新教材人教b版選擇性必修第二冊4.1.3獨立性與條件概率的關系學案

4．獨立性與條件概率的關系新課程標準解讀核心素養(yǎng)，了解兩個事件相互獨立的概念數(shù)學抽象2.掌握相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式數(shù)學抽象、邏輯推理解決一些簡單的實際問題數(shù)學運算俗話說：三個臭皮匠頂個諸葛亮，在某次智者挑戰(zhàn)大賽中，由甲、乙、丙三人組成“臭皮匠”團隊，挑戰(zhàn)“諸葛亮”．其中甲、乙、丙能答對某題目的概率分別為50%，40%，30%，而“諸葛亮”能答對該題目的概率是80%.比賽規(guī)則：各個選手獨立答題，不得商量，團隊中只要1人答出該題即為挑戰(zhàn)成功．[問題]該挑戰(zhàn)能否成功？知識點一相互獨立事件的概念與性質(zhì)1．定義：事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，即P(A|B)＝P(A)，這時，我們稱兩個事件A，B相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件．2．性質(zhì)：當事件A，B相互獨立時eq\a\vs4\al(A)與eq\a\vs4\al(\x\to(B))，eq\a\vs4\al(\x\to(A))與eq\a\vs4\al(B)，eq\a\vs4\al(\x\to(A))與eq\a\vs4\al(\x\to(B))也相互獨立．3．n個事件相互獨立：對于n個事件A1，A2，…，An，如果A1，A2，…，An相互不影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．4．獨立性與條件概率的關系：當P(B)＞0時，A與B獨立的充要條件是P(A|B)＝P(A)．eq\a\vs4\al()相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別事件A與事件B互斥是指同一次試驗中事件A與事件B不可能同時發(fā)生；事件A與事件B相互獨立則是指事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響．知識點二獨立事件的概率公式1．若事件A，B相互獨立，則P(A∩B)＝P(A)·P(B)．2．若事件A1，A2，…，An相互獨立，則P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．eq\a\vs4\al()一般地，已知兩個事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一個發(fā)生為事件A∪B；(2)A，B都發(fā)生為事件AB；(3)A，B都不發(fā)生為事件eq\x\to(A)eq\x\to(B)；(4)A，B恰有一個發(fā)生為事件Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B；(5)A，B中至多有一個發(fā)生為事件Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B∪eq\x\to(A)eq\x\to(B).它們之間的概率關系如下表所示：A，B互斥A，B相互獨立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)P(A)＋P(B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)∪Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)11－P(A)P(B)1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)對事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，則事件A與B相互獨立．()(2)若事件A，B相互獨立，則P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))．()(3)如果事件A與事件B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．()(4)若事件A與B相互獨立，則B與eq\x\to(B)相互獨立．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．甲、乙兩人參加歌唱比賽，晉級的概率分別為eq\f(4,5)和eq\f(3,4)，且兩人是否晉級相互獨立，則兩人中恰有一人晉級的概率為()A.eq\f(19,20) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(7,20)解析：選D設A表示甲晉級，B表示乙晉級，C表示兩人中恰有一人晉級，則P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以P(C)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(3,4)＝eq\f(7,20).3．制造一種零件，，，從它們制造的產(chǎn)品中各任意抽取一件，則兩件都是正品的概率是________．解析：令A表示甲機床制造的零件是正品，B表示乙機床制造的零件是正品，則可知A，B是相互獨立事件，則P(A)，P(B)，∴P(AB)＝P(A)P(B)×0.95＝0.912.答案：相互獨立事件的概念[例1]判斷下列各對事件是不是相互獨立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”．[解](1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件．(2)記事件A為“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B為“出現(xiàn)3點或6點”，則A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與事件B相互獨立．eq\a\vs4\al()判斷兩個事件相互獨立的方法(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個事件發(fā)生是否相互影響；(2)定義法：如果事件A，B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨立事件；(3)條件概率法：當P(B)＞0時，可用P(A|B)＝P(A)判斷．[跟蹤訓練]從一副撲克牌(去掉大、小王)中任抽一張，設A表示抽到K，B表示抽到紅牌，C表示抽到J，則下列每對事件是否相互獨立？是否互斥？是否對立？為什么？(1)A與B；(2)A與C.解：(1)A與B為相互獨立事件．由于事件A為“抽到K”，事件B為“抽到紅牌”，故抽到紅牌中有可能抽到紅桃K或方塊K，即有可能抽到K，事件A，B有可能同時發(fā)生，顯然它們不是互斥事件，更不是對立事件，以下考慮它們是否互為獨立事件．P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(B)＝eq\f(26,52)＝eq\f(1,2)，故P(A)P(B)＝eq\f(1,13)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,26)，事件A∩B即為“抽到紅桃K或方塊K”，故P(A∩B)＝eq\f(2,52)＝eq\f(1,26)，從而有P(A∩B)＝P(A)P(B)，因此A與B為相互獨立事件．(2)A與C為互斥事件．從一副撲克牌(去掉大、小王)中任取一張，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C與事件A不可能同時發(fā)生，即A與C互斥．由于P(A)＝eq\f(1,13)≠0，P(C)＝eq\f(1,13)≠0，而P(A∩C)＝0，所以A與C不是相互獨立事件．又抽不到K不一定抽到J，故A與C并非對立事件.相互獨立事件與互斥事件的綜合問題[例2](鏈接教科書第57頁例2、例3)某課程的考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合格”，則該課程考核“合格”．，，，，，0.9.所有考核是否合格相互之間沒有影響．(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；(2)求這三人該課程考核都合格的概率．(結(jié)果保留三位小數(shù))[解]記“甲理論考核合格”為事件A1，“乙理論考核合格”為事件A2，“丙理論考核合格”為事件A3，記事件eq\x\to(A)i為事件Ai的對立事件，i＝1,2,3.記“甲實驗考核合格”為事件B1，“乙實驗考核合格”為事件B2，“丙實驗考核合格”為事件B3.(1)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C，eq\x\to(C)為事件C的對立事件．法一：P(C)＝P(A1A2eq\x\to(A)3)＋P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＋P(A1A2A3)××××××××0.7＝0.902.法二：P(C)＝1－P(eq\x\to(C))＝1－[P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)]××××××××0.7)＝1－0.098＝0.902.所以理論考核中至少有兩人合格的概率為0.902.(2)記“三人該課程考核都合格”為事件D，P(D)＝P[(A1B1)·(A2B2)·(A3B3)]＝P(A1B1)·P(A2B2)·P(A3B3)＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)×××××016≈0.254.所以這三人該課程考核都合格的概率約為0.254.eq\a\vs4\al()解決復雜的概率綜合題常用的技巧(1)理解題意，弄清楚題目的含義是解概率問題最重要的環(huán)節(jié)，特別要分清概率問題的類型；(2)審題時應注意關鍵性詞語，如“至少有一個”“至多有一個”“恰有一個”等．在求復雜事件的概率時，應學會對事件等價分解(分解成互斥事件的和)或考慮利用其對立事件，使問題變得更易求解；(3)在解決互斥事件、對立事件與相互獨立事件的綜合問題時，一般先求出各互斥事件發(fā)生的概率，然后利用概率的加法公式求概率．[跟蹤訓練]甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，甲、乙兩人只有一人被選中的概率為eq\f(11,20)，甲、乙兩人都被選中的概率為eq\f(3,10)，丙被選中的概率為eq\f(1,3)，其中乙被選中的概率大于甲被選中的概率，且各自能否被選中互不影響．(1)求3人同時被選中的概率；(2)求恰好有2人被選中的概率；(3)求3人中至少有1人被選中的概率．解：設甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B，C，則P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝eq\f(11,20)，P(A)P(B)＝eq\f(3,10)，且P(B)＞P(A)，∴P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)3人同時被選中的概率P1＝P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)恰有2人被選中的概率P2＝P(A∩B∩eq\x\to(C))＋P(A∩eq\x\to(B)∩C)＋P(eq\x\to(A)∩B∩C)＝eq\f(23,60).(3)3人中至少有1人被選中的概率P3＝1－P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(C))＝1－eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(9,10).相互獨立事件與條件概率的綜合問題[例3]甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，，，0.7.，，若三人都擊中，飛機必定被擊落．求飛機被擊落的概率．[解]用Hi表示飛機被i人擊中，i＝1,2,3，用B1，B2，B3分別表示甲、乙、丙擊中飛機，用A表示飛機被擊落．∵H1＝B1eq\x\to(B)2eq\x\to(B)3＋eq\x\to(B)1B2eq\x\to(B)3＋eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2B3，三種情況互斥，H2＝B1B2eq\x\to(B)3＋B1eq\x\to(B)2B3＋eq\x\to(B)1B2B3，三種情況互斥，H3＝B1B2B3.又∵B1，B2，B3相互獨立，∴P(H1)＝P(B1)P(eq\x\to(B)2)P(eq\x\to(B)3)＋P(eq\x\to(B)1)P(B2)P(eq\x\to(B)3)＋P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)P(B3)××××××0.7＝0.36，P(H2)＝P(B1)P(B2)P(eq\x\to(B)3)＋P(B1)P(eq\x\to(B)2)P(B3)＋P(eq\x\to(B)1)P(B2)P(B3)××××××0.7＝0.41，P(H3)＝P(B1)P(B2)P(B3)××0.7＝0.14.又∵A＝H1A＋H2A＋H3A，H1A，H2A，H3A三種情況互斥，故由全概率公式，有P(A)＝P(H1)P(A|H1)＋P(H2)P(A|H2)＋P(H3)·P(A|H3)×××1＝0.458.eq\a\vs4\al()相互獨立事件實際應用時的策略(1)這一類型的問題一直是高考考查的熱點題型，一般采取“大化小”的解題策略，即將“大”的概率問題化為“小”的互斥事件概率問題，再將“大”的概率問題化為“小”的相互獨立事件的概率問題，一般是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，P(AB)＝P(A)P(B)這三個公式的聯(lián)用．注意分清每一個事件是由哪幾個樣本點構(gòu)成的，做到不重不漏；(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：①首先確定各事件之間是相互獨立的；②確定這些事件可以同時發(fā)生；③求出每個事件發(fā)生的概率，再求其積．[跟蹤訓練]設第一只盒子裝有3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍球，3只綠球，4只白球．獨立地分別從兩只盒子中各取一只球．(1)求至少有一只藍球的概率；(2)求有一只藍球一只白球的概率；(3)已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率．解：記A1，A2，A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球，B1，B2，B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球．(1)記C表示至少有一只藍球，C＝A1B1＋A1B2＋A1B3＋A2B1＋A3B1，5種情況互斥，由互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A1B1)＋P(A1B2)＋P(A1B3)＋P(A2B1)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B2)＋P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B1)＋P(A3)P(B1)＝eq\f(3,7)×eq\f(2,9)＋eq\f(3,7)×eq\f(3,9)＋eq\f(3,7)×eq\f(4,9)＋eq\f(2,7)×eq\f(2,9)＋eq\f(2,7)×eq\f(2,9)＝eq\f(5,9).(2)記D表示有一只藍球一只白球，則D＝A1B3＋A3B1兩種情況互斥，P(D)＝P(A1B3)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B3)＋P(A3)·P(B1)＝eq\f(3,7)×eq\f(4,9)＋eq\f(2,7)×eq\f(2,9)＝eq\f(16,63)，(3)P(D|C)＝eq\f(P（CD）,P（C）)＝eq\f(P（D）,P（C）)＝eq\f(16,35)(注意到CD＝D)．1．下列事件A，B是獨立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A表示第一次為正面向上，B表示第二次為反面向上B．袋中有兩個白球和兩個黑球，不放回地摸兩球，A表示第一次摸到白球，B表示第二次摸到白球C．擲一枚骰子，A表示出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)，B表示出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)D．A表示人能活到20歲，B表示人能活到50歲解析：選A對于A選項，A，B兩個事件發(fā)生，沒有關系，故是相互獨立事件；對于B選項，A事件發(fā)生時，影響到B事件，故不是相互獨立事件；對于C選項，由于擲的是一枚骰子，A，B是對立事件，所以不是相互獨立事件；對于D選項，能活到20歲的，可能也能活到50歲，故A，B不是相互獨立事件．故選A.2．甲、乙兩人獨立解同一問題，甲解出這個問題的概率是eq\f(1,4)，乙解出這個問題的概率是eq\f(1,2)，那么其中至少有1人解出這個問題的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(5,8)解析：選D設“甲解出這個問題”為事件A，“乙解出這個問題”為事件B.由題意知，P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,2)，“至少有1人解出這個問題”的對立事件為“兩人都沒解出這個問題”，所以至少有1人解出這個問題的概率P＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(5,8).3．甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(2,5)，那么三人中恰有兩人合格的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(7,15)C.eq\f(11,30) D.eq\f(1,6)解析：選B三人中恰有兩人合格包括三種情況，這三種情況是互斥的，∴三人中恰有兩人合格的概率P＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(7,15)，故選B.4．已知A與B獨立，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，則P(Aeq\x\to(B))＝________，P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝________.解析：因為A與B獨立，所以A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也獨立．所以P(Aeq\x\to(B