球,現(xiàn)從甲、乙、丙三個口袋中依次隨機(jī)各摸出1個球.(1）求恰好摸出紅球、黑球和無色球各1個的概率;(2)求摸出的3個球中含有有色球數(shù)ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.解析由于各個口袋中球的情況一樣，而且從每一個口袋中摸出紅球、黑球、無色球的概率分別為16，13，1（1）P=A33×16×13×(2）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，所以P（ξ=0)=123=18,P（ξ=1)=C3116+13×122=所以ξ的分布列為ξ0123P1331Eξ=0×18+1×38+2×38+3×14。（2019屆