新教材蘇教版必修第二冊第13章13.2.3第6課時線面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化作業(yè)

第6課時線面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化【基礎(chǔ)全面練】一、單選題1．下列命題正確的是()A．若直線l1∥平面α，直線l2∥平面α，則l1∥l2B．若直線l1⊥直線l，直線l2⊥直線l，則l1∥l2C．若直線l1⊥平面α，直線l2⊥平面α，則l1∥l2D．若直線l1、l2與平面α所成角相等，則l1∥l2【解析】選C.如下圖所示：對于A選項，分別取l1、l2為AC、BD，取平面α為平面A1B1C1D1，AC∥平面A1B1C1D1，BD∥平面A1B1C1對于B選項，分別取l1、l2為AB、AD，取直線l為AA1，因為AA1⊥AB，AA1⊥AD，但AB與AD相交，B選項錯誤；對于C選項，若直線l1⊥平面α，直線l2⊥平面α，由線面垂直的性質(zhì)可知l1∥l2，C選項正確；對于D選項，分別取l1、l2為AB1、A1B，取平面α為平面ABCD，直線AB1、A1B與平面ABCD所成的角均為45°，但AB1與A1B相交，D選項錯誤．2．設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則()A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB．若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥αC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l⊥nD．若m?α，n⊥α，l⊥n，則l∥m【解析】選B.根據(jù)線面垂直的判定定理，要使l⊥α，則m，n必須相交，故A錯誤；由l∥m，m∥n可知l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故B正確；由l∥m，m⊥α可知l⊥α，結(jié)合n⊥α得l∥n，故C錯誤；由m?α，n⊥α可知m⊥n，又l⊥n，則l，m可能平行、相交或異面，故D錯誤．3．已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，下列說法正確的是()A．若m∥n，m∥α，則n∥αB．若m⊥n，n?α，則m⊥αC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，n⊥α，則m⊥n【解析】選D.對于A，若m∥n，m∥α，可得n∥α或n?α，故A錯誤；對于B，若m⊥n，n?α，可得m⊥α或m?α，或m與α相交，故B錯誤；對于C，若m⊥α，m⊥n，可得n∥α或n?α，故C錯誤；對于D，若m∥α，由線面平行的性質(zhì)定理可得過m的平面β與α的交線l與m平行，又n⊥α，可得n⊥l，則m⊥n，故D正確．4．在三棱錐P-ABC中，已知PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，點D，E分別為棱BC，PC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．直線DE⊥直線ADB．直線DE⊥直線PAC．直線DE⊥直線ABD．直線DE⊥直線AC【解析】選D.如圖，因為PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，所以△PAC≌△BAC，所以PC＝BC，取PB的中點G，連接AG，CG，則PB⊥CG，PB⊥AG，又因為AG∩CG＝G，所以PB⊥平面CAG，則PB⊥AC，點D，E分別為棱BC，PC的中點，所以DE∥PB，所以DE⊥AC.5．(2021·遂寧高一檢測)在正方體ABCDA1B1C1D1A．A1M⊥BDB．A1M∥平面CC1DC．A1M⊥AB1D．A1M⊥平面ABC1【解析】選C.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1對于A，假設(shè)A1M⊥BD，因為A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，又A1A∩A所以BD⊥平面A1AM，所以BD⊥AM，而BD⊥AC，所以AM∥AC，顯然不正確，所以假設(shè)不成立，故A不正確；對于B，假設(shè)A1M∥平面CC1D1D，因為平面A1MCD1∩平面CC1D1D＝CD1，A1M?平面CC1D1D，所以A1M∥CD1，因為A1B∥CD1，所以A1對于C，因為MB⊥平面ABB1A1，所以MB⊥AB1，又A1B⊥AB1，A1B∩BM＝B，所以AB1⊥平面A1BM，所以A1M⊥AB對于D，假設(shè)A1M⊥平面ABC1D1，因為A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以A1M∥A二、多選題6．(2021·鹽城高一檢測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，C1D1A．B1D⊥平面EFGB．CD1∥平面EFGC．AC1⊥平面EFGD．AC1∥平面EFG【解析】1，D1A1，A1EF∥AC，BB1⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，則BB1⊥AC，又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，而B1D?平面BB1D1D，所以AC⊥B1D，所以EF⊥B1D，同理FM⊥B1D，EF∩FM＝F，EF，F(xiàn)M?平面EFG，所以B1D⊥平面EFG，A正確；由CD1∥MG，CD1?平面EFG，MG?平面EFG，得CD1∥平面EFG，B正確；由AE與C1G平行且相等得AEC1G是平行四邊形，AC1與EG相交且平分，且AC1與EG不垂直(可證GE∥BC1且BC1⊥C1D，得EG⊥C三、填空題7．如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，過A點作平面A1①點H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1與B1C其中正確結(jié)論的序號是________．【解析】①正確．因為AH⊥平面A1BD，AA1＝AB＝AD，所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB，所以HA1＝HB＝HD，所以點H是△A1BD的外心，又因為A1B＝BD＝DA1，所以點H是△A1BD的中心．②正確．易證平面A1BD∥平面CB1D1，又因為AH⊥平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.③正確．易證A1D⊥平面ABC1D1，所以AC1⊥A1D，又A1D∥B1C，所以AC1⊥B1C，所以AC1與B答案：①②③四、解答題8．如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面CBB1C1為正方形，且AC1⊥CB1，點D，E分別為棱AA1，B1(1)求證：AB⊥平面CBB1C1(2)求證：DE∥平面ABC1.【證明】(1)因為側(cè)面CBB1C1為正方形，所以CB1⊥BC1又因為AC1⊥CB1，AC1?平面ABC1，BC1?平面ABC1，AC1∩BC1＝C1，所以CB1⊥平面ABC1，因為AB?平面ABC1，所以AB⊥CB1，又因為直三棱柱ABCA1B1C1，所以AB⊥B1因為B1C?平面CBB1C1，BB1?平面CBB1C1，BB1∩B1C＝B1(2)如圖，取線段B1B的中點F，連接DF，EF，因為AD＝A1D，BF＝B1F，所以DF∥AB，因為AB?平面ABC1，所以DF∥平面ABC1因為BF＝B1F，C1E＝B1E，所以EF∥BC1，因為BC1?平面ABC1，所以EF∥平面ABC1又因為DF∩EF＝F，DF，EF?平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC1，因為DE?平面DEF，所以DE∥平面ABC1.9．(2021·綏化高一檢測)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點．(1)求證：PC∥平面BDE；(2)若PC⊥PA，PD＝AD，求證：PA⊥平面BDE.【證明】(1)連接AC，交BD于O，連接OE.因為ABCD是平行四邊形，所以O(shè)A＝OC.因為E為側(cè)棱PA的中點，所以O(shè)E∥PC.因為PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2)因為E為AP中點，PD＝AD，所以PA⊥DE，因為PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE.因為OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE＝E，所以PA⊥平面BDE.【綜合突破練】一、選擇題1．(2021·懷仁高一檢測)已知直線l?平面α，直線m?平面α，下面四個結(jié)論：①若l⊥α，則l⊥m；②若l∥α，則l∥m；③若l⊥m，則l⊥α；④若l∥m，則l∥α.其中正確的結(jié)論是()A．①②④B．③④C．②③D．①④【解析】l?平面α，直線m?平面α，知：在①中，若l⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)得l⊥m，故①正確；在②中，若l∥α，則l與m平行或異面，故②錯誤；在③中，若l⊥m，則l與α不一定垂直，故③錯誤；在④中，若l∥m，則由線面平行的判定定理得l∥α，故④正確．2．如圖，在正四棱錐SABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結(jié)論：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的為()A.①③B．③④C．①②D．②③④【解析】選A.如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN.在①中：由正四棱錐SABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，所以SO⊥AC.因為SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，因為E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，所以AC⊥EP.故正確．在②中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，所以EP∥平面SBD，因此正確．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM＝E相矛盾，因此當(dāng)P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即不正確．所以恒成立的結(jié)論是：①③.3．(多選)(2021·丹東高一檢測)在正方體ABCDA1B1C1D1A．A1O∥平面B1D1B．A1O與CD1成角為30°C．A1O⊥B1D1D．A1O⊥平面BDC1【解析】選ABC.如圖所示：A.因為OC∥A1O1，OC＝A1O1，A1O1CO是平行四邊形，所以A1O∥CO1，因為A1O?平面B1D1C，CO1?平面B1D1C，所以A1O∥平面B1DB.因為A1B∥CD1，所以∠OA1B為所成的角，又BD⊥平面AA1C1C，則BD⊥A1O，設(shè)棱長為a，則BO＝eq\f(\r(2),2)a，A1B＝eq\r(2)a，sin∠OA1B＝eq\f(1,2)，因為∠OA1B∈(0，eq\f(π,2))，則∠OA1B＝30°，故正確；C.因為B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，A1C1∩AA1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1C，則B1D.因為A1O＝C1O＝eq\f(\r(6),2)a，A1C1＝eq\r(2)a，A1O2＋C1O2≠A1Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，所以A1O，C1O不垂直，則A1O與平面BDC1不垂直，故錯誤．二、填空題4．已知平面α，β和直線m，給出下列條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當(dāng)滿足條件________時，有m⊥β.【解析】若m⊥α，α∥β時，有m⊥β，故填②④.答案：②④5．(2021·杭州高一檢測)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥平面ABD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.則下列結(jié)論中：正確結(jié)論的序號是________.①EF∥平面ABC；②AD⊥AC；③EF∥CD.【解析】由AB⊥AD，EF⊥AD，AD，EF，AB共面，所以EF∥AB，因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC；故①正確；BC⊥平面ABD，AD?平面ABD，所以BC⊥AD，又因為AB⊥AD，AB∩BC＝B，AD⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AD⊥AC，故②正確；若EF∥CD，則EF∥平面ACD，或EF在平面ACD內(nèi)，EF與平面ACD相交于點E，顯然不成立，故③不正確．答案：①②6．(2021六安高一檢測)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則點P到BC的距離是________.【解析】取BC的中點N，連接AN，PN，如圖，因為AB＝AC＝5，BC＝6，所以AN⊥BC，AN＝eq\r(AC2－（\f(BC,2)）2)＝4，因為PA⊥平面ABC，PA＝8，所以PA⊥BC，PA⊥AN，所以PN＝eq\r(AN2＋PA2)＝4eq\r(5)，又PA∩AN＝A，所以BC⊥平面APN，BC⊥PN，所以點P到BC的距離為PN＝4eq\r(5).答案：4eq\r(5)7．如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正確的有________(把所有正確的序號都填上).【解析】對于①，因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，從而可得EA⊥PB，故①正確．對于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC與平面PBC不可能垂直，故②不正確．對于③，由于在正六邊形中BC∥AD，所以BC與EA必有公共點，從而BC與平面PAE有公共點，所以直線BC與平面PAE不平行，故③不正確．對于④，由條件得△PAD為直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故④正確．答案：①④三、解答題8．(2021·南京高一檢測)如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN∥平面PAD；(2)若PD與平面ABCD所成的角為α，當(dāng)α為多少時，MN⊥平面PCD?【解析】(1)取PD的中點E，連接NE，AE，如圖．因為N是PC的中點，所以NE∥DC且NE＝eq\f(1,2)DC，又因為DC∥AB且DC＝AB，AM＝eq\f(1,2)AB，所以AM∥CD且AM＝eq\f(1,2)CD，所以NE∥AM，且NE＝AM，所以四邊形AMNE是平行四邊形，所以MN∥AE，因為AE?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD；(2)當(dāng)α＝45°時，MN⊥平面PCD，證明如下：因為PA⊥平