2022年廣州數(shù)學(xué)中考二模匯編解答壓軸題

解答壓軸題2022年廣州數(shù)學(xué)中考二模匯編

1.如圖，拋物線y=x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，=1,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,

tan"4c=3,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)4,C的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且滿足^PAB=2Z.ACO,求直線PA在與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)Q在拋物線上，且在x軸下方，直線AQ,BQ分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M,N.求

證：DM+DN為定值，并求出這個(gè)定值.

2.己知：在△ABC中，OB=5,LBAC=60°.

(1)AB=AC,OA=3,OC=4.

①如圖1,點(diǎn)。在△48C內(nèi)，求/.AOC的度數(shù).

②如圖2,點(diǎn)。在AABC外，求^AOC的度數(shù).

(2)如圖3,若48=24C,點(diǎn)。在AABC內(nèi)，且。A=V3,Z.AOC=120",求OC的長.

H3

3.如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在。。上，BD是。。的直徑，延長CD,BA交于點(diǎn)E,連接

AC,BD交于點(diǎn)F,作AH1CE,垂足為點(diǎn)H,已知AADE=乙4cB.

(1)求證：AH是。。的切線；

(2)若OB=4,AC=6,求sin^ACB的值；

(3)若北=(求證：CD=DH.

4.已知：如圖①，四邊形ABCD是正方形，在CD的延長線上任取一點(diǎn)E,以CE為邊作正方形

CEFG,使正方形ABCD與正方形CEFG分居在CD的兩側(cè)，連接4F,取AF的中點(diǎn)M,連

接EM,DM,DM的延長線交EF于點(diǎn)N.

(1)求證：△ACM之△/：?%”；

(2)判斷ADEM的形狀，并加以證明：

(3)如圖②，將正方形CEFG繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°(30<n<45)后，其他條件不變,

(2)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

ffi@

5.如圖，已知拋物線y^ax2-2ax+b與x軸交于A,B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且

0c=304,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為0.

⑴求拋物線的解析式；

⑵在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得APDC是等腰三角形？若存在，求

出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

⑶若平行于x軸的直線與該拋物線交于M,N兩點(diǎn)(其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè))，在x軸

上是否存在點(diǎn)Q,使AMNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

6.如圖，AB為。。的直徑，AB=4,P為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。。的弦CD,設(shè)

乙BCD=mZ-ACD.

(1)若m=2時(shí)，求jBCD,^ACD的度數(shù)各是多少？

(2)當(dāng)募=急時(shí)，是否存在正實(shí)數(shù)m,使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存

在，說明理由；

⑶在(1)的條件下，且各=；，求弦CD的長.

PBZ

7.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于QO,AB是。。的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E,且DC2=

CE-CA.

F

D

(1)求證：BC=CD；

(2)分別延長AB,DC交于點(diǎn)P,過點(diǎn)力作4F1CD交CD的延長線于點(diǎn)F,若PB=OB,

CD=2V2,求DF的長.

8.已知拋物線G：y=a/+bx-|(aH0)經(jīng)過點(diǎn)4(1,0)和B(-3,0).

⑴求拋物線Ci的解析式，并寫出其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,把拋物線G沿著直線AC方向平移到某處時(shí)得到拋物線。2,此時(shí)點(diǎn)A,C分別

平移到點(diǎn)D,E處.設(shè)點(diǎn)F在拋物線G上且在x軸的上方，若&DEF是以EF為底

的等腰直角三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，設(shè)點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，ENLEM交直線BF于點(diǎn)N,

點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)：

①tan/EN用的值如何變化？請(qǐng)說明理由；

②點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，直接寫出點(diǎn)P經(jīng)過的路線長.

B

y\O/Ax

圖2

9.已知關(guān)于%的二次函數(shù)y=x*2*+(2fc—l)x+k2—1,且關(guān)于x的方程x2+(2/c—l)x+k2—

1=0的兩根的平方和等于9.

1A

5

4引4

二

2-f力

i-lX

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與%軸從左至右分別交于A、B兩點(diǎn)，在圖中所給的平面直角坐

標(biāo)系中畫出函數(shù)的大致圖象，點(diǎn)M是位于對(duì)稱軸右側(cè)函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且銳角AAMB

的面積的等于3,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

）

(3)在（2的條件下，過點(diǎn)M及點(diǎn)Eg,0）的直線與拋物線交于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)M重

合），求證：A4MP是直角三角形，并求AAMP的面積.

答案

1.【答案】

(1)v0A=1,tanZ-OAC=3,

則0C=04tan404c=3,故點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,-3)；

(2)拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)4(1,0),C(0,—3),

??Jl+”c=0,解得『=2

(c=-3,(c=-3,

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=X2+2X-3；

①若點(diǎn)P在x軸下方，如圖1,

延長AP到，，使AH=AB,過點(diǎn)B作B/lx軸，連接作BH中點(diǎn)G,連接并延長

AG交BI于點(diǎn)F,過點(diǎn)H作H/JLBI于點(diǎn)/,

2

當(dāng)x+2x-3=0.解得：%!=-3,x2=1,

???B(-3,0),

???4(1,0),C(0,-3),

OA=1,OC=3,AC=Vl2+32=V10,AB=4,

Rt△AOC中，smz.ACO=—=cosz.ACO=―,

AC1010

-AB=AHfG為BH中點(diǎn)，

AGBG=GH,

/.BAG=Z.HAG,BPZ.PAB=2Z.BAG,

???"AB=2jACO,

:.Z.BAG=Z.ACO,

Rt△ABG中，^AGB=90°,sin/BAG=吧=包，

AB10

??,BG=^AB

5

.??BH2"=爭(zhēng)

???乙HBI+Z.ABG=Z.ABG+Z.BAG=90°,

???乙HBI=^BAG=/.ACO,

??■RfBHI中，㈤H=90。,siMHBI=*=嚕,coszHB/=總=察

DH4警

-

H/=vloo=>B/=

w5BH

-5

由點(diǎn)4,H的坐標(biāo)的，直線AH的表達(dá)式為：y=

44

故直線PA在與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,—

②若點(diǎn)P在x軸上方，如圖2,

在AP上截取AH'=AH,則H'與H關(guān)于x軸對(duì)稱，

句-篝)，

同理可得，直線AH'-.y=--x+~,

44

故直線P4在與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)(0,￡)；

綜上，直線P4在與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為或(0,^)；

(3)DM+DN為定值，

,?,拋物線y=x2+2x—3的對(duì)稱軸為：直線x=—1,

???0(—1,0),xM=xN=-1,

設(shè)Q(t,t2+2t—3)(—3Vt<1)>

由點(diǎn)4,Q的坐標(biāo)得，直線AQ:y=(t+3)x-t-3,

當(dāng)x=—1時(shí)，yM=-t-3-t-3=—2t—6,

?**DM=0—(—2t—6)=2t+6,

同理可得，直線BQ:y=(t—l)x4-3t—3,

當(dāng)x=-1時(shí)，YN=-t+l+3t-3=2t—2,

***DN=0-(2t—2)=-2t+2,

???DM+DN=2t+6+(-2t+2)=8,為定值.

2.【答案】

(1)①如圖，以。/為邊向外作等邊AAOE,連接BE,

*/AB=AC,Z-BAC=60°,AE=AO,Z-EAO=60°,

???乙EAO=Z-BACi

*,?乙EAO-Z-BAO=Z-BAC—乙BAO,

??.Z.EAB=Z-OAC

在AAEB和AAOC中，

(AE=AO,

\/LEAB=Z.OAC,

{AB=AC,

AEB^△4。。，

.??OC=BE=4,Z.AOC=Z.AEB.

???OE=OA=3,OB=5,

???OE2+BE2=OB2,

???LOEB=90°,

vZ-AEO=60°,

???Z.AOC=LAEB=Z.AEO+Z.BEO=150°.

②如圖，以。4為邊向外作等邊△40E,連接BE,

vAB=AC,/.BAC=60°,AE=AO,Z.EAO=60°,

???Z-BAC=Z-EAO

/.BAC+Z-CAE=乙EAO+Z.CAE,

???乙BAE=Z.CAO,

在△48E和AACO中，

(AB=AC,

\^BAE=LCAO,

[AE=AO,

△ABEg△AC。，

??.BE=CO=4,/.AEB=Z.AOC.

?.?OE=OA=3,OB=5,

222

.，.BE+OE=OBf

Z.BEO=90°.

???乙AEO=60°,

???Z-AEB=乙BEO-LAEO=30。，

??.Z.AOC=4AEB=30°.

(2)過。作OE_LOAf且。E=V3OA=3,連接AE,BE,

???OA1OE,OA=V3,OE=3,

AE=>JOA24-OE2=2V3,

???cosZ.OAE=—=

AE2

Z-OAE=60°,Z.AEO=30°.

???ABAC=60°,

???Z.OAE=匕BAC,

Z-OAE—Z.OAB=Z-BAC-Z.OAB,

???4BAE=Z.CAO.

vAB=2AC,

ACAO1

''ABAE~2

AOCs△AEB,

OCOA1

:.—=—=—,

BEAE2

LAOC=Z-AEB=120°,

???Z.BEO=^LAEB-乙AEO=90°,

v08=5,

BE=-JOB2-OE2=4,

?O?C?一=1

42

：?OC=2.

3.【答案】

(1)連接。4

由圓周角定理得，乙ACB=UDB,

vZ-ADE=LACB,

:.Z.ADE=Z.ADB,

??,BD是直徑，

:.Z-DAB=Z.DAE=90°,

在△DAB和△DAE中，

(Z.BAD=LEAD,

\DA=DAt

&DA=Z.EDA,

DAB^△DAE,

???AB=AE,

又???OB=OD,

???OA//DE.

又vAH1DE,

???OA1.AH,

是。。的切線；

(2)由(1)知，乙E=LDBE,乙DBE=4ACD,

:.乙E=Z-ACD,

???AE=AC=AB=6.

在Rt△ABD中，AB=6,BD=8,=

sin^ADB=-=即sin〃CB=-；

844

(3)由(2)知，OA是ABDE的中位線，

OA//DE,OA^-DE.

2

CDFs△AOF,

CDDF2

i—―~,

AOOF3

7-iI

/.CD=-OA=-DE,即CD=-CE

334f

vAC=AE,AHICE,

???CH=HE=-CE,

2

CD=-CH,

2

：?CD=DH,

4.【答案】

(1)v四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，

:?CE=FE,AD=DC,Z.CEF=90°,AD//EF.

:.z.1=z2.

在△AMD和△FMN中，

Z1=N2,

MA=MF,

Z.3—z4,

丁?△AMD之AFM/VIASA).

(2)ADEM是等腰直角三角形.

由(1)得△FMN,

：.MD=MN,AD=FN.

在正方形ABCD中，

???AD=DC,

DC=NF,

又vEC=EF,

：.EC-DC=EF-NF,即ED=EN.

又v乙DEN=90°,

DEN是等腰直角三角形.

???EM1MD,ME=MD.

DEM是等腰直角三角形.

(3)仍然成立.

如圖，在MN上截取MP=MD,連接EP,FP,延長FP與DC延長線交于點(diǎn)H.

在AAMD和&FMP中，

MA=MF,

vZ1=42,

MD=MP,

???△AMO之△尸MP(SAS).

???Z3=Z4,AD=PF,

又???四邊形ABCD、四邊形CGFE均為正方形，

:?CE=FE,AD=DC,^ADC=90°,(CEF=Z.ADC=乙EFG=乙ECG=90°.

???DC=PF.

vz3=z4,

AD//FH.

???乙H=Z.ADC=90°.

???乙G=90°,Z5=Z6,Z.GCH=180°一4H一45,乙GFH=180°一4G—Z.6,

???乙GCH=乙GFH.

???乙GCH+Z,DCE=乙GFH+乙PFE=90°,

???乙DCE=匕PFE,

在ADCE和>PFE中，

DC=PF,

vZ.DCE=Z-PFE,

CE=FE,

??.△DCE芻△PFE(SAS).

??.ED=EP,乙DEC=(PEF,

???(CEF=90°,

???4DEP=90°.

.*.△DEP是等腰直角三角形.

???EM1MD,ME=MDt

???△DEM是等腰直角三角形.

5.【答案】

(1)由y=ax2-2ax+b可得拋物線對(duì)稱軸為直線％=1,由B(3,0)可得4(一1,0);

??,OC=304

???C(0,3)；

依題意有：匕+,+6=°，

lb=3,

解得d

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

(2)存在.

①由C點(diǎn)(0,3)和x=l可得對(duì)稱點(diǎn)為P(2,3),此時(shí)DC=DP,4PDC是等腰三角形,

②設(shè)P2(x,y),

???C(0,3),P(2,3),

???CP=2,

???0(1,4),

:.CD=>/2<2,

.-.PC不可能與CD相等；當(dāng)CP=DP時(shí)，4PDC是等腰三角形.

C?2=(3—y)?+x2,DPI=(%—I)2+(4—y)2,

(3-yY+x2=(x-I)2+(4-y)2.

將y=-x2+2x+3代入可得：x='產(chǎn)，

?,士（竽，竽）.

S

(3)存在，且Qi(l,O),Q2(2-V5,0),Q3(2+V5,0),Q4(-V5,O),Q(V5,0)；

①若Q是直角頂點(diǎn)，由對(duì)稱性可直接得Qi(l,0)；

②若N是直角頂點(diǎn)，且M,N在x軸上方時(shí)；

2

設(shè)(?2(t,0)(t<l),則/V(t,-t+2t+3),MN=NQ2=2Q1Q2,

???一產(chǎn)+2t+3=2(1-t).

vt<1,

.--<22(2-75,0);

由對(duì)稱性可得Q3(逐，。)；

③若N是直角頂點(diǎn)，且M,N在x軸下方時(shí)；

同理可得：<24(-V5,O)；

由對(duì)稱性可得Q5(V5+2,0).

綜上，點(diǎn)Q存在,且Qi(l,0),<22(2-V5,0),Q3(2+V5,0),Q4(-V5,0),QS(V5(0).

6.【答案】

(1)???AB是O。的直徑，

乙ACB=90°,

vZ.ACB=乙BCD+Z.ACD,

當(dāng)m=2時(shí)，即4BCD=2UCD,

乙ACB=2AACD+^ACD=3^ACD=90°,

則AACD=30°,乙BCD=60。.

(2)如圖2,連接OD.

AP2-V3..

???一=—產(chǎn),nAB=4,

PB2+V3

舒=益，貝I](2+y[3)AP=4(2-V3)-(2-y[3)AP,解得4P=2一百，

???OP=2-AP=聲,

要使CD最短，則CDLAB于P,

OPA/3

：?cosZz-nPrOiDn=—=——，

OD2

???乙POD=30°,

???Z.ACD=15°,乙BCD=75°,

???(BCD-S/-ACD,

???m=5,

故存在這樣的m值，且m=5.

(3)如圖3,連接AD,BD.

由(1)可得乙ABD=Z-ACD=30°,AB=4,

???AD=2,BD—2^3,

AP1

V—=一,

PB2

48

???APBP=

33

vZ.APC=乙DPB,乙ACD=乙ABD,

???△APCs△DPB,

:.——AC=A-P--=—PC,

DBDPBP

AC-DP=AP-DB=^-2^3=^-,........①

PC-DP=APBP=---=—,……②

339J

同理△CPBsAAPD

BP_BC

DP~AD'

：.BC-DP=BP-AD=--2=—,……③

33

由①得AC=器,由③得BC=急,

...何也=崛竺=名

332

在〉A(chǔ)BC中，AB=4,

?信)2+(副=42,

由②PC.DP=PC-W，得②=萼,

...DC=CP+PD=等

7.【答案】

(1),:DC2=CE-CA,

DCCA

.*?----=------，

CEDC

又???Z.DCE=^ACD,

???ACDEsACAD,

???乙CDB=Z-DAC,

???Z.DAC=乙DBC,

???乙CDB=cDBC,

:.BC=CD；

⑵如圖，連接oc,

???BC=CD,

???Z,DAC=乙CAB,

又???AO=CO,

:.Z.CAB=/.ACO,

:.Z.DAC=Z-ACO,

???AD//OC,

.PC_PO

?'PD-PA9

VPB=OB,CD=2V2,

PC_2

?'PC+2V2-3’

PC=4V2,

又四邊形ABCD內(nèi)接于。。，

乙PCB=Z.DAB,

vZ-P=Z.P,

???APBCsAPDA,

.PB_PC_BC

?'PD-PA-DAf

???PB=OB=AO,

.PB__4V2_2V2

??6V2-3PB-DA'

:.AD=6,PB=4,

由勾股定理得AF2=AP2一PF2=AD2一DF2,

即122-(DF+6&)2=62-DF2,

求得DF=當(dāng).

8.【答案】

2

(1)?.?拋物線C1：y=ax+bx-|(a*0)經(jīng)過點(diǎn)4(1,0)和B(-3,0),

(ci+b—=0,(一1

2na

]3解得\~2'

19a-3b-1=0,kb=1,

拋物線G的解析式為y=1x2+x-1.

y=|x2+x-|=|(x+l)2-2,

頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,-2).

(2)如圖，作CHLx軸于H,

V4(1,0),C(-l,-2),

AH=CH=2,

:.LCAB=Z.ACH=45°,

???直線AC的解析式為y=x-l,

V〉DEF是以EF為底的等腰直角三角形，

:.Z.DEF=45°,

:.Z.DEF=/-ACH,

???EF//y軸，

vDE=AC=2V2,

???EF=4,

設(shè)F(根彳巾2+小一|),則E^mfm-1),

:.EF=|m24-m—|—(m4-1)=4,解得m=±3,

?:點(diǎn)尸在1軸上方，

???F(3,6).

(3)①tanzF/VM的值為定值，tanMNM=2；

如圖，

vDF1/C,BC1AC,

???DF//BC,

?.?DF=DE=AC=BC,

???四邊形DFBC平行四邊形，

vDFLACf

???四邊形DFBC是矩形，

過點(diǎn)N作NG1AC,交AC于點(diǎn)G,

ANG=BC=AC=2V2,

???EN1EM,

???4MEN=90°,

???乙CEM+乙NEG=90°,乙ENG+乙NEG=90°,

???乙CEM=CENG,

???△EGNs△MCE,

?*,EM=EC?

ENNG

???尸(3,6),EF=4,

???E(3,2),

■:C(—1,-2),

???EC=4V2,

?_E_M—_E_C—_45_/_2—c/

"EN~NG~242~

FM

???tanzE/VM=—=2；

tan/ENM的值為定值，定值為2；

②v-

【解析】

⑶①法二：

V/.NBM+/.NEM=180°,

B,M,E,N四點(diǎn)共圓，

連接BE,則4ENM=4EBM.

???tan/ENM=tanNEBM=也=絲=平=2.

ENBC2V2

②如圖，點(diǎn)P應(yīng)為直徑MN的中點(diǎn)，連接PB,PE,貝ljPB=PE,

.?.點(diǎn)P在線段BE的中垂線上，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑是線段PR,（考慮起點(diǎn)位置與終點(diǎn)位置）,

則PJ2應(yīng)為如圖中4BEN的中位線（B與M重合）.

22

在Rt△ECB中，BE=ME=>JBC+EC=J（2夜）？+（4匈②=2V10.

EM

???tan乙ENM=—=2,

EN

：.EN=V10,

???P1P2=?N=￥：

???點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路線長為手.

9.【答案】

(1)設(shè)X]與為方程x