新教材人教a版選擇性必修第二冊5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)課件3

簡單復合函數(shù)的導數(shù)核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.了解復合函數(shù)的概念.2.理解復合函數(shù)的求導法則,并能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù).在根據(jù)復合函數(shù)的求導法則求復合函數(shù)的導數(shù)的過程中,發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪1.復合函數(shù)的概念一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù),記作

.2.復合函數(shù)的求導法則一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為y′x=

,即y對x的導數(shù)等于

.知識探究y=f(g(x))y′u·u′xy對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積小試身手1.函數(shù)y=cosnx可由(

)(A)y=un和u=cosxn復合而成(B)y=u和u=cosnx復合而成(C)y=un和u=cosx復合而成(D)y=cosu和u=xn復合而成解析:y=cosnx,中間變量為u=cosx.故選C.CB2.設f(x)=ln(2x+1),則f′(x)等于(

)B答案:34.曲線y=e2x+x在x=0處的切線的斜率是

.

解析:因為y=e2x+x,所以y′=2e2x+1,所以y′|x=0=3,由導數(shù)的幾何意義可得曲線y=e2x+x在x=0處的切線的斜率是3.課堂探究·素養(yǎng)培育探究點一復合函數(shù)的導數(shù)解:(3)設y=eu,u=3x+2,則y′x=y′uu′x=(eu)′×(3x+2)′=3eu=3e3x+2,即y′=3e3x+2.(1)求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟方法總結(2)求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點:①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù);②求導時分清是對哪個變量求導;③計算結果盡量簡潔.解:(1)y′=[(4-3x)2]′=2(4-3x)×(4-3x)′=2(4-3x)·(-3)=18x-24.(4)y′=(e2x-1)′=e2x-1×(2x-1)′=2e2x-1.探究點二復合函數(shù)與導數(shù)的運算法則的綜合應用[例2]求下列函數(shù)的導數(shù).方法總結復合函數(shù)求導應注意的問題(1)在對函數(shù)求導時,應仔細觀察及分析函數(shù)的結構特征,緊扣求導法則,聯(lián)系學過的求導公式,對不易用求導法則求導的函數(shù),可適當?shù)剡M行等價變形,以達到化異求同、化繁為簡的目的.(2)復合函數(shù)的求導熟練后,中間步驟可以省略,即不必再寫出函數(shù)的復合過程,直接運用公式,由外及內逐層求導.即時訓練2-1:求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=ln(x-1)+e3x;(2)y=xln(1+2x);探究點三導數(shù)運算法則的綜合應用[例3](1)曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是(

)答案:(1)A(2)設曲線y=eax在點(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=

.

解析:(2)令y=f(x),則曲線y=eax在點(0,1)處的切線的斜率為f′(0),又切線與直線x+2y+1=0垂直,所以f′(0)=2.因為f(x)=eax,所以f′(x)=(eax)′=eax·(ax)′=aeax,所以f′(0)=ae0=2,故a=2.答案:(2)2方法總結解此類問題的關鍵有兩個:(1)求復合函數(shù)的導數(shù),這是正確解答的前提條件,要注意把復合函數(shù)逐層分解,求導時不要有遺漏;(2)求切線方程,注意切線所過的點是否為切點.備用例題[例1]已知f(x)為偶函數(shù),當x≤0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是

.

解析:設x>0,則-x<0,f(-x)=ex-1+x.又f(x)為偶函數(shù),f(x)=f(-x)=ex-1+x.所以當x>0時,f(x)=ex-1+x,f(1)=2.因此,當x>0時,f′(x)=ex-1+1,f′(1)=e0+1=2.則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線的斜率為f′(1)=2,所以切線方程為y-2=2(x-1),即2x-y=0.答案:2x-y=0課堂達標B1.設f(x)=sin2x,則f′(x)等于(

)(A)cos2x (B)2cos2x(C)-cos2x (D)-2cos2x解析:f′(x)=