新教材人教b版必修第二冊(cè)5.3.4頻率與概率學(xué)案

5.頻率與概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和概率的穩(wěn)定性.2.正確理解概率的含義，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．知識(shí)點(diǎn)一用頻率估計(jì)概率在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，則當(dāng)n很大時(shí)，可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計(jì)值為eq\f(m,n)，此時(shí)也有0≤P(A)≤1.知識(shí)點(diǎn)二頻率與概率的關(guān)系概率可以通過(guò)頻率來(lái)“測(cè)量”或者說(shuō)頻率是概率的一個(gè)近似，概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大?。?．隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值．(√)2．某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行了1000次，事件A發(fā)生的頻率即為事件A發(fā)生的概率．(×)3．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越接近于概率．(√)4．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)之前不能確定．(×)一、概率概念的理解例1解釋下列概率的含義．(1)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為；(2)一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)的概率為0.2.解(1)“某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為”．說(shuō)明該廠產(chǎn)品合格的可能性為90%，也可以說(shuō)100件該廠的產(chǎn)品中大約有90件是合格的．(2)“中獎(jiǎng)的概率為”．說(shuō)明參加抽獎(jiǎng)的人有20%的可能中獎(jiǎng)，也可以說(shuō)，若有100人參加抽獎(jiǎng)，約有20人中獎(jiǎng)．反思感悟概率是事件的本質(zhì)屬性，不隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗(yàn)總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定發(fā)生，只是認(rèn)為發(fā)生的可能性大．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．由生物學(xué)知道生男生女的概率約為，一對(duì)夫婦先后生兩個(gè)小孩，不一定為一男一女B．一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為，則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng)C．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰(shuí)先摸則誰(shuí)摸到獎(jiǎng)票的可能性大D．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無(wú)論誰(shuí)先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是答案AD解析一對(duì)夫婦生兩個(gè)小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A正確；中獎(jiǎng)概率為是說(shuō)中獎(jiǎng)的可能性為，當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無(wú)論誰(shuí)先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是，所以C不正確，D正確．(2)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%，這說(shuō)明()A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件C．合格率是99.99%，很高，說(shuō)明該廠若只生產(chǎn)1件產(chǎn)品一定會(huì)合格D．該廠生產(chǎn)的一件產(chǎn)品合格的可能性是99.99%答案D解析合格率是99.99%，是指該工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品合格的可能性大小，即合格的概率．二、利用頻率與概率的關(guān)系求概率例2某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率eq\f(m,n)(1)填寫(xiě)表中擊中靶心的頻率；(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？解(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為,,,,,0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)附近，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9.反思感悟隨機(jī)事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。?dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率越來(lái)越趨近于概率．當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí)，所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率．(2)求法：通過(guò)公式fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(m,n)計(jì)算出頻率，再由頻率估算概率．跟蹤訓(xùn)練2下表是某種乒乓球的質(zhì)量檢查統(tǒng)計(jì)表：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品頻率(1)計(jì)算各組優(yōu)等品頻率，填入上表；(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計(jì)事件“抽取的是優(yōu)等品”的概率．解(1)根據(jù)優(yōu)等品頻率＝eq\f(優(yōu)等品數(shù),抽取球數(shù))，可得優(yōu)等品的頻率從左到右依次為：0.9,,,,,0.951.(2)由(1)可知乒乓球抽取的優(yōu)等品頻率逐漸穩(wěn)定在附近，故估計(jì)優(yōu)等品的概率是0.95.三、概率的實(shí)際應(yīng)用例3為了估計(jì)水庫(kù)中魚(yú)的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫(kù)中捕出一定數(shù)量的魚(yú)，例如2000尾，給每尾魚(yú)作上記號(hào)，不影響其存活，然后放回水庫(kù)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)時(shí)間，讓其和水庫(kù)中其余的魚(yú)充分混合，再?gòu)乃畮?kù)中捕出一定數(shù)量的魚(yú)，例如500尾，查看其中有記號(hào)的魚(yú)，設(shè)有40尾，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)水庫(kù)內(nèi)魚(yú)的尾數(shù)．解設(shè)水庫(kù)中魚(yú)的尾數(shù)為n，假定每尾魚(yú)被捕的可能性是相等的，先從水庫(kù)中任捕一尾，設(shè)事件A＝{帶有記號(hào)的魚(yú)}，易知P(A)＝eq\f(2000,n)，①第二次從水庫(kù)中捕出500尾，觀察其中帶有記號(hào)的魚(yú)有40尾，即事件A發(fā)生的頻數(shù)m＝40，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知P(A)＝eq\f(40,500)，②由①②兩式，得eq\f(2000,n)＝eq\f(40,500)，解得n＝25000.所以估計(jì)水庫(kù)中約有魚(yú)25000尾．反思感悟(1)由于概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，概率是頻率的近似值與穩(wěn)定值，所以可以用樣本出現(xiàn)的頻率近似地估計(jì)總體中該結(jié)果出現(xiàn)的概率．(2)實(shí)際生活與生產(chǎn)中常常用隨機(jī)事件發(fā)生的概率來(lái)估計(jì)某個(gè)生物種群中個(gè)別生物種類的數(shù)量、某批次的產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品的數(shù)量等．跟蹤訓(xùn)練3某中學(xué)為了了解初中部學(xué)生的某項(xiàng)行為規(guī)范的養(yǎng)成情況，在學(xué)校隨機(jī)抽取初中部的150名學(xué)生登記佩帶胸卡的學(xué)生名字．結(jié)果150名學(xué)生中有60名佩帶胸卡．第二次檢查，調(diào)查了初中部的所有學(xué)生，有500名學(xué)生佩帶胸卡．據(jù)此估計(jì)該中學(xué)初中部一共有多少名學(xué)生．解設(shè)初中部有n名學(xué)生，依題意得eq\f(60,150)＝eq\f(500,n)，解得n＝1250.所以該中學(xué)初中部共有學(xué)生約1250名．1．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為eq\f(1,5)，前4個(gè)病人都沒(méi)有治好，第5個(gè)病人的治愈率為()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D．0答案B解析由概率的意義知，第5個(gè)病人的治愈率仍為eq\f(1,5)，與前4個(gè)病人都沒(méi)治好沒(méi)有關(guān)系．2．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A.eq\f(1,999)B.eq\f(1,1000)C.eq\f(999,1000)D.eq\f(1,2)答案D解析拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為eq\f(1,2).3．從存放號(hào)碼分別為1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：卡片號(hào)碼12345678910取到的次數(shù)101188610189119則取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率是()A．B．C．D．答案A解析利用公式fn(A)＝eq\f(nA,n)計(jì)算出頻率值，取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率是eq\f(10＋8＋6＋18＋11,100)＝0.53.4．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)抽檢，質(zhì)檢部門(mén)得知市場(chǎng)上各品牌食用油合格率為80%，經(jīng)調(diào)查，某市市場(chǎng)上的食用油大約有80個(gè)品牌，則不合格的食用油品牌大約有()A．64個(gè)B．6個(gè)C．16個(gè)D．8個(gè)答案C解析80×(1－80%)＝16.5．如果袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)若干個(gè)，從中任取一球后放回，取了10次有7次是白球，估計(jì)袋中數(shù)量較多的是__________球．答案白解析取出白球的頻率是，估計(jì)其概率是，那么取出黃球的概率約是，取出白球的概率大于取出黃球的概率，所以估計(jì)袋中數(shù)量較多的是白球．1．知識(shí)清單：(1)頻率與概率的關(guān)系．(2)用頻率估計(jì)概率．2．方法歸納：極限思想．3．常見(jiàn)誤區(qū)：頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．1．(多選)“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列說(shuō)法正確的是()A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B．上海今天可能降雨，而北京可能沒(méi)有降雨C．今天北京和上海都可能沒(méi)降雨D．北京今天降雨的可能性比上海大答案BCD解析北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，說(shuō)明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都沒(méi)有降雨，但是不能確定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以B，C，D正確，A錯(cuò)誤．2．(多選)以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．昨天沒(méi)有下雨，則說(shuō)明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水的概率為99%”是錯(cuò)誤的B．“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買(mǎi)100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)C．做10次拋擲硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為eq\f(3,10)D．某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品答案ABC解析A中，降水概率為99%，仍有不降水的可能，故錯(cuò)誤；B中，“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示在設(shè)計(jì)彩票時(shí)，有1%的機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)，但不一定買(mǎi)100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)，故錯(cuò)誤；C中，正面朝上的頻率為eq\f(3,10)，概率仍為eq\f(1,2)，故錯(cuò)誤；D中，次品率為2%，但50件產(chǎn)品中可能沒(méi)有次品，也可能有1件或2件或3件或更多次品，故D的說(shuō)法正確．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒夾谷28粒．這批米夾的谷約為()A．134石B．169石C．338石D．454石答案B解析由題意可知這批米內(nèi)夾谷約為1534×eq\f(28,254)≈169(石)，故選B.4．先后拋擲兩枚均勻的五角、一元的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列哪個(gè)事件的概率最大()A．至少一枚硬幣正面向上B．只有一枚硬幣正面向上C．兩枚硬幣都是正面向上D．兩枚硬幣都是反面向上答案A解析拋擲兩枚硬幣，其結(jié)果有“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”四種情況，至少一枚硬幣正面向上包括三種情況，其概率最大．5．某市交警部門(mén)在調(diào)查一起車(chē)禍過(guò)程中，所有的目擊證人都指證肇事車(chē)是一輛普通桑塔納出租車(chē)，但由于天黑，均未看清該車(chē)的車(chē)牌號(hào)碼及顏色，而該市有兩家出租車(chē)公司，其中甲公司有100輛桑塔納出租車(chē)，3000輛帕薩特出租車(chē)，乙公司有3000輛桑塔納出租車(chē)，100輛帕薩特出租車(chē)．交警部門(mén)應(yīng)先調(diào)查哪家公司的車(chē)輛較合理？()A．甲公司 B．乙公司C．甲與乙公司 D．以上都對(duì)答案B解析由于甲公司桑塔納車(chē)占的比例為eq\f(100,100＋3000)＝eq\f(1,31)，乙公司桑塔納車(chē)占的比例為eq\f(3000,3000＋100)＝eq\f(30,31)，可知應(yīng)選B.6．為了估計(jì)今年來(lái)昆明的紅嘴鷗數(shù)量，云南大學(xué)科研人員隨機(jī)對(duì)500只紅嘴鷗做上記號(hào)后放回，一段時(shí)間后隨機(jī)查看了500只紅嘴鷗，發(fā)現(xiàn)有2只標(biāo)有記號(hào)，今年來(lái)昆明的紅嘴鷗總數(shù)最可能為_(kāi)_______．答案125000解析設(shè)今年來(lái)昆明的紅嘴鷗總數(shù)為n，則eq\f(500,n)＝eq\f(2,500)，解得n＝125000.7．投擲硬幣的結(jié)果如下表：投擲硬幣的次數(shù)200500c正面向上的次數(shù)102b404正面向上的頻率a據(jù)此可估計(jì)若擲硬幣一次，正面向上的概率為_(kāi)_____．答案解析由題意得a＝eq\f(102,200)＝，b＝500×＝241，c＝eq\f(404,)＝800.易知正面向上的頻率在附近，所以若擲硬幣一次，正面向上的概率應(yīng)為0.5.8．對(duì)某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，數(shù)據(jù)如下表所示：調(diào)查件數(shù)50100200300500合格件數(shù)4792192285478根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)，若要從該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中抽到950件合格品，大約需抽查_(kāi)_______件產(chǎn)品．答案1000解析由表中數(shù)據(jù)知，抽查5次，產(chǎn)品合格的頻率依次為,,,,，可見(jiàn)頻率在附近擺動(dòng)，故可估計(jì)該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品合格的概率約為0.95.設(shè)大約需抽查n件產(chǎn)品，則eq\f(950,n)＝，所以n＝1000.9．某中學(xué)從參加高一年級(jí)上學(xué)期期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：(1)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)；(2)從成績(jī)?cè)?0分以上(包括70分)的學(xué)生中任選一人，求選到第一名學(xué)生的概率(第一名學(xué)生只一人)．解(1)依題意，60分及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組的頻率和為(＋＋＋)×10＝，所以估計(jì)這次考試的及格率約為75%.(2)因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱70,100]的人數(shù)是60×(＋＋)×10＝36，所以從成績(jī)?cè)?0分以上(包括70分)的學(xué)生中任選一人，選到第一名學(xué)生的概率P＝eq\f(1,36).10．某水產(chǎn)試驗(yàn)廠實(shí)行某種魚(yú)的人工孵化，10000個(gè)魚(yú)卵孵出8513條魚(yú)苗，根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義解答下列問(wèn)題：(1)這種魚(yú)卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30000個(gè)魚(yú)卵大約能孵化出多少條魚(yú)苗？解(1)這種魚(yú)卵的孵化頻率為eq\f(8513,10000)＝3，可把它近似作為孵化的概率，即這種魚(yú)卵的孵化概率是3.(2)設(shè)能孵化出x條魚(yú)苗，則eq\f(x,30000)＝3，所以x＝25539，即30000個(gè)魚(yú)卵大約能孵化出25539條魚(yú)苗．11．隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購(gòu)物已逐漸成為消費(fèi)時(shí)尚，為了解消費(fèi)者對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物的滿意情況，某公司隨機(jī)對(duì)4500名網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)查(每名消費(fèi)者限選一種情況回答)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：滿意情況不滿意比較滿意滿意非常滿意人數(shù)200n21001000根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意”或“滿意”的概率是()A.eq\f(7,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15)D.eq\f(13,15)答案C解析由題意得，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以隨機(jī)調(diào)查的消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意”或“滿意”的總?cè)藬?shù)為1200＋2100＝3300，所以隨機(jī)調(diào)查的消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意”或“滿意”的頻率為eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).由此估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意”或“滿意”的概率為eq\f(11,15).12．已知某射擊運(yùn)動(dòng)員，每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率：用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，故以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據(jù)此估計(jì)，該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．B．C．D．答案B解析在20組隨機(jī)數(shù)中表示射擊4次至少擊中3次的有5727,0293,9857,0347,4373,8636,9647,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281，共15組隨機(jī)數(shù)，所以所求概率約為eq\f(15,20)＝0.75.故選B.13．一個(gè)容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[10,20)，2個(gè)；[20,30)，3個(gè)；[30,40)，x個(gè)；[40,50)，5個(gè)；[50,60)，4個(gè)；[60,70]，2個(gè)．則x＝________；根據(jù)樣本的頻率估計(jì)概率，數(shù)據(jù)落在[10,50)的概率約為_(kāi)_______．答案4解析樣本中數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)為20，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50)中的數(shù)據(jù)有14個(gè)，故所求概率P＝eq\f(14,20)＝0.7.14．若某地8月15日無(wú)雨記為0，有雨記為1，統(tǒng)計(jì)從1995年至2019年的氣象資料得：1100010011000010101110100，則該地出現(xiàn)8月15日下雨的概率約為_(kāi)_______．答案解析根據(jù)所統(tǒng)計(jì)的25年的資料，共有11次有雨，因此該地8月15日下雨的概率約為eq\f(11,25)＝0.44.15．某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開(kāi)發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲收益12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是去年200例類似項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的實(shí)施結(jié)果．投資成功投資失敗192次8次則估計(jì)該公司一年后可獲收益的平均數(shù)是________．答案解析應(yīng)先求出投資成功與失敗的概率，再計(jì)算收益的平均數(shù)．設(shè)可獲收益為x萬(wàn)元，如果成功，x的取值為5×12%，如果失敗，x的取值為－5×50%.一年后公司成功的概率估計(jì)為eq\f(192,200)＝eq\f(24,25)，失敗的概率估計(jì)為eq\f(8,200)＝eq\f(1,25).所以估計(jì)一年后公司收益的平均數(shù)為5×12%×eq\f(24,25)－5×50%×eq\f(1,25)＝0.476.16．某高中啟動(dòng)了“全民閱讀，書(shū)香校園”活動(dòng)，