新教材蘇教版必修第二冊13.2.1平面的基本性質(zhì)學(xué)案

13．2基本圖形位置關(guān)系13．平面的基本性質(zhì)新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的概念數(shù)學(xué)抽象、直觀想象邏輯推理在生活中，用兩個合頁和一把鎖就可以將一扇門固定，將一把直尺置于桌面上，通過是否漏光就能檢查桌面是否平整．[問題]你知道如此做的原理嗎？知識點一平面的概念及表示1．概念：平面是從現(xiàn)實世界中抽象出來的幾何概念．它沒有厚薄，是無限延展的．2．平面的表示方法(1)圖形表示：平面通常用平行四邊形來表示，當(dāng)平面水平放置的時候，一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖；(2)字母表示：平面通常用希臘字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面α、平面AC等(如圖所示)．3．點、線、面位置關(guān)系的符號表示位置關(guān)系符號表示點P在直線AB上P∈AB點C不在直線AB上C?AB點M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點A1不在平面AC內(nèi)A1?平面AC直線AB與直線BC交于點BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個平面．這種說法對嗎？為什么？提示：不對．?dāng)?shù)學(xué)中的平面是無限延展的，是沒有厚薄的．1．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MN B．平面NPQC．平面α D．平面MNPQ解析：選AMN是平行四邊形MNPQ的一條邊，不是對角線，所以不能記作平面MN.2．已知點A，直線a，平面α，以下命題表述不正確的個數(shù)為()①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.A．1 B．2C．3 D．4解析：選D①不正確，如a∩α＝A；②不正確，“a∈α”表述錯誤；③不正確，如圖所示，A?a，a?α，但A∈α；④不正確，“A?α”表述錯誤．知識點二平面的基本事實及推論1．平面的基本性質(zhì)文字語言圖形語言符號語言基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，簡稱為不共線的三點確定一個平面若A，B，C三點不共線，則有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β))?α∩β＝l且P∈l2．三個推論推論1經(jīng)過一條直線和這條直線eq\a\vs4\al(外)的一點，有且只有一個平面A?l?A和l確定一個平面α推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面a∩b＝A?a，b確定一個平面α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面a∥b?a，b確定一個平面α三個基本事實的作用基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面．基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面．基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分．()(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于A點，記作α∩β＝A．()(3)空間不同三點確定一個平面．()(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么下列說法正確的是()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：選A∵M∈a，N∈b，a?α，b?α，∴M∈α，N∈α.而M，N確定直線l，根據(jù)基本事實2可知l?α.故選A．3.如圖，填入相應(yīng)的符號：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案：∈??AC文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化[例1]根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.[解](1)點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)，如圖①所示．(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上，如圖②所示．(3)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α內(nèi)一點Q，如圖③所示．1．用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示．2．要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示．3．由符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．[跟蹤訓(xùn)練]1．若點A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則點A、直線b、平面β之間的關(guān)系可以記作()A．A∈b，b∈β B．A∈b，b?βC．A?b，b?β D．A?b，b∈β解析：選B由直線和平面都是由點組成的集合，所以A∈b，b?β.2．如圖所示，用符號語言可表述為()A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n?α，A∈m，A∈n解析：選A由圖可知α∩β＝m，n?α，且m∩n＝A，A∈m，A∈n.點、線共面問題[例2](鏈接教科書第155頁例1)如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．[證明]法一(納入平面法)：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面，設(shè)為α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二(輔助平面法)：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個平面，設(shè)為α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面，設(shè)為β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．故平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明點線共面常用的方法(1)納入平面法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線也在這個平面內(nèi)；(2)輔助平面法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合．[跟蹤訓(xùn)練]如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求證：直線a，b，c和l共面．證明：法一(納入平面法)：∵a∥b，∴a，b確定一個平面α.∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.則a，b，l都在平面α內(nèi)，即b在a，l確定的平面內(nèi)．同理可證c在a，l確定的平面內(nèi)．∵過a與l只能確定一個平面，∴直線a，b，c和l共面．法二(輔助平面法)：∵a∥b，∴a，b確定一個平面，設(shè)為α.∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∵點C∈l，∴點C∈α，∴a與點C同在平面α內(nèi)．又a∥c，∴直線a，c確定一個平面β.∵點C∈c，c?β，∴點C∈β，即a與點C同在平面β內(nèi)．∴平面α和平面β重合，則c?α，∴直線a，b，c和l共面．點共線與線共點問題[例3]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M，N，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D，A，Q三點共線．[證明]因為MN∩EF＝Q，所以Q∈直線MN，Q∈直線EF，又因為M∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.所以M，N∈平面ABCD，所以MN?平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF?平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因為平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直線AD，即D，A，Q三點共線．點共線與線共點的證明方法(1)證明點共線問題的常用方法：①先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在交線上，從而共線；②選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在該直線上．(2)證明線共點的思路：先證明兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點，常結(jié)合平面的基本事實與推論，證明該點在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點在它們的“交界”(第三條直線)上，從而證明三線共點．[跟蹤訓(xùn)練]1.如圖，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求證：P，Q，R三點共線．證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC．由基本事實3可知點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上，故P，Q，R三點共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點共線．2．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求證：直線AA1，BP，CQ相交于一點．證明：如圖，連接PQ.由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得PQ∥B1C1，且PQ＝eq\f(1,3)B1C1.又BC綊B1C1，∴四邊形BCQP為梯形，∴直線BP，CQ相交，設(shè)交點為R，則R∈BP，R∈CQ.又BP?平面AA1B1B，CQ?平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B與平面AA1C1C的交線上，即R∈AA1，∴直線AA1，BP，CQ相交于一點．1．下面是四個命題的敘述(其中A，B表示點，a表示直線，α表示平面)，其中敘述方式和推理都正確的是()A．∵A?α，B?α，∴AB?αB．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αC．∵A?α，a?α，∴A?aD．∵AB?α，∴A?α解析：選CA錯，應(yīng)寫為A∈α，B∈α；B錯，應(yīng)寫為AB?α；C對；D錯，A有可能在α內(nèi)．2．若一直線a在平面α內(nèi)，則正確的作圖是()解析：選